05章1-3弯曲应力

§5-1 梁的纯弯曲
平面弯曲：
P
P
P
梁的横截面具有对称线，所有 对称线组成纵向对称平面，外载荷作用 在纵向对称平面内，梁的轴线在纵向对 称平面内弯曲成一条平面曲线。
yaP
Pa
横力弯曲：
Q0,M 0
Q P
x
纯弯曲：
Q=0,M 0
P
M
梁的应力
Pa
剪应力 —— 与剪力对应
正应力 —— 与弯矩对应
§5-2 梁纯弯曲时的正应力
z
y (对称轴)
如何判别应力符号？
说明：
①M、y与的正负号之间的关系，通常用变形判断。 M为正：下拉上压；M为负：上拉下压。
②公式适用范围： a.线弹性范围； b. 平面纯弯曲。 C. 单一材料。
§5-3 横力弯曲时的正应力
1、纯弯曲正应力可以推广到细长梁横力弯曲
以上有关纯弯曲的正应力的公式，对于横力弯 曲的情形，如果是细长杆，也可以近似适用。理论 与实验结果都表明，由于剪应力的存在，梁的横截 面在弯曲之后将不再保持平面，而是要发生翘曲， 但对于细长梁，这种翘曲对正应力的是很小的。通 常都可以忽略不计。
2. 截面最大应力
max
M Iz
ymax （在距中性轴最远点）
中性轴为对称轴： max min 中性轴为非对称轴: max min
又可写成： max
M Wz
其中： Wz
Iz ymax
— 抗弯截面模量（m3）
3. 全梁最大应力：（对等截面而言）
max
M max Wz
4. 强度条件：
分布图
C max
MC Iz
y2
由于 MC y2 MA y1 ，最大拉应力发生在C截面下边缘
max
C
max
MC y2 Iz
34.5MPa
40MPa
拉应力强度足够。
2．压应力强度校核
A截面下部受压 ：
A截面 应力 分布图
C截面 应力 分布图
Amax
M A y2 Iz
C截面上部受压 ：
A
讨论：
E y -(2) N dA 0 -(3)
A
① 将(2)代入(3)
y
E dA 0
A
Sz =
ydA 0
A
M y
z dA 0 -(4)
A
SZ称为静矩,当通过截 面形心时为0
中性轴通过截面形心
② 将(2)代入(4)
A
zE
ydA
0
A zydA 0
当截面具有对称轴时,自然满足. z, y轴是主惯性轴
（2）计算Wz
Wz
M max
[ ]
38 103 170 106
0.223 10-3( m3 ) 223( cm3 )
（3）查表： P324 选20a, Wz 237cm3 > 计算值 如果: Wz 小于计算值，验算max，不超 过[]的5%，工程上允许。
例：有一外伸梁受力情况如图所示，截面采用T型截面，已知材
(中轴性尚未确定, y、未知)
由(2)可知应力分布:
3. 静力学关系(确定微观剪应力与宏观扭矩的等效关系)
Mz来自百度文库
(中性轴) Mz
z
x
微内力的合力及等效关系
N dA 0 ---- (3) A
y σdA z y (对称轴)
M y
z dA 0
A
---- (4)
M z
y dA M ---- (5)
a’
a’
o’ b’
o’ b’
•纤维bb变形后的长度：
m’
n’
b 'b ' ( y)d
•纤维bb的应变：
( y )d d y - - - - (1)
d
( 与 y 成正比)
2.物理关系：
假设: 各层纤维之间无挤压作用,各条纤维仅受单 向拉压受力, 应此可以使用简单虎克定律。
根据简单虎克定律： E y - - - - (2)
139mm
(3)截面对中性轴的惯性矩
Iz
200 303 12
200 30 462
30 1703 12
30 170 542
40.3 106 m4
（4）校核梁的强度（绘出应力分布图） 1.拉应力强度校核
A截面 应力 分布图
A截面为负弯矩，上部受拉
Amax
MA Iz
y1
C截面 应力
C截面为正弯矩，下部受拉
y
x
z
对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。
• 中性轴: 中性层与横截面的交线, 用Z轴表示。
梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。
如果正号弯矩如图作用在梁的横截面上，该梁下部将伸 长、上部将缩短
中性层曲率半径
d
M
M
•纤维bb变形前的长度：
m’ n’
y bb o 'o ' d dx
40MPa
这时梁的强度就不足。由此可见，对于抗拉、拉压强度 不相同，截面上下又不对称于中性轴的梁，须根据梁的受力 情况来合理放置梁的截面 。
例：选择工字钢型号。
P1
P2
已知：
P1 15 kN , P2 21kN
17kN
l/3 l/3 l/3
19kN
l 6 m [ ] 170 MPa
Cmax
MC y1 Iz
由于 MA y2 MC y1 ，最大压应力发生在A截面的下边缘
max
Amax
M A y2 Iz
69MPa
100MPa
压应力强度足够。
3．讨论
如果将此梁的截面倒放成⊥形，这时梁的最大拉应力 将发生在A截面的上边缘，其值为：
max
M A y2 Iz
69MPa
纯弯曲：
M
M
内力只有弯矩，无剪力。
M
研究方法(Methodology to be used in research): 实验观察 总结 概念 设想 模型 实践检验
伽利略对于梁弯曲的探索性工作
根据木梁弯曲破坏现象, 伽利略推断：梁向下弯曲时, 梁的各层纤维均绕底部转动,即:横截面将绕底线转动.
1. 几何关系: 通过实验观察，可以总结出
应用：
M max [ ]
Wz
[ ] — 弯曲容许正应力
①强度校核：
M max [ ]
Wz
②设计截面：
Wz
M max
[ ]
③计算承载力： M max Wz[ ]
抗弯截面模量WZ的计算
矩形截面 b
bh2 WZ 6
Z h
实心圆截面
WZ
d 3
32
Z
d
空心圆截面
d D
？
WZ 32
D3 d 3
WZ
64
D4 d 4
dD
D D3 1 4
2 32
注意：抗弯截面模量WZ的计算不可以用负面积法!
例：选择工字钢型号。
P1
P2
已知：
P1 15 kN , P2 21kN
l/3 l/3 l/3
l 6 m [ ] 170 MPa
17kN
19kN
解：
34
38 M图(kN·m) （1）画弯矩图，确定 Mmax
34
38
M图(kN·m)
解： （1）画弯矩图，确定 Mmax
（2）计算Wz
Wz
M max
[ ]
38 103 170 106
0.223 10-3( m3 ) 223( cm3 )
习题
5-1，5-2，5-4 ，5-11
料的容许拉应力为[σT]=40MPa,容许压应力[σC]=100MPa 。试
校核梁的强度。
Z
弯矩图
解（1）作梁的弯矩图如图 最大正弯矩
Mc 10KN .m 最大负弯矩
MA 20KN .m
（2）确定中性轴的位置
截面形心距底边
yc
30170 85 30 200185 30170 30 200
M
(中性轴)
z x
y σdA
z
y (对称轴)
E y
-(2)
Mz
y dA M -(5)
A
③ (2)代入(5)式：
A
yE
y
dA
M
定义: Iz
y2dA
A
惯性矩
1 M
EI z
---- (6)
EIz——抗弯刚度
④ (6)代入(2)式
M y ---- (7)
Iz
M
(中性轴)
z x
y σdA
mn
a o
a o
x
b
b
m dx n 中性轴
y
变形前
M m’ n’ M
a’ a’
b’ o’
o’ b’
m’
n’
变形后(小变形)
中性层
现象：
z
① mm,nn 变 形 后 仍 为
直线。
②bb伸长，aa缩短；
中性轴
z 推断： ①同层纤维变形相 等(平面假设)； ②中性层没有变形。
中性层和中性轴
• 中性层
梁弯曲变形时，既 不伸长又不缩短的纵向 纤维层称为中性层。