常用指对数不等式模型

(2).a
0时 ，f
( x)
0,
f
( x)在(0,)是增函数，f (1)
a
0，
f
(
1 e
)
1
a e
(1
a e
),?
f (ea ) a aea a(1 ea ) 0， 所 以f ( x)在(ea ,1)上 有 一 个 零 点 。
(3).当a
0时 ，
f
(
x)在
1 a
处
取
得
极 大 值f
(
1 a
x
x
解法2.零点存在定理，f ( x) e x a
(1).当a 0时，无零点；
(2).当a
0时 ，f
( x)
0,
f
( x)是增函数，f
(0)
1
0;
f
(1)
1
ea
1
0
在(0, 1 )上有一个零点。
a
a
(3.)当a 0时， x ln a时取得极小值f (ln a)min a a ln a a(1 ln a)
2020年5月11 日
y ln x 或y
x .
x
ln x
1、讨论函数f ( x) ln x ax的零点个数。
解法1.数形结合：ln x ax 0 a ln x ,设f ( x) ln x , h( x) a
x
x
解法2.利用零点存在定理探讨：
f
(
x
)
1
ax x
.
(1).a 0时，有一个零点
ln x x 1 (0 x 1). x
放
缩为反比例
函数l：n x
1
1 x
ln
x
2( x 1) x1
(x
1),
ln
x
2( x 1) x1
(0
x
1),
放缩为二次函数： ln x x 1 x2 x
ln(x 1) x 1 x2(1 x 0), 2
ln(x 1) x 1 x2( x 0), 2
极小值分三种情况a： e时极小值为0，有一个零点；
0 a e时为正数，没有零点;
a e极小值为负数，有两个零点。 f (lna) a(1 ln a) 0； f (0) 1 0； f (2 ln a) a2 2a ln a a2 2a(a 1) a(2 a) 0， ？
f (3 ln a) a3 3a ln a a3 3a(a 1) a[(a 3)2 3] 0 24
3.
在零点两边取值时，一般一边较易，可取特殊值，而另一边则较难，需要取与参数有 关的值，使含参数的项为常数，或者能够利用不等式传递。这是难点。
2020年5月11
y
ex x
或y
x ex
讨 论f ( x) e x ax的 零 点 个 数 。
解法1：数形结合：a e x .研究y e x 与y a的图像交点情况。
2020年5月11
第二组 指数放缩
放缩为一次函数： e x x 1.
e x ex.
ex x.
放
缩
为
反
比
例
函
数
：e
x
1
1
x
(
x
0).
e x 1 ( x 0). x
放缩为二次函数： e x 1 x 1 x2( x 0). 2
第三组 指对数放缩
e x ln x ( x 1) ( x 1) 2
x在lna的 两边取值
利用对数不 等式传递
2020年5月11
2020年5月11 日
2020年5月11 日
1
1
f ( a2 ) ln a2
1 a
(
1 a
a)
1 a
a
0
在(1,
1 a
),
(
1 a
,
1 a2
)内
各
有
一
个
零
点
。
2020年5月11
反思与总结
1. 原函数为单调函数时，最多有一个零点，需判断零点位置，在两边取点计算值得正负；
2.
ห้องสมุดไป่ตู้
原函数有一个极值时，最多有两个零点，需确定极值的三种情况，一般情况下对应零 点个数对应也有三种情况，即：一个零点，二个零点，没有零点；
2020年5月11日
第一组 对数放缩
同一个函数式，不等号方向与条件不同，怎么来记忆？
放缩为一次函数： ln x x 1. ln x x. ln(x 1) x
放缩为双撇函数：
ln
x
1 2
(
x
1 x
)(x
1),
ln
x
1 2
(x
1 x
)(0
x
1).
换元x→x+1 得到另一组
ln x x 1 ( x 1), x
)
ln
1 a
1
ln
a
1
显 然 极 大 值 有 三 种 情 况： 当a
1 e
时极
大
值
为 零 ，a
(0,
1 e
)为
正 ，a
(1e ，
)为 负 。
a
1 e
, 有 一 个 零 点0；
a
1 e
, 有 两 个 零 点 ；a
1时没有零点。 e
下面证有两个零点的情况。
f
(
1 a
)
(1
ln
a)
ln
ea
0
f (1) a 0