运筹学PPT 第二章 线性规划

饲料 M
售价 10
每公斤含营养成分
AFra Baidu bibliotek
B
CD
0.1
0
0.1 0.2
N
4
0
牲畜每日每头需要量 0.4
0.1
0.2 0.1
0.6
2.0 1.7
试决定买M与N二种饲料各多少公斤而使支出的总费用为 最少？
2020/5/26
运筹学
解：设购买M、N饲料各为 x , x
1
2
，则
Minz 10x1 4x2
0.1x1 0x2 0.4
2020/5/26
运筹学
案例1
超级食品公司的广告混合问
题分析： （1）决策变量的设置
令x1、x2、x3分别为三种媒介的广告数量；
（2）目标函数：广告总受众量（千人）最大
max z 1300x1 600x2 500x3 （3）约束条件
300x1 150x2 100x3 4000 （ 广 告 预 算 ）
策变量的表达式表示； 3.约束条件：为实现优化目标需受到的限制，
用决策变量的等式或不 等式表示；
2020/5/26
运筹学
在本例中
决策变量：甲、乙产品的计划产量，记为 x , x ；
目标函数：总收入，记为z,则z=7x1+12x2，为体现对其 追求极大化，在z 的前面冠以极大号Max；
约束条件：分别来自资源煤、电、油限量的约束，和产 量非负的约束，表示为
x1,x2,x3 m2, z为总面积,则本问题的数学模型为:
Maxz x1 x2 x3
0.105x1 0.135x2 0.120x3 110000
0.012x1 0.030x2 0.025x3 20000 0.110x1 0.190x2 0.180x3 150000 s.t0.210x1 147000
11 1
1n n
1
s.t.am
1
x 1
a x mn n
b
m
x 1
,
,x n
0
2020/5/26
运筹学
模型一般式的矩阵形式
记 X (x , , x )T ,C (c , , c ), A (a ) ,b (b , ,b )T
1
n
1
n
ij mn
1
m
则模型可表示为
Maxz CX
s.t.
AX X 0
2x1
+ x2 + 2x2 +
x3 x3
+
x4
+
3x5
+
2x6
+
x7
= 100 = 100
s.t.
x1 x1,
x2,
+ x3+ 3x4 x3, x4, x5,
x6,
+ 2x6 + 3x7 x7, x8 ≥ 0
+
4x8
=
100
最优解为：
x1=10,x2=50,x3=0,x4=30,x5=0,x6=0,x7=0,x8=0
b
2020/5/26
运筹学
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
428.0000
VARIABLE X1 X2
VALUE 20.000000 24.000000
REDUCED COST 0.000000 0.000000
ROW 2) 3) 4)
1
2
x 0,则x 90,再令x 0,则x 40,于是该直线过
1
2
2
1
点（0，90）、（40，0））；
再确定不等式9x 4x 360表示上述直线的哪
1
2
半平面，可用代入点的方法（如把原点（0，0）代入
不等式，满足，说明原点所在的半平面即该不等式
所表示的区域）。
2020/5/26
运筹学
1. 图解法的步骤
s.t.00.x11x1
0.1x2 0.2
x2
0.6 2.0
0.2x1 0.1x2 1.7
x ,1 x2 0
2020/5/26
运筹学
线性规划模型的一般形式：（以MAX型、 约束为例）
决策变量： 目标函数： 约束条件：
x , , x
1
n
Maxz c x c x
11
nn
a x a x b
90x1 x1
30x2
40x3 1000 （酬金预算） 45 （电视数目）
x1, x2, x3 0
最优解：X=(0, 20, 10)T
2020/5/26
运筹学
案例2
控制大气污染
分析： （1）决策变量的设置 令x11、x12、x13分别为鼓风炉的各种将污方法所实施的比例；
x21、x22、x23分别为反射炉的各种将污方法所实施的比例； （2）目标函数：总成本最低
源限制向 9量；4
A 4 5 3 10
单耗系数矩阵。
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表示决策变量的向量； 表示产品的价格向量；
表示资
表示产品对资源的
运筹学
一般地
Maxz CX
s.t.
AX b X 0
X 称为决策变量向量，C 称为价格系数向量,
A 称为技术系数矩阵,b 称为资源限制向量。
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min z 8 x11 7 x12 11x13 10x21 6 x22 9 x23
（3）约束条件
12x11 9 x21 25x12 20x22 17 x13 13x23 60
st
03375xxx1111ij45123,xxi 2211
18x12 28x12 1,2; j
2.9 2 1 1 1 0 0 0 0
2.1 0 2 1
1.5 1 0 1 余料 0.1 0.3 0.9
03 2 1 0 30 2 3 4 0 1.1 0.2 0.8 1.4
10 50
30
设 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8 分别为上述8种方案下料的原材料根数， 建立如下的LP模型：
min Z =x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8
第二章 线性规划（Linear Programming）
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
线性规划的模型与图解法 单纯形法 对偶问题与灵敏度分析 运输问题 线性整数规划
2020/5/26
第一节 线性规划的模型与图解法
一、线性规划问题及其数学模型
在生产管理和经营活动中经常需要解决：如 何 合理地利用有限的资源，以得到最大的效益。
7.4 m
2.1m
1.5 m
2.9m
方案 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ
2.9 2 1 1 1 0 0 0 0
2.1 0 2 1 0 3 2 1 0
1.5 1 0 1 3 0 2 3 4 余料 0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4
2020/5/26
运筹学
方案 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ
图解法是用画图的方式求解线性规划的一 种方法。它虽然只能用于解二维（两个变 量）的问题，但其主要作用并不在于求解， 而是在于能够直观地说明线性规划解的一 些重要性质。
2020/5/26
运筹学
1. 图解法的步骤
x2
（1）做约束的图形
先做非负约束的图 形；
以例1为例，再其做约资束源为约束的图
形。 9x1 4x2 360
标 z 优化的方向移，直 90
至可行域的边界为止，
这时其与可行域的“切”
点 X * 即最优解。
如在例1中， X * 40
是可行域的一个角点， 30
X*
经求解交出 X * 的
二约束直线联立的方程
可解得 X * (20,24)T 0
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运筹学
40 50
x 100 1
由图解法的结果得到例1的最优解X * (20,24)T ， 还可将其代入目标函数求得相应的最优目标值 z* 428。说明当甲产量安排 20 个单位，乙产量 安排 24 个单位时，可获得最大的收入 428。
2020/5/26
运筹学
例1 某工厂可生产甲、乙两种产品，
需消耗煤、电、油三种资源。现将有关数据列表
如下：
资源单耗 产 品
甲乙
资源限量
资源
煤
9
4
360
电
4
5
200
油
3 10
300
单位产品价格
7 12
试拟订使总收入最大的生产方案。
2020/5/26
运筹学
线性规划模型的三要素
1.决策变量：需决策的量，即待求的未知数； 2.目标函数：需优化的量，即欲达的目标，用决
示成集中某二点连线的内点。如多边形的顶点。
s.t
4 x1 3x1
5x2 10x
200 2 300
x ,1 x2 0
0
x1
2020/5/26
运筹学
问题：不等式的几何意义是什么？怎样做图？
如9x 4x 360，它表示以9x 4x 360为边界的
1
2
1
2
一个半平面。因此，它的做图方法是：
先做直线9x 4x 360,用两点连线方法（令
（1）做约束的图形
x2
先做非负约束的图形； 再做资源约束的图形。90
以例1为例，其约束为
9x1 4x2 360
s.t
4 x1 3x1
5x2 10x
200 2 300
40 30
x ,1 x2 0
各约束的公共部分即
模型的约束，称可行域。 0
40 50
2020/5/26
运筹学
x 100 1
对于目标函数
0.0045x1 0.003x2 0.0035x3 4000 x ,1 x ,2 x3 0
前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上
述模型，共用了12个变量，10个约束条件。
2020/5/26
运筹学
练习：某畜牧厂每日要为牲畜购买饲料以使其获取A、
B、C、D四种养分。市场上可选择的饲料有M、N两种。 有关数据如下：
z c x c x
11
nn
任给z 二不同的值，
便可做出相应的二
直线，用虚线表示。
（2）做目标的图形
x2
以例1为例，其目标为
z 7x 12x ，分别令
1
2
z 84和z 168 ，做出
14
相应的二直线，便可看出 7
z 增大的方向。
0
12
24
x1
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运筹学
（3）求出最优解
将目标直线向使目 x2
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SLACK OR SURPLUS 84.000000 0.000000 0.000000
NO. ITERATIONS=
DUAL PRICES 0.000000 1.360000 0.520000
2
运筹学
回顾例1的模型
其中
X (x , x )T
1
2
C (7,12)
b (360,200,300)T
运筹学
线性规划应用举例
例1 （下料问题） 某工厂要做100 套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每 根长7.4 m，问：应如何下料，可使 所用原料最省？
2020/5/26
运筹学
例1 （下料问题） 某工厂要做100套钢架，每套用 长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每 根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？
x1, x2 0
2020/5/26
运筹学
例2 某市今年要兴建大量住宅,已知有三种住宅体系可以
大量兴建，各体系资源用量及今年供应量见下表：
资源 住宅体系
砖混住宅
造价 (元/m2)
105
钢材
水泥
(公斤/m2) (公斤/m2)
12
110
砖 (块/m2)
210
人工 (工日/m2)
4.5
壁板住宅
135
30
2020/5/26
运筹学
x2
练习：用图解法求解
下面的线性规划。
1.5
Minz 6x 4x
1
2
s.t.32xx11
x 2
4x
1 1.5
2
1
x 1
,
x 2
0
0.375
X*
X * (0.5,0)T , z* 3 0
0.5
1
x1
2020/5/26
运筹学
问题：在上两例中
线性规划的可行域是一个什么形状？ —— 多边形，而且是“凸”形的多边形。
最优解在什么位置获得？ —— 在边界，而且是在某个顶点获得。
2020/5/26
运筹学
2. 由图解法得到线性规划解的一些特性
（1）线性规划的约束集（即可行域）是一个凸多 面体。
凸多面体是凸集的一种。所谓凸集是指：集中任两点的连线仍属 此集。试判断下面的图形是否凸集：
凸集中的“极点”，又称顶点或角点，是指它属于凸集，但不能 表
31x22 24x22 1,2,3
56 x13 29 x13
49 x23 20 x23
150 125
最 优 解：
2020/5/26
增加烟囱高度 加入过滤装置 假如高级燃料
鼓风炉
x11=1 x12=0.34 x1运3=筹0学.05
反射炉
x21=0.62 x22=1 x23=1
二、线性规划模型的图解法
190
——
3.0
大模住宅 资源限量
120
110000 (千元)
25
20000 (吨)
180
——
3.5
150000 147000 4000 (吨) (千块) (千工日)
要求在充分利用各种资源条件下使建造住宅的总面积为最 大(即求安排各住宅多少m2)，求建造方案。
2020/5/26
运筹学
解: 设今年计划修建砖混、壁板、大模住宅各为
2020/5/26
9x1 4x2 360
s.t.34xx11
5x2 10 x
200 2 300
x1,
x2
0 运筹学
z 解：设安排甲、乙产量分别 为 x1, x2 ,总收入为 ，
则模型为：
Maxz 7x1 12x2
9x1 4x2 360
s.t.34xx11
5x2 10 x
200 2 300