几个常用函数的导数练习

第一章 1.2 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

课后强化演练

一、选择题

1．若f (x )＝cos π

6，则f ′(x )等于( )

A ．

32

B ．0

C ．12

D ．－12

答案：B

2．给出下列结论：

①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝x ，则y ′＝1

2x ；③若y ＝2x ，则y ′＝2x ；④若f (x )＝log a x (a ＞

0且a ≠1)，则f ′(x )＝log a e

x

.其中正确的有( )

A ．①②

B ．①②③

C ．②③④

D ．①②④

答案：D

3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为1

2，则切点的横坐标为( )

A ．3

B ．2

C ．1

D ．12

解析：设切点的横坐标为x 0(x 0>0)， ∵y ′＝x 2－3

x

，

∴y ′|x ＝x 0＝x 02－3x 0＝1

2，整理得：x 20－x 0－6＝0，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍)． 答案：A

4．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤0，π

4 B ．⎣⎡⎭⎫

3π4，π C ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭

⎫3π

4，π D ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤π2，3π

4 解析：设P (x 0，y 0)，∵y ′|x ＝x 0＝cos x 0，∴直线l 的斜率k ＝cos x 0∈[－1,1]．又直线l 的倾斜角α∈[0，π)，∴0≤α≤π4或3π

4

≤α＜π.

答案：C

5．若f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则g ′(x )－f ′(x )＞0的解集为( ) A ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ B ．⎝⎛⎭

⎫0，2

3 C ．⎝⎛⎭

⎫－2

3，0 D ．⎝

⎛⎭⎫－∞，－2

3∪(0，＋∞) 解析：∵g ′(x )＝3x 2，f ′(x )＝2x ，由g ′(x )－f ′(x )＞0，得3x 2－2x ＞0，得x ＞2

3或x ＜0.

答案：A

6．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( ) A ．2 B ．0 C ．－2

D ．－4

解析：∵f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ∴f ′(1)＝2f ′(1)＋2，f ′(1)＝－2， ∴f ′(x )＝2×(－2)＋2x ＝2x －4. ∴f ′(0)＝－4. 答案：D 二、填空题 7．函数y ＝x

－1

在(1,1)处的切线方程为________．

解析：∵y ′|x ＝1＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝0

8．若曲线y ＝x a ＋1(a ∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则a ＝________. 解析：由题意知：y ′| x ＝1＝a ＝2－0

1－0＝2.

答案：2

9．曲线y ＝ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为________． 解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x ，∴y ′|x ＝e ＝1

e .

∴切线方程为y －1＝1

e (x －e)，即x －e y ＝0.

答案：1

e x －e y ＝0

三、解答题

10．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2，求适合f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 值． 解：∵f ′(x )＝1

x

，g ′(x )＝2x ，

又f ′(x )＋1＝g ′(x )， ∴1

x

＋1－2x ＝0， 得2x 2－x －1＝0，得x ＝1或x ＝－1

2(舍)，

∴x 的值为1.

11．过(0,16)点做y ＝x 3的切线，求切线l 的方程．

解：设切点(x 0，x 30)，则y ′| x ＝x 0＝3x 20， ∴切线l 方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)． 又点(0,16)在直线l 上，∴16－x 30＝－3x 3

0，

∴x 0＝－2.∴切线为y ＋8＝12(x ＋2)， 即12x －y ＋16＝0.

12．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程．

解：设交点坐标为(x 0，y 0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪

⎧

12x 0＝a x 0，x 0＝a ln x 0，

得⎩⎪⎨⎪

⎧

x 0＝e 2，a ＝e

2

. ∴P (e 2，e)，f ′(e 2)＝12e .

∴切线方程为y －e ＝1

2e (x －e 2)．

即x －2e y ＋e 2＝0.

选做

13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2 013(x )等于( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos x

D ．－cos x

解析：f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，所以f n (x )为周期函数且4为最小正周期，所以f 2 013(x )＝f 1(x )＝cos x .

答案：C