最优控制

双闭环直流调速系统的二次最优控制设计方法摘要：利用MA TLAB仿真工具，对线性二次型最优控制方法进行了研究，将之应用于双闭环直流调速系统的设计中，并给出了最优的速度环动态设计方法。仿真和实验结果表明，设计所得到的调速系统获得了良好的控制性能，对参数和扰动也不敏感，文中结合直流提升机调速系统的实际应用，给出了系统响应波形。

工业实际直流调速系统中，一般往往存在惯性滞后和非线性等环节，影响系统的调速性能。按照经典控制理论设计的双闭环调速系统，常常是理论设计与现场调试相差很远。而且一般提高了系统的快速性，系统的稳定性又受到了影响，难以获得最优的控制性能。该文以状态空间理论为基础，以MA TLAB仿真软件为工具，将线性二次型最优控制方法应用于双闭环直流调速系统的设计过程中。二次型(LQ)最优闭环系统具有无穷增益裕量、至少±60。相位裕量、有界超调和一定的非线性容限，并且最优性与初始条件无关等优点。通过该设计方法，使直流调度系统获得了良好的控制性能，并能兼顾系统的快速性、稳定性和抗干扰性能。

1 线性二次型最优控制设计方法

所谓最优控制问题，就是寻找一个控制系统的最优控制方案或最优控制规律，使系统能最优地达到预期的控制目标。线性二次型最优控制就是以状态变量和控制变量二次型函数的积分作为目标函数，通过设计调节器，使二次型目标函数具有最小值的问题。

设LTI系统状态方程模型为：

采用线性二次型目标函数：其中Q，R分别为对状态变量和输入变量的加权矩阵，t0,tf为起始时间和终止时间，S为终态约束矩阵。为使目标函数J，取最小值，由最小值理论可得最优控制为：

其中P(t)为微分Riccati方程的解，Riccati微分方程如下：

系统处于稳态情况时，设终止时间tf→∞，系统的状态趋于0，这时Riccati微分方程的解矩阵P(t)趋于常数矩阵P，微分Riccati方程简化为代数Riccati方程：

设带运动约束与控制约束的二次型最优控制为：

K即为系统的状态反馈矩阵。

2直流调速系统速度环的设计

直流调速系统采用转速和电流双闭环调节。为了限制电枢电流的超调量，把电流环设计成I型系统；而基于稳态无静差的要求，将转速环设计成典型II型系统。电流调节器和转速调节器都采用PI调节器。下面具体研究一下转速环的设计，这时把电流环等效为转速调节系统中的一个惯性环节。转速调节系统的被调对象如图1所示。图中1／s是转速调节器中的积分环节，用于消除系统静差；

由图1可知，开环系统的状态方程为：

这样，对象的状态方程模型(A，B)已知了，现在要对线性二次型目标函数中的加权矩阵进行选择。不同的加权矩阵将影响Riccati方程的解，即影响系统状态反馈的大小。从目标函数表达式可以看出，Q和R的数值是相对的，它们表示减小误差的权和减小控制能量的权的相对重要程度。通常Q和R 都选为对角阵，一般将R 固定，然后改变Q的数值，通过仿真或实际比较后确定最优控制模型。Q和R确定后就可以调用MA TLAB中的函数lqr 来求解Riccati方程，从而得到系统的反馈矩阵K采用全状态反馈方式，则闭环系统的状态

方程表示为[(A—BK)，B，C，D]，按照最优线性二次性能指标设计得到的全状态反馈系统结构如图2所示。下面详细讨论加权阵QR，对系统控制性能的影响。

以550 kW直流提升机系统为仿真对象进行设计和仿真。将电流环校正为典型I型系统，并在将其降阶为一阶惯性环节后，就可得出下述速度环调节对象参数：

系统中，控制输入只有一个，因此直接选择R=1,取Q为三阶对角阵，使各状态加权值相等，对角线元素值分别为1，10，100，500，1000。由图可知Q的变化对系统的阶跃输出影响不大。通过理论分析和大量的仿真发现，单独变化每个状态反馈系数的变化对系统的响应性能有较大的影响。

(1)增加Q(1，1)，令Q(2，2)=Q(3，3)=1，即增加速度反馈的程度，系统响应速度和调节时间都变小，超调变大。响应波形如图4所示。

(2)增加Q(2，2)，令Q(1，1)=100，Q(3，3)=1，系统响应速度和调节时间都迅速变大；减小，则系统响应速度和调节时间都变小，但超调增加。响应波形如图3所示。

图3不同Q阵时的阶跃响应

图4 不同速度反馈系数的阶跃响应

然后，令Q(1，1)=100，Q(2，2)=10，Q(3，3) 1，分别取R=0．01，0．1，1，10，100。系统阶跃响应波形如图5所示，从曲线可以看到随着R的增大，超调量慢慢增加，响应时间和调节时间变长，其原因是闭环极点位置的变化，主导极点不断向虚轴移动，因此系统阶跃响应特性变差。通过以上仿真中对系统响应曲线各个性能的比较和最优根轨迹的选取，确定最优的Q矩阵和R矩阵的对应加权如下：

图5 不同R阵时的阶跃响应

3 设计结果和分析

图2的全状态反馈系统结构图可以等效为图6的形式。其中Ton为转速滤波时间常数，用于抑制反馈信号中的交流分量(即高频干扰信号)，取Ton =0．01 S。由图2与图6之间的等效关系可以求出：tn=09743s，Kn = 9.7428，Tf =0．0904s

图6系统设计等效结构图

图7所示为实际闭环系统阶跃响应的电流和转速波形；图8则是系统受扰动后的响应波形。由图可知，闭环系统响应速度很快，调节时间和超调都较小，且具有较好的抑制扰动的能力，因此采用线性二次型最优控制方法设计的调速系统获得了良好的控制性能。

图7系统启动时的电流和转速波形图8受扰动时的阶跃响应

4 结论

采用线性二次型最优控制方法设计调速系统速度环，通过选择最优的加权矩阵，能够使闭环系统获得最优的控制性能。这种设计方法能保证提升机直流调速系统实现快速启动，安全可靠、稳定运行，兼顾了快速性和稳定性，并具有较强的抗干扰性，有很高的工程实际意义和应用价值。