高等数学(下)期末复习指导(土木工程专业.docx

木学期《高等数学》的考试范围是：第五章定积分的应用，第六章至第十一章•内容为：空间解析几何与向量代数，多元函数的微积分，曲线积分，微积分的应用-级数理论及常微分方程的解法.

我们用了90课时，讲了尽可能多的知识，保证了后继课程学习屮对数学知识的需要，及将来考研同学对高数的知识点范围.

对教学工作仍坚持一丝不苟、认真负责的态度，讲好每节课，对大题量的作业做到每周全收、认真批阅一次，耐心解答同学提出的问题.对同学的学习坚持从严要求，强调做好听课、记笔记、独立完成作业三个教学环节.逐步培养同学掌握学习数学课的方法：多动脑勤动手，数学书不是光靠看，述要动手演算才能理解深刻，记忆牢固.

考试题型为：

一. 选择题(每小题3分，共15分)

二. 填空题(每小题3分，共15分)

三•计算题(8小题，共40分)

四•应用题(2小题，共16分)

五•证明题(2小题，共14分)

下面分章复习所学知识

第五章定积分的应用

定积分在几何上的应用：求平而图形的而积

(1)直角坐标情形：由平面曲线y = /(x),y = g(x)[f(x) > g(x)]

x = a,x = b(a vb)所围图形的面积为

A=\[fM-g(x)]dx.

(2)极坐标情形：由曲线r = r(^)及

射线0 = =所围成的曲边扇形的而积为

例(填空题)

由曲线y =-及直线y = = 2, y = 0围成的平面图形的面积______ L

第六章 向量代数与空间解析几何

（一）向量代数

1 •空间两点A （x },）［，Z ］）与B （X 2, y 2，z 2）的距离公式

d = J (X] — 勺尸 +()) — IS)' +(© — 乙2)2

2•非零向量a = {a l ,a 2,a 3}的方向余弦公式

4

Q

勺 6

coscr = f =, cos p = , ,cosy = ^=

Ja ； + a ； + 虽 Jef + a ； + 居 J a ； + a ； + 居 3 •向量的运算

设 a = {a^a^a^,b = [b^b 2,b 3],则 a • b = a”、+砂2 +时3卫川= a 】 b i 两非零向量垂直、平行的充要条件

J

a 2 b

2

a ± bod ・

b = 0o dQ + a 2b 2 + a 3b 3 = 0 a//b<^>a = Ab<^>axb = 0<^> — = — = ^

勺筠b 3 4•向量a = ［a },a 2,a 3］在非零向量& = {勺厶厶}上的

投影

II 評=Pr j-a = a cos <

a.b >=

（二）平而与直

线

1.平面方程 (1) •般

式: (2) 点法式:

(3) 截距式:

a-h _ qb] + a 2b 2 +

a 3

b 3 ”| Jb； + / +b ； Ax + By + Cz + Q = 0; A(x 一兀o )+ B(y-儿)+ C(z-z o ) =

O; 兰+上+亠1; a b c

(4) 三点式:

儿- Ji

>‘3 一>1 2•直线方程

/4]兀 + 陀 + (7忆 + »1 =0

A 2X +

B 2y +

C 2z +

D 2 =0"

x = x Q + mt

(3) 参数式：< y = y G + nt , -oo

z = 5 + M

兀—兀i 二 y_x 二 z_Zi

兀2 一舛力一必乞一勺

3•平面（□）与直线（7）平行、垂直的充要条件

及夹角

(□J 丄(口?)o + 〃1场 + c© = o

厶丄厶 O + n \n

2 +

P\P1 = 0

A

P1

(3)

(□J///] <=>m }A } +“]B] + p x C x =0

（4） （MJ 与（比）的夹角:

COS0 =

| Aj A 9 + B'B 。+ C|C> |

.J A I + B 'C ；

（5）斤与了的夹角:

m A m 2 +也斤 2 +

P\

Pi |

'~~2 .

2

COS (P = —7= ---------------- . -----------------------

圖+ Y + P ； ・Jn ；+n ； + p ； （6） （口J 与厶的夹角:

sin© =

加/] +qB| + ^Cj

尿 l ‘彳 + .J A ； + I +

C ； 4 •距

离 设点 M ()O (), y 0,z 0),平面(口): Ax + By + Cz + D = 0

（1）对称式（点向式、标准式）:

兀_尤0 二 y_y°

m n

（2） 一般式:

（4）两点式:

(1)

口）〃叫。殳唔咱

直线7：亠=4二二

m n p

（1）点到平面的距离公式：d= Z + By° + C& + D

7A2+52+C2

（2）点到直线的距离公式：d=―A—,

其中M（）M］ ={兀］-兀（）,）［-儿,召-z（）}, / = {m,n,p},M,是

直线上任一点.

（三）曲面与空间曲线

记住一些常见的曲面的方程

（1）旋转曲面

园锥面：z = J/ + b ,旋转抛物面：z = x2 + /,旋转椭球面：

9 7 7

若 + )r P .

—

a c

(2)柱面

2 2 圆柱面：

x2^y2=R\椭圆柱面：二+鼻=1, a u

2 2 抛物柱面：x2-2py = 0,双曲柱面：亠-「=

1. er lr

（3）二次曲面

球面：（x — a）~ + （y — b）~ + （z — c）2 =/?2；

—r +汁+ -r = l,(d,仇c > 0)；a" h~ c

2 2

椭球抛物而：丄+丄二乙（/側同

号）；2p 2g

2 ,2

双曲抛物面：= z^p.q同号）；

2p q

兀 2 v2 72

单叶双曲面：r 二= l,（a,b,c>0）；

er b~ c z

2 2 2

双叶双曲面:—+ ——z- = —l9（ct9b,c > 0）.

6T tr L

椭球面: