上财研究生高微题库——二、偏好与效用

第二部分 偏好与效用

第一节 偏好与选择

1. [简单][来自Rubinstein P .10]对于定义在集合X 上的偏好关系，定义()I x 为满足z X ∈且

z x ∼的所有z 的集合。证明：对于任意属于X 的x y 和，都有()()I x I y =或者()()I x I y φ∩=。

证明：根据定义，(){|,}I x z z x z X =∈∼，(){|,}I y z z y z X =∈∼。 如果x y ∼，由∼的传递性知，

(){|,}{|,}()I x z z x z X z z y z X I y =∈=∈=∼∼。 如果x y ∼不成立，我们用反证法证明()()I x I y φ∩=。 假设()()I x I y φ∩≠，则存在()w I x ∈，且()w I y ∈。

由()()I x I y 和的定义知，w x ∼且w y ∼。由∼的传递性知，x y ∼，矛盾。

2. [简单][改编自Rubinstein P .50] 证明：在一个两种商品的世界里，假定偏好满足严格单调、传递且凸，并且对于,x ε∀都有121211212(,)(,)(2,)x x x x x x εδεδδ−+−++∼∼，则

21δδ≥。

证明：121211212(,)(,)(2,)x x x x x x εδεδδ−+−++∼∼⇒ 1212(2,)x x εδδ−++<12121(,)(,)x x x x εδ−+∼⇒ 1212120.5(2,)0.5(,)x x x x εδδ−+++<121(,)x x εδ−+⇒ 1212(,0.50.5)x x εδδ−++<121(,)x x εδ−+⇒

21δδ≥

3. [中等][来自田国强教授《微观经济理论讲义》] 证明：如果偏好满足严格单调，则满足单调；如果偏好满足单调，则满足局部非餍足；如果满足局部非餍足，则满足非餍足。 证明：由严格单调的定义：x y ≥且x y ≠，则x y ，

和单调的定义：x y >>，则x y ，易知偏好满足严格单调意味着满足单调。

局部非餍足定义为：y X ∀∈，0ε∀>，x X ∃∈满足y x ε−<，使得x y 。

设(

/

//x y εεε=+，

显然x y >>，且/(1)y x n n εε−=⋅+<，

由单调性知，x y 。所以，单调性意味着局部非餍足性。

4. [简单][来自田国强教授2008年春季上海财经大学高微II 期中考试题]证明：如果偏好关系满足传递性、局部非餍足性和弱单调性，则满足单调性。（单调性定义为：如果x y >，

则x y ；弱单调性定义为：若x y ≥, 则x

证明：如果x y >，则x y ≥，由弱单调性知，x

因为x y >，由局部非餍足性知，y 的临域内存在满足'x y >的'y ，使得'y y 。

如果x y ∼，由传递性知，'y x ；而'x y >，由弱单调性知，x <'y ，矛盾。所以x y ∼不成立，只能是x y 。

5. [中等][来自田国强教授2008年春季上海财经大学高微II 期中考试题]证明：如果偏好是严

格凸的，则需求对应（demand correspondence ）必定是单值函数。（严格凸被定义为x <'x ，且'x x ≠，则''(1)'x x x αα=+− 'x ）

证明：假设需求对应不是单值的，则存在两个不同的最优选择x 和'x ，满足'x x ∼。 设''(1)'x x x αα=+−，其中(0,1)α∈。

'x x ∼意味着x <'x ，由严格凸知，'x x 。

而''x 在原有的收入和价格下也是可以支付的，所以x 和'x 不是最优选择，矛盾。 所以不存在两个不同的最优选择x 和'x ，即需求对应不是单值的。

6. [困难][来自田国强教授2008年春季上海财经大学高微II 期中考试题改编]如果每位消费者的偏好满足严格凸，非餍足，则瓦尔拉斯律成立。

证明：先证明如果偏好满足严格凸，非餍足，则满足局部非餍足。

局部非餍足要求，对于消费集里的任一点x ，其任一临域内总是存在另一点'x ，使

得'x x 。而非餍足意味着，对于消费集里的任一点x ，总是存在另一点''x ，使得''x x 。而严格凸性意味着，(0,1)α∀∈，都有''(1)x x x αα+− 。于是，不论x 的临域多小，当α趋于0时，我们总可以在x 的临域内找到一个点'''(1)x x x αα=+−使得'x x ，即偏好满足严格凸、非餍足，则满足局部非餍足。

再证明如果偏好满足局部非餍足，则瓦尔拉斯律成立。

对于每个消费者而言，总有i i px pw ≤。下面证明i i px pw <不成立。

由局部非餍足性，在i x 充分小的领域里总存在'i x ，使得'i i x x 且'i i px pw <。

从而i x 不应该时消费者的最优选择。所以对所有消费者都有i i px pw =。 所以(

)0i

i

p x w −=∑∑，即瓦尔拉斯律成立。

7. [困难][来自陈庆池教授2007年秋季上海财经大学高微I 作业题]证明：对于任意两个消费束x ，'x 满足'x x ∼，对于所有的1t >都有(')x x t x x +− ，则偏好关系是严格凸的。 证明：设11/t α=−，因为1t >，所以(0,1)α∈。如果偏好不是严格凸的，那么对某些x ，

'x 满足'x x ∼下式不成立

()(1)(')(')x x t x x x t x x αα+−+−+−

所以(')x t x x +−<()(1)(')x x t x x αα+−+−。将11/t α=−带入得

(')x t x x +−<'x

因为'x x ∼，由传递性知(')x t x x +−

严格凸的。

8. [中等][来自田国强教授2009年春季上海财经大学高微II 期中考试题]

证明：若偏好满足弱凸性（即如果x <'x ，则对于(0,1)α∀∈都有(1)'x x αα+−<'x ）

，则需求对应时凸值的（即需求对应()x p 是一个凸集）。

证明：设()x p 和'()x p 是给定收入（或禀赋）和价格下的需求对应集合中的任意不同元素。 设''()()(1)'()x p x p x p αα=+−。则''()x p 也是预算集中的元素。 因为()'()x p x p ∼，所以()x p <'()x p ，所以''()x p <'()x p 。

而()x p 和'()x p 是最优选择，而''()x p 也是预算集中的元素，所以'()x p <''()x p 。

所以''()'()x p x p ∼，即''()x p 也是需求对应集合中的元素，即需求对应()x p 是一个凸集。

9. [中等][来自陈庆池教授2006年秋季上海财经大学高微I 期中考试题]

设集合(1,2,..,)N n =表示n 种商品。对于任意12(,,...,)n

n x x x x A R +=∈⊂，定义

{}()max {1,2,...,}...i j i x i n s t x x j i =∈>∀≠