高等数学(下)期末复习指导(土木工程专业.docx

木学期《高等数学》的考试范围是：第五章定积分的应用，第六章至第十一章•内容为：空间解析几何与向量代数，多元函数的微积分，曲线积分，微积分的应用-级数理论及常微分方程的解法.
我们用了90课时，讲了尽可能多的知识，保证了后继课程学习屮对数学知识的需要，及将来考研同学对高数的知识点范围.
对教学工作仍坚持一丝不苟、认真负责的态度，讲好每节课，对大题量的作业做到每周全收、认真批阅一次，耐心解答同学提出的问题.对同学的学习坚持从严要求，强调做好听课、记笔记、独立完成作业三个教学环节.逐步培养同学掌握学习数学课的方法：多动脑勤动手，数学书不是光靠看，述要动手演算才能理解深刻，记忆牢固.
考试题型为：
一. 选择题(每小题3分，共15分)
二. 填空题(每小题3分，共15分)
三•计算题(8小题，共40分)
四•应用题(2小题，共16分)
五•证明题(2小题，共14分)
下面分章复习所学知识
第五章定积分的应用
定积分在几何上的应用：求平而图形的而积
(1)直角坐标情形：由平面曲线y = /(x),y = g(x)[f(x) > g(x)]
x = a,x = b(a vb)所围图形的面积为
A=\[fM-g(x)]dx.
(2)极坐标情形：由曲线r = r(^)及
射线0 = =所围成的曲边扇形的而积为
例(填空题)
由曲线y =-及直线y = = 2, y = 0围成的平面图形的面积______ L
第六章 向量代数与空间解析几何
（一）向量代数
1 •空间两点A （x },）［，Z ］）与B （X 2, y 2，z 2）的距离公式
d = J (X] — 勺尸 +()) — IS)' +(© — 乙2)2
2•非零向量a = {a l ,a 2,a 3}的方向余弦公式
4
Q
勺 6
coscr = f =, cos p = , ,cosy = ^=
Ja ； + a ； + 虽 Jef + a ； + 居 J a ； + a ； + 居 3 •向量的运算
设 a = {a^a^a^,b = [b^b 2,b 3],则 a • b = a”、+砂2 +时3卫川= a 】 b i 两非零向量垂直、平行的充要条件
J
a 2 b
2
a ± bod ・
b = 0o dQ + a 2b 2 + a 3b 3 = 0 a//b<^>a = Ab<^>axb = 0<^> — = — = ^
勺筠b 3 4•向量a = ［a },a 2,a 3］在非零向量& = {勺厶厶}上的
投影
II 評=Pr j-a = a cos <
a.b >=
（二）平而与直
线
1.平面方程 (1) •般
式: (2) 点法式:
(3) 截距式:
a-h _ qb] + a 2b 2 +
a 3
b 3 ”| Jb； + / +b ； Ax + By + Cz + Q = 0; A(x 一兀o )+ B(y-儿)+ C(z-z o ) =
O; 兰+上+亠1; a b c
(4) 三点式:
儿- Ji
>‘3 一>1 2•直线方程
/4]兀 + 陀 + (7忆 + »1 =0
A 2X +
B 2y +
C 2z +
D 2 =0"
x = x Q + mt
(3) 参数式：< y = y G + nt , -oo <t < +oo;
z = 5 + M
兀—兀i 二 y_x 二 z_Zi
兀2 一舛力一必乞一勺
3•平面（□）与直线（7）平行、垂直的充要条件
及夹角
(□J 丄(口?)o + 〃1场 + c© = o
厶丄厶 O + n \n
2 +
P\P1 = 0
A
P1
(3)
(□J///] <=>m }A } +“]B] + p x C x =0
（4） （MJ 与（比）的夹角:
COS0 =
| Aj A 9 + B'B 。

+ C|C> |
.J A I + B 'C ；
（5）斤与了的夹角:
m A m 2 +也斤 2 +
P\
Pi |
'~~2 .
2
COS (P = —7= ---------------- . -----------------------
圖+ Y + P ； ・Jn ；+n ； + p ； （6） （口J 与厶的夹角:
sin© =
加/] +qB| + ^Cj
尿 l ‘彳 + .J A ； + I +
C ； 4 •距
离 设点 M ()O (), y 0,z 0),平面(口): Ax + By + Cz + D = 0
（1）对称式（点向式、标准式）:
兀_尤0 二 y_y°
m n
（2） 一般式:
（4）两点式:
(1)
口）〃叫。

殳唔咱
直线7：亠=4二二
m n p
（1）点到平面的距离公式：d= Z + By° + C& + D
7A2+52+C2
（2）点到直线的距离公式：d=―A—,
其中M（）M］ ={兀］-兀（）,）［-儿,召-z（）}, / = {m,n,p},M,是
直线上任一点.
（三）曲面与空间曲线
记住一些常见的曲面的方程
（1）旋转曲面
园锥面：z = J/ + b ,旋转抛物面：z = x2 + /,旋转椭球面：
9 7 7
若 + )r P .
—
a c
(2)柱面
2 2 圆柱面：
x2^y2=R\椭圆柱面：二+鼻=1, a u
2 2 抛物柱面：x2-2py = 0,双曲柱面：亠-「=
1. er lr
（3）二次曲面
球面：（x — a）~ + （y — b）~ + （z — c）2 =/?2；
—r +汁+ -r = l,(d,仇c > 0)；a" h~ c
2 2
椭球抛物而：丄+丄二乙（/側同
号）；2p 2g
2 ,2
双曲抛物面：= z^p.q同号）；
2p q
兀 2 v2 72
单叶双曲面：r 二= l,（a,b,c>0）；
er b~ c z
2 2 2
双叶双曲面:—+ ——z- = —l9（ct9b,c > 0）.
6T tr L
椭球面:
本章的考点：仅是一些简单的填空题或选择题.
例 1 •设三角形ABC , \2^\\~BA=l+2j,BC = 2i^J + k,D为BC 的中点，贝lj
BC
的中线长AD = V10/2
例2. 1.两向量Q与乙互和垂直的充要条件是Q•乙=0匕
2.向量a = _3i + （—+ 2）J,b = i —久丿• + （；［—1 冰平行，贝
＞JZ= 1 ・
A
3.求同时垂直于向量° = {2,-3,1},方={1,-2,0}的单位向量是土q •
i j k
解c = axb= 2 -3 1 = {2,1,-1},
1 -
2 0
单位化£=有=甘民厂伶菇井
例3・（选择题）过点（2,3,5）口平行于平面5x-3y + 2z + l 0的平面是
C）
A.5x + 3y + 2z — 11 = 0;
B.5x一3y + 2z
+11 = 0;
C.5x —3y + 2z —11 = 0;
D.5x + 3y+ 2z + l 1 = 0.
例4・（选择题）在空间直角坐标系下，方程3兀+ 5y = 0的图形是（D）
A.过原点的一条直线；
B.斜率为--的
一条直线；
C.垂直于Z轴的一平面；D过z轴的一平面.
例5・（选择题）方程2x + 3）=l在空间表示的图形是（B）
A.平行于XOY处标面的平面；
B.平行于z轴的平面；
C.过％轴的平面；D直线.
例6・（选择题）方程x2=2y在空间表示的是（B）
A.抛物线；抛物柱面；
C.母线平行于x轴的柱面；
D.旋转抛物面.
例7.（选择题）下列平面方程中（C）过y轴：
A. x + y + z =
1 ;
C. x + z = 0；B.x+ y + z =
0 i
例8.曲线｛V 在⑺平面上的投影方程为：伫茫
第七章多元函数微分法及其应用
(一) 基本概念
1 •二元函数：定义域和对应规律为z = /(x,y )的两要索，其定义域为平面 上的点集.
例9
(填空题) 二元函数Z =
的定义域是
lim 」——r = lim 斗=1;
-(x-yY XTO 兀
如果动点P(x, y)沿y = 2兀趋于点(0,0)时,则 lim ,「〉——-=lim —~~7 = 0 U x -(x-)》so 4X + 对
y=2x
因沿不同路径，极限值不一，故原极限不存在.
3.连续：函数z = /(x,y)在点(兀(),儿)连续，必须同时满足三个条件，缺一 不可：
(1) 在t/(x 0,y 0)内有定义；(2) lim/(x,y)存在；(3) lim/(x,y) = /(x 0,y 0).
x->x o X —>A 0
y->yo
)'->%
否则间断.
2.极限：函数Z = f\x,y)的极限为A,是指点(兀，刃以任何方式沿某路径趋 于点
(•Wo)时，A ，记为 lim/(x, y) = A
XT 心 y->ro
2 2
例10・证明：极限lim . / ?，。

不存在. 二肿J 一(兀一〃 的定义域为 £> = |(x,y) x 2 + y 2
<l,x+y <1|
证明如果动点P(x,y)沿y = x 趋丁•点(0,0)时，则
x > 0, y > 0或
x <0,-1< y <0
ln(l-x-y)
例11・（选择题）设z= /小 ，下面结论正确的是（D ） 7i-x 2-/
A. 在XOY 平血上连续；
B. 在XOY 平面上不连续；
C. 在X0丫平面上只有（1,0）,（0,1）为间断点； D 在X"平面上，只有在区域x 2 + y 2<l 内，函数连续.
2 Y 2 + y 2
厂,g ）H （o,o ）在点（0,0）处 0,(兀,刃= (0,0)
（C ）
4连续；
C. 极限不存在;
（二）偏导数 1•定义与计算
偏导数奚，冬是整体记号，不具有商的意义，求襄时，把z = /（x,y ）中的y
ox dy ex
广（、_ _ 8 dz
fyx （俎y ）=弋-=
〒（〒）• oyox ox oy （注意：二阶混合偏导数在定义域D 内连续吋，相等）
（三）全微分
1・定义与计算：若函数z = /（x,y ）在点（兀0，儿）的全改变量（全增量）可
表
例12・（选择题）函数/（x,y ） = 5 x 2
+ y B.有极限但不连续; D.无定义.
固定 （看作常数），利用一元函数的求导公式和法则求出.
记住：偏导函数?与一点的偏导数人（兀（）,yo ）=生 宀记号不同，及它们Z
尸）b
间的关系
例 13・(填空题)设f(x,y) = x+y-y/x 2 + y 2
,则/；(3,4)=-
2. 高阶偏导数（以二阶为主）:
於"2务嶋遵）;
尸(先 _ ° Z&X.
从兀沪器=亠（各）; oxdy oy ox
Az = A\x + BAy + o （p ）,其中人B 不依赖于Ar, Ay ,仅与（心儿）有关, °=j （a+（M,则全增量的线性主要部分为为函数的全微分，记作
dz = A Ax + BAy = ^-dx + — dy. dx dy
例14.（选择题）函数z = z （x,y ）由方程z + ln （xy ） = 0所确定，则dz = (A )
竺-冬； x y
B 竺+強;
x >?
C 竺+虫; z X
D.空+怛 xy xy
例15・函数u = ln （x + 7＞,2 + ^2）在点（1,0,1）处的全微分为： __ 例16•求z = /小的全微分及二阶偏导数.
解燈5严詈2严
dz = 2xe x +y
dx + 2ye x +>
dy;
d 2
z a? 2•二元函数在一点连续、可导（两个偏导数存在）与可微的关系.
例17.（选择题）二元函数z = J/ + y2在点（0,0）处（c ）
4不连续，两个偏导数不存在； B. 不连续，两个偏导数存在； C. 连续，两个偏导数不存在； D 连续，两个偏导数存在.
例18.（填空题）（兀,刃,厶（无,刃连续是z = /O,y ） nJ 微的充分条件. —=—x + V 工 0 例19•证明题：证明函数f(x 9y) = h 2-hy 2,
在(0,0)点处两个偏
0,x 2
+ y 2
=0
导数存在，但不连续.（用定义求偏导数，取两条路径如极限不一则不连 续）
3. 方向导数与梯度（不做考试要求）
偏导数连续n 可微
=＞可导
=＞极限存
反之不一定成立.
& 7
•>
•>
=厂=4小严厂
cydx
（1）方向导数一函数在特定方向（指定方向）上的变化率：
2二%COSQ + |^COS0 + %COS7 ,其中a、队Y为射线7与兀,轴正向夹
dl ox dy dz
（2）梯度一不同点的方向导数不同，它在哪个方向上最大呢？
函数u = f（x,y,z）在点（兀,y,z）处的梯度为：
gradf（x,y,Z）=^-l+^-J + ^-k.
ex oy dz
例20・（填空题）函数u = xy2 + z2 - xyz在点（1,1,2）处沿方向7 = {1,72,1}的
方向导数是 ________ .
（四）多元复合函数的导数
1.锁链法则一先画出链式图，写出公式，然后计算.
z = f(u,v\u =(p(x, y),v = y),则有锁链公式：
dz dz du dz d v
- = ----- -| ----
dx du dx dv d x
dz dz du dz d v
- = ----- + -----
dy du dy dv d y
2.儿种推广情形
(1)若z = /(u,v,w),而％= 0(兀,y), V = ^(x, y), w = y),则有锁链公式：
& dz. du Qz dv dz 5vv
- = ----- + ----- + -----
dx du dx dv dx ow dx
& _ dz du dz dv dz dw
dy du dy dv dy dw dy
（2）若z = /（u,兀,y）,而u=2心,y）,则有锁链公式:
dz _df df du dx dx du dx dz _df df du
■-J- 一 j
dy dy du dy 注意：这里頁与冬不同，冬是把复合后的函数，将
y看作常数，对x求
OX OX OX
偏导；而
Z是把复合前的函数，将氏」看作常数对兀求偏导.
OX
(3)设u = f(x,y,z9t), x = x(O,y = y(O,z = z(t),则复合函
数只有一个自变量，
/求导虫，称为全导数.
dt
dz _ du dx du dy du dz du dt
—————I-———，———
dt dx dt dy dx dt dt dt dt
何时用锁链法则：①函数关系不具体；
②中间变量多于一个.
例21.(选择题)设/(x + y, x-y) = x2 - y2 = (x 4- y)(x - y)，则
a/U-y) | df(x-y)^( c )
dx
A.2x-2y;
B.2x + 2y;
C.x+ y;
D. — x — y.
例22.&曲诚讯求
dz d2z dx，dxdy
例23•设i…,求詈詈詈
解由锁链法则賈=——-—沪；
dx 1 + (兀一刃、■
Sil _-1 / \"1
—=■—-( -- 辽(兀_刃；
巧 l + (x-.y)
—= -------- --- - In 兀_)'|・
1 + (—b 八" 川
例24•设二元函数"小+ /(小,兰)，其中/是二阶可微函数，求乙,z：,z：v・y
解设xy = u = 1, — = v = 2 f则
y
X lx X X
/11X+/|2(_7) +7f2~7/21X+/22(_7)
2 f
2x2 x22x
5厂口+产+产
力2
例25•设"=f(x + 5y,xyz),求
or
解u，x = /i + M ；%： =/n + y^fi2 + Mi +）'z兀•
（五）隐函数微分法：（只讨论一个方程的情形）
1.方程两边对自变量求导（复合函数的锁链法则），解出所求的偏导数
（是兀』的函数）.
2•公式法：翌仝，~ = A-
dx F；彷F；
3.微分法：利用一阶全微分形式的”不变性”，对方程两边求全微分，即可
求岀所需的偏导数或导数.
例26.（填空题）由方程X +2X>7+2Z2 = 1确泄z = z（x,y），则頁= ——.
dx 2xy + 4z
例27•设兰=ln二求竺，竺.
z y dx dy
解由隐函数微分法设F(x,- In — = - - In z + In y
z y z
因为F：
1 g
_,F_ =
y、
X1
- -
二
z2
所以dz-F；_
1
z
8z
■
F；
~ ■
1
9
y
dx£x + z x + z£__x + z y(x + z)
Z；g+*；z； =X + M_t./2；
2x x
z yy = X
z2
例28・设z = z（x,y）是由方程x2 + y V 4-? = 4z所确定的隐函数，求dz.
例 29•设2sin(x + 2y-3?)=尢+ 2y-3z ,证明：一+ 亍=1 「 dx dy 证明设 F(x, y, z) = 2sin(x + 2y - 3z)—兀—2y + 3z ,则
F ： = 2 cos(x + 2y - 3z) -1, F ； = 2cos(x + 2y - 3z) -2-2 = 2F ： F ； = 2 cos(x + 2y- 3z)(-3) + 3 = -3F ；
dz F ： 2F ：
2
亦__可__^^_5
故7+0 dx dy ~F'_ F ：-3 + 3_1- J 乙
（六）微分法在几何上的应用（不做考试要求） 1 •空间曲线的切线与法平面
设空间曲线「的参数方程X =（p （t\ y = 0（/）,Z = 69（/）,则r 在点（旺,
儿,5） 处的
切线方程为：
兀一兀（）_ y->（）_ z —z （） 0（4）0（G Q （（（））
法平面方程
为：
0仏)(X-X O )4- l//(t 0 )()'- )'o ) + 0(® )( Z - 5 ) = 0
（1）庆一AC<0,4〉0有极小值，AvO 有极大值;
(2) B 2
-AC>(),无极值;
2 .空间曲线的切平面与法线 隐函数的曲面方程：F （x,y,z ） = O, 显函数的曲面方程：z = f （x,y ）, （七）多元函数的极值及其求法
1 •极值的必要条件：见教材P.264立理1 （极值发生在可疑点，即驻点或
偏导 数不存在的点上.
2. 极值的充分条件：设（兀0，儿）为为函数2 = f （x,y ）的驻点，
52
z| _ .先
左|；二汀，茹 X=Xo
y=〉"，器L 广c,则下结论 °） I ）匸・巾
例30.（选择题）下列说法屮，正确的是（ ）
A. 可微函数/（兀，刃在（兀。

,儿）达到极值,
/；（心，）‘0）=人（兀0，儿）=°；
/©），%））= /；（兀（）」））=0；
C.可微函数 /（x, y ）在（x 0, y 0）有 f ；（x°，y 0） = /Qo, >o ）=。

；
D 二元函数/（兀,刃在（x 0,儿）的偏导数不存在，则必不存在极值.
例31求函数z = 4/ _（2y+ 3）2的极值. 解
=8% =
° ，得驻点(0,二) 4(2)；+ 3) = 0 2
3
故函数在（。

二）处无极值・
3. 用Lagrange 乘了法求条件极值的应用题
解题步骤：（1）将实际问题化为二元或三元函数的条件极值问题;
（2）作辅助函数原函数+几乘条件函数;
（3） 将辅助函数对兀”分別求偏导数，得方程组； （4） 解方程组，得唯一•驻点
（5） 答：根据实际问题的意义，知此唯一驻点即极值点，也
是 最值点，
并求出最值.
例32应用题：造一个容积为V 的长方体盒子，如何设计，才能使所用 材料最少？
解 设盒长为x,宽为y 则高为工，故表面积为：S =2（xy + —+ —）,
xy x y 于是，将问题化为求二元函数的最大值问题,
B.二元两数/（x,y ）在（心,儿）
则必冇
0-8-(-8) = 64>0,
又B —（亏
3
0二）
¥=2(y -7=0
务 2(£) = 0 5y y~
根据实际问题的意义，此唯一驻点即为极大值点，也是最大值点, 答:当盒子的长宽高都是血，即正方体时，所用材料最少.
例33・应用题：利用Lagrange 乘子法求椭圆抛物面^ = x 2
+ 2y 2
到平面
第八章重积分
(-)重积分的概念
1・定义：二重积分表示一种类型的和式极限； 三重积分表示另一种类型
的和式极限.
2. 几何与物理意义
二重积分表示曲顶柱体的体积，平而薄板的质量； 三重积分表示空间物体的质量(无儿何意义). 3. 性质与定积分类似
性质3：如果在定义域D 上，函数/(x,y) = l, b 为D 的面积，则
a = jjl • Jcr = JJdcr
D
D
(二)二重积分的计算
1.直角坐标系下二重积分的计算步骤：面积元素do = dxdy ① 先通过解方程组曲线交点的坐标，然后画出积分域的草图； ② 如是兀-形积分域，将其化为先对y 后对兀的积分次序积出來
y -形积分域，将其化为先对x 后对y 的积分次序积出來. 注利用“穿口法”的定限口诀是： 后积先定限，限内画条线； 先交下
限写，后交上限见.
2 •极坐标系下二重积分的计算 ①何时采用极坐标：(i )积分域是园形或环形；
(ii)被积函数包含%2
+ y 2・
②记住极坐标变换：x = rcosd 面积元素：d(y = FdrdO ,
y = r sin 0
,解得唯一驻点(W,咖),
+ 2)—的最
短距离.
然后将积分化为先对厂，后对&的次序积出来; ③ 积分限如下定： (i )若极点0在域D 内，贝IJ
口/(兀，刃dcr= f d&f /(rcos 0,rsinO)rdr;
D
(ii)若极点0在域D 的边界上，则
JJ/(y)do ■二}/ (rcos 0,r sin 0}rdr\
D
JJ/ = f d0^~ f{r cos 0. r sin O)rdr.
D
"⑹
例34.(选择题)设/(x,y)是连续函数，交换二重积分
(dyf ' 3x 2y 2
dx 的的积分次序后的结果为(C ) A.(d 兀广^ 3x 2y 2
dy; C. [dx( 3x 2y 2
dy;
例 35. 交
(d 订 f (x, y)dy + £ dx 广f (x, y)dy =
___________________________________________•
例 36•(选择题)设域 £>:x 2 + r<l, Ax>0,y>0,
B. dx £ xy 2
dy\ D.f dx f^d y.
x 2
e~y2
dxdy ,其中£>是由直线y = x,y = l 及
y
D
轴所围
的平而区域.
解 画出积分区域草图，这是y-型积分域，故选取先对x 后对y 的积分
次序，得
I =
dxdy =卜 v
dy[ x 2
dx
D
(iii) 若极点0在域D 的外部，则
B.£' dx ^3x 2y 2
dy\
3x 2y 2
dy. 积 分 次
(B )
A.^dx ^xy 2
dy; C.[dx^ xy^dy,
例37.计算二重积分I = 0
分部法1 -
例38.求二重积分|Jxcos （x + y ）6fcr ，其中D 是顶点分别为（0,0）,0,0）和 D
（龙,龙）的三角形区域.
例 39.计算 ^y[ydxdy ,其中 Q 由 y = = 2x-x 2
围成.
D
解 将y = 2尤一才改写为：兀= l + ±Jl-y ,贝ij
D = |(x,y)|l-^-y <3：<)\0< y < 1|,所以
原式=厶=
令尸加4 _ r| Z1 . 2、• 2」兀4
== ----------- + 2 p (1-sin^ Z)sin^ tdt = ---- .
15 山 8 15
例 40.计算 ^R 2
-x 2
-y 2
da ,
D
其中D 是由圆周x 2 + y 2
=Rx 所围成的闭区域
解 根据积分域和被积函数的特点，选用极处标计算 ^R 2
-x 2
-y 2
da = 2『d0f 咖
"V/?2-r 2 rdr
D
例 41.求二重积分 ^e~{xUy2}
dxdy ，其屮 D: x > 0,)^ > 0,x 2
+ / < a 2
.
D
解选用极坐标计算 JJf —心))dxdy =
e~r -rdr = y •— £ e~r d(-r 2
)=彳(1 _严).
例43. D 是由曲线/=4（x + j ）以及x + y = 4所围成的图形，试求D 的面
（以上两题，利用二重积分的几何意义，取被积函数/（兀』）三1,计算二
-te
积.
例42.应用题：求在XOY 平面上由
严疋与y = 所围成区域的面
积.
重积分即
得所谓区域的面积）
例44.（填空题）设空间一光滑曲面S ： z = f （x,y\D 是S 在坐标面XOY 上的投影，则D 的面积
D
例45.利用极坐标计算二重积分JJln(l + x 2
+ / Wy,
D
其小 D:兀 2
+ ^2<l,x>0,y>0. 解由于极点在D 的边界上，故
原式=jjr - ln(l + r~)drd0 - dO^ r ln(l + r 2)t/r
D
=兰丄(in(l +厂2)〃(1 +厂2)
分部法龙「 . I 1 龙
= -(1 +厂2)g(l +厂2)”一［2加厂=-(21n2-l).
（三）三重积分的计算（只做简单的计算） 1・直角坐标系下的计算 休积元素：dv = dxdydz
z/x, y ）<z<z 2（x, y ）
Q:< ^（x ）<^<y 2（x ）,（这是上下张着的曲面，兀-型的投影域）
a<x<b
则
2•柱坐标系（=极坐标+z 轴）下的计算 休积元素：dv = rdrd 0dz
石（几&）5 Z < °（r,e ）
Q:斤⑹S —2（&），（这是上下张着的曲面，极点在投影域外部）
a<0< （3
L d y^dx
=
4
| y 2 64
4(4-〒)dy 盲
rdr
$2（人
0） 1］
几
/(rcos 0”sin&)dz ；
D
JJJ7(x,y,z)dv =
f(x,y,z)dz
3 •球坐标系下的计算
体积元素：dv = r 2 sm （pdrd （pd& r^(p.e)<r<r 2{(p,O)
Q:< (p {{0) < (p <(p 2(0),则
a <0< p
f(rsin(p cos &, r sin (p sin 0. rcos 0) • r 2 sin cpdr
例46•在柱坐标中，0 = a （常数）表示的曲面是：过z 轴的半平面.
例47.（填空题）设一立体由上半球面z = ^4-x 2
-y 2
及锥面占3（宀门 所围成，则其在XOY 平面上的投影为：x 2 + y y
<l.
例48.（选择题）I =出（兀 2 +严）加，其中。

是由锥面乙=捉+于,平面
Q z = d （a>0）所围成的闭区域，则它在柱坐标系下的三次积分是（D ）
\\\f\x 2 + y 2^z 2
)dv= ( A )
A.\ d&] d©J /(f)r- sin(pdr ；
「2〃 M p2cos^ 2 2 BA I d(p\ f(r +2rcos^ + l)r sin (pdr ；
M
(Q.COS<p
a
d©]
f (2r cos (p)r~ sin (pdr ；
Dj)
/(2rcos (p)r^ sin cpdr.
例50.求曲面z =，+y2与？ = J ，+ y2所围成立体的体积体积.
2/r
1 r
jjj \-dv = j||rdrdOdz = ^dO^rdr =—. Q £2 0 0 r 2
6
r
x = rsin^?cos^
« y = rsin^sin^ ,
乙-厂cosy
Jf|7(x ，”z)dv = f d&
A^dd^rdr^r 2
dz\
C.『dO £ rdr £ r 2
dz\ 例49 (选择题)设区域O = {o,y,z)
B^de[rdr[yd^
D. 『d& f rdr J
r 2
dz.
x 2 + y 2 + (^-l)2<l ,月J(/)是连续函数,
在柱坐标系下，将被积函数/（x,y^）-l,
则所
第九章曲线积分与曲面积分(曲面积分不做考试要求) (-)曲线积分
1.第I型曲线积分(对弧长的积分)
2•第II熨曲线积分(对坐标的积分)
3.两类积分之间的联系.
4.计算方法
(1)设曲线厶由它的的参数方程：\X =(P{t\a<t<p^
(特例)[X = X ,a<x<b^则[y = yM
]7（兀,y）ds = £/+ 屮J⑴力,（a < 0）;
(2)若弧的由\X =(P⑴给出，起点4对应t = a ,终点B对应心0,则卜=
0(1)
j Pdx + Qdy = f ｛戶[0（/）,0（/）]0（/） + 0[0（/）,0（0”（/）｝
力・
AB
5.Green（格林）公式：f- ^-）dxdy = f Pdx + Qdy n dx勿L
应用：p = -y^Q = X9得Q得面积
6.平面曲线积分与路径无关的条件
(1) 护如创)=();
(2)设G是单连通域，在G内有一阶连续偏导数，则曲线积分
J Pdx + Qdy
在G内与路径无关的充分必要条件是：穿譽在G内恒成立.
例51.(选择题)设AB为由点A (0,TV)到点33,0)的直线段，则
j sin ydx + sin xdy =
AB
A.2;
B.-l;
C.0; 0.1.
例52・计算曲线积分
广-）巴+（*+）川,其中厶是沿着园: L
X +y
（兀—I ）2 + （｝'-1）2=1从点（2,1）到点（0,1）的上半圆弧.
x + y
"2 2
jr + y
所以，在不含原点的任何闭曲线L 上J=0,即在不含原点的任一闭区域
分与路径无关•故选择路径为线段AB:x = x,y = i^<x<2^在AB 上有:
y = 1, dy = 0,故
例53.计算曲线积分f （x 2
+ y 2）ds ,其中厶是园的渐开线:
L
x = o(cosf+ f sinf) \0<r<2^. y = d(sinf-f cosf)
解 x 2
+ y 2
=[a(cos/ + /sin/)「+[a(si
x = a(-sin f + sinf + f cos tQ = at cos t y f
= a(cos t - cos / + / sin /)
= at sin t ds = yjx ,2 + y ,2
dt = atdt
原式=「/（］ +（2）/力=/「a
+ /3）df
了 =2沪/（1 + 2龙2）.
例54.（填空题）厶为园：兀 2 +〉,2=4,计算弧长的曲线积分
,Q(兀,y)=
因为 dP _ y 2
- 2xy - x 1
¥= u 2+/)2 ¥，("0』工0) OX
内积
原式=
广-丫；；：：+必订十X
? 2
jr +
y
2
+ arctan x 0 ian2 一晋
sinr-/)]- =6z 2
(l + r) »Z/r
j (sinx 2
- yx 2)dx 4-xy 2dy. E 为正向圆周：x 2
+ y 2
=1. L （应用G 驚幼公式化为二重积分计算）
第十章 无穷级数
（-）数项级数敛散性的判别 —.级数的概念
8
工 u n = u x + u 2 H ------------------------------ F u n H , S” = U] + “2
u
n
n=\
若limS “二S,则称级数收敛到和S
n->co
8
级数收敛的必要条件：£冷收敛，则limu”=O.
二逆否命题：若lim&HO,则级数发散.
n=\
三•收敛判别法
1•正项级数的两个判别法：比较判别法，比值判别法; 2 •任意项级数的两个定理； （1）绝对收敛定理
00 00
IX 与YkJ 冇如下关系：
//=!
n=i
£机|收敛
n=l
=> £知也收敛； n=l
丈机发散
n=l
收敛或发散;
n=\
£冷收敛
/»=1
£码收敛或发散;
n=\
lx 发散
n=l
XKI 必定发散.
n=l
（2）比值判别法2
3. 交错级数的Leibniz （莱布尼兹）判别法;
4. 从定义、性质判别. 四.两个重要的参照级数：
+ y 2
ds - 8龙
例55.计算
1 •等比（几何）级数
00
ciq
n | = d + aq + ci(j~ + …+ ciq n
】+ …
n=l
当|q|vl 时，级数收敛；当|q|'l 时，级数发散.
2. p 级数
当”＞1时，级数收敛；当“S1时，级数发散; 特例：p = l 时，丫丄称为调和级数，发散.
”=】ri
五•判别级数收敛的一般步骤： 1. 先看通项冷是否趋于零？
若lim u n 0,则级数发散；若limw n = 0 ,则需进一步判断. n=l 2. 选用合适的判别法；
3•实在不行，再用定义试试，即看极限limS”是否存在？
斤一＞8
8
例56・（选择题）若级数工叫收敛，贝U 级数（D ）收敛
?:=1
00
力£就|；
n=l 00
c 工 U+c);
n=l
例57.若级数£叫收敛,
n=l
例58.判定级数乞2"抽笫的收敛性
?：=1
3
解这是正项级数
法一 •用比较判别法 因u t =T sin-＜（-r.7r,而
” 3" 3
散？ ?1=1
00
D 工c®.
7!=1
则级数》（冷+100）收敛还是发
?1=|
00 ° 9
是公比H=-<i 的等比级数，收敛，由比较判别法，知原级数 n=\ 3 3
由比值判别法，知原级数收敛. 8
例59判断级数£（-ir'
fl=\
g 12 …)
lim --------- = 0 ,故Itl leibniz 判别法，知原交错级数收敛. 心8 ln （l + ；?）
例60 （填空题）极限lim 出的值为0
71—>00
卅' —
解 以冷为通项的正项级数，根据比值判别法知其收敛，又据 n 收敛级数的必要条件，知其通项的极限为零.
例61证明：若知> 0, lim mi n = a 工0 ,贝0级数£匕发散.
证明 因为\mn-u n =lim^- = « ^0 ,由u n > 0,根据正项级数比值判 川一>co
n —>oo 1
n 别法的
极限形式，由于立丄为调和级数，发散，所以级数£绻也发散.
n=l 〃
/i=l
（-）求幕级数的收敛半径及收敛区间
敛半径.
收敛.
U ■
lim4
n —>oo ji
U
n =lim "TOO
法二•用比值判别法因
2M sin — 3〃
无穷小桥换 =lim
>00
71 n+i
2
=—< 3
1. 时的收敛性.
用比值判别法2 lim
⑴ "T8 冷⑴
（一般与兀有关），再讨论，求出收 1.
2.
/? = lim ,
则收敛半径为：R = —
心8亿，
o
3. 对端点单独讨论后，确定收敛区间.
% — 1
例62.求需级数工空二？宀的收敛域.
n=i 2
解这是缺少奇数次项的幕级数，由比值判别法2,
=＞当非十5Z 时，原级数收敛，收敛半径尺皿
讨论端点的情况：当X = ±V2时，原级数为乞2」发散,故收敛域 n=l 2
(—
V2,5/2)
例63•将函数/⑴=
Z ,展为兀-1的幕级数.
5 — 2x + x
例64•求幕级数f (-ir —z 的收敛域；当兀=i 时，是绝对收敛,
心 还是条件收敛？并给出证明.
(三)利用幕级数和函数的分析性质，求和函数.
00
设幕级数工％兀“的收敛半径为&〉())，则在(-R,R)内，和函数具有下
H=0
列性质：
(1) 和函数是连续的；
8
00
(2) S(x)逐项可导，且S'(x)=(工°”兀")'=工叫兀"“；
n=0
n=0
注意：求导和积分后的和函数收敛半径不变，但在收敛区间端点可能不
同.
go 4;?+1
例65.求幕级数工一的和函数.
“=]4n +1
(3) S (兀)逐项可积
00
且(S ⑴du [工/力
“=0
设和函数S (兀)
00
§4/7 + 1 易得收敛区间为(-1,1),利用逐项微分
2” _ ]
(2n-l)x 2n '2
~2
这是|^| = x 4 < 1的等比级数，由因S(0) = 0 ,故
=丄 arctanx-x^lnM. 2 4 |1-JC |
例66.求幕级数若話的收敛区间，并求其和函数 (四)傅立叶级数(不做考试要求)
第十一章
微分方程
(~)一阶微分方程的求解
1. 口J 分离变量的方程：吐=fMg(y)的解法
dx
分离变量后，两边同时积分得通解； 2•齐次方程：© = F(=)的解法：
dx x
令贝心色+心F(u),分离变量并积分，得通解；
x dx
3. 一阶线性非齐次方程：© + P My = qM 的解法解法-常数变易法 dx 通解公式为:y=e^
P(x)dx
• dx + c]
注：解方程一般直接用常数变易法，当然，也可代通解公式，但公式复
杂，口计算
"和化简吋较繁，易出错.
(二)二阶线性微分方程的通解结构
I .齐次方程：0的通解：是两个线性无关特解
线性组合,即 y = c x y x {x) + c 2y 2{x)；
和积分,
8
5
z (x) = X<
//=! x 4/?+1
4n + l
00 H=1
"+(旳2+・・・+的'+… (-1<X <1)
2.非齐次方程：y" + + gO）y = /⑴的通解
非齐通（y）=齐通（亍）+非齐特（才）
（三）二阶常系数线性齐次方程：y”+〃y + q = （）通解的特征根解
法；
二阶常系数线性非齐次方程的两种特殊右端特解的解法.
例67.（单选题）下列微分方程屮，通解为y = e2x cos x + c2 sin x）的方
程是
(B )
A.y”_4y'_5y = 0;
B.y” 一4y' + 5y = 0;
C.y n - 2/ + 5y = 0;
D.y,f + 4# + 5y =严
解B •的特征方程为：才_42 + 5 = 0
^ = 4±716-20 =4±2Z =2±.^ a = 2,0 = \
2 2
故通解为：y = e2x(C[ cos x + c2 sin x)・
例68.求微分方程)/-3)/-4歹=0,此=0，刃“0=-5的特解.
例69・(填空题)微分方程xy f-y\ny = 0的通解为歹=严・
这是可分离变量的方程%—= ylny
dx
分离变量dy
ylny
dx
X
两边积分(d(ln y) fdx J In y」
x
得In I n v=In J i + In q
In y =Cj x ,ln y = ±c}x, y = e±c'x = e cx.例70.求微分方程y n + 5y f + 4y = 3-2x的通解。

解特征方程为厂$ +5厂+ 4 = 0,特征根为斤=-1也=-4,
齐次方程的通解为：y = C x e'x + C2e~4v
设特解为:y* = b(}x + b}代如原方程可得"()=-£，勺=¥
2 8
所以原方程的通解为y = G厂+ -丄兀+耳
2 8
例71 •求微分方程/- 2/ + y = 8(1 + e2x)的通解.
解这是二阶常系数线性非齐次方程，
该方程的特征方程是几2 -22 + 1 =()
有二重根&,2 =1，故对应的齐次方程的通解为y(c, +C2尢0・特殊右端8(1 +戶)的〃不是特征根，故设特解为y=b^b.e2x
将/.(/X = 20,()丁 = 40代入原方程,得
4e2x -2• 2e2x + b()+ b}e2x =8 + Se2x
比较两端同函数得系数，得%=8,勺=8,因此特解为才=8 + 8戶，
故原方程通解为y = y + y* = (c】+ c2x)e x + 8(1 + e2x).
例72•微分方程/-5y + 6y = %e3x的特解形式为：( )
A. y* = Ae3x；
B. y* = Axe3x；
C. / =(Ax + B)?x；
D. y =x(Ax^B)e3x・
例73.求微分方程y"+y = sin2兀的通解.
解这是二阶常系数线性非齐次方程，先求对应齐次方程的通解特征方程A2+ 1 = 0的共辄复根是A = ±i f
故有通解y = q cos+ c2 sin x ；
再求原方程的一个特解，设y* =tzcos2x + /?sin2x ,
将y*,(y*X = ~2a sin2x + 2b cos2x ,()「)" = -4a cos2x一4b sin 2x 代入原方程，有
-4a cos 2x 一4b sin 2x + a cos 2x + b sin 2x = sin 2x 艮卩一3a cos 2x 一3b sin 2x = sin 2x ,
比较两端同函数的系数，得a = 0,b = --f故有特解y*=--sin2x,
3 3
例74.用常数变易法求微分方程y + ycotx = 5^的通解.
2012. 6.5第5次修改于惠州学院数学系.。