第四节 泰勒级数与幂级数教案资料

第四节 泰勒级数与幂级数
教学目的：理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件、掌握,sin ,cos x
e x x ，ln(1)x +和(1)x α
+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

教学重点 ：幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；,sin ,cos x
e x x ，ln(1)x +和(1)a α
+的麦克劳林展开式。

教学难点：幂级数的收敛域及和函数。

教学时数：4 教学内容：
一、函数项级数的概念 1．函数项级数的定义
定义：设函数()(1,2,3)n u x n =L 都在D 上有定义，则称表达式
1
2
1
()()()n
n u x u x u x ∞
==++∑L
为定义在D 上的一个函数项级数，()n u x 称为通项，1
()()n k k S x u x ∞
==∑称为部分和函数．
2．收敛域 定义：设
1()n n u x ∞
=∑是定义在D 上的一个函数项级数，0
x
D ∈，若数项级数01
()n n u x ∞
=∑收敛，
则称0x 是
1
()n
n u x ∞
=∑的一个收敛点．所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域．
3．和函数 定义：设函数项级数
1
()n n u x ∞
=∑的收敛域为I ，则任给x I ∈，存在唯一的实数()S x ，使得
1
()()n n S x u x ∞
==∑成立．定义域为I 的函数()S x 称为级数1
()n n u x ∞
=∑的和函数．
二、幂级数
1．幂级数的定义
定义：设{}(0,1,2,)n a n =L 是一实数列，则称形如0
()
n
n
n a x x ∞
=-∑的函数项级数为0x 处的
幂级数．
00x =时的幂级数为0
n n n a x ∞
=∑．
2．阿贝尔定理 定理：对幂级数
()
n
n
n a x x ∞
=-∑有如下的结论：
⑴ 如果该幂级数在点1x 收敛，则对满足010x x x x -<-的一切的x 对应的级数
()
n
n
n a x x ∞
=-∑都绝对收敛；
⑵ 如果该幂级数在点2x 发散，则对满足020x x x x ->-的一切的x 对应的级数
()
n
n
n a x x ∞
=-∑都发散．
例1：若幂级数
(2)
n
n n a x ∞
=-∑在1x =-处收敛，问此级数在4x =处是否收敛，若收敛，是
绝对收敛还是条件收敛？ 解：由阿贝尔定理知，幂级数
(2)
n
n n a x ∞
=-∑在1x =-处收敛，则对一切适合不等式
2123x -<--=（即15x -<<）的x 该级数都绝对收敛．故所给级数在4x =处收敛
且绝对收敛．
3.幂级数收敛半径、收敛区间
如果幂级数
()
n
n
n a x x ∞
=-∑不是仅在0x x =处收敛，也不是在整个数轴上收敛，则必定
存在一个正数R ，它具有下述性质： ⑴ 当0x x R -<时，
0()
n
n
n a x x ∞
=-∑绝对收敛；
⑵ 当0x x R ->时，
()
n
n
n a x x ∞
=-∑发散．
如果幂级数
()
n n n a x x ∞
=-∑仅在0x x =处收敛，定义0R =；如果幂级数
()
n
n
n a x x ∞
=-∑在
(,)-∞+∞内收敛，则定义R =+∞．
则称上述R 为幂级数
()
n
n
n a x x ∞
=-∑的收敛半径．称开区间00(,)x R x R -+为幂级数
()
n
n
n a x x ∞
=-∑的收敛区间．
4.幂级数收敛半径的求法 求幂级数
()
n
n
n a x x ∞
=-∑的收敛半径R
法一：⑴ 求极限1
1000()()lim ()n n n
n n a x x x x a x x ρ++→∞--=-
⑵ 令00()1x x x x m ρ-<⇒-< 则收敛半径为R m =；
法二：若n a 满足0n a ≠，则1
lim
n
n n a R a →∞
+=； 法三；⑴
求极限0()n x x ρ-=⑵ 令00()1x x x x m ρ-<⇒-< 则收敛半径为R m =．
例2： 求下列幂级数的收敛域
⑴12!n n n x n ∞
=∑
⑵1n n ∞= ⑶22
1
212n n
n n x ∞
-=-∑ 解：⑴ 收敛半径11
12(1)!
lim
lim 2!1n n n n n n a n R a n +→∞→∞++==⨯=+∞， 所以收敛域为(,)-∞+∞；
⑵
收敛半径1lim
1n n n n a R a →∞
+=== 当51x -=-
时，对应级数为1
n
n ∞
=∑这是收敛的交错级数，
当51x -=
时，对应级数为
1
n ∞
=这是发散的P -级数，
于是该幂级数收敛域为[4,6)；
⑶ 由于22122212()lim 2(21)2
n
n n n n x n x x n x ρ+-→∞+=⨯=- 令()1x ρ<
，可得x <
，所以收敛半径为R =
当x =1
21
2n n ∞
=-∑
，此级数发散，
于是原幂级数的收敛域为(． 5.幂级数的性质
设幂级数
()
n
n
n a x x ∞
=-∑收敛半径为1R ；
()
n
n
n b x x ∞
=-∑收敛半径为2R ，则
1．
0000
()()()()n
n
n n
n
n
n n n n a x x b x x a
b x x ∞
∞
∞
===-±-=±-∑∑∑，收敛半径12min(,)R R R ≥；
2．0
000
1
[
()
][()]()()n
n
n
n n
n i n i n n n i a x x b x x a b x x ∞
∞
∞
-====-⋅-=-∑∑∑∑，收敛半径12min(,)R R R ≥；
3．幂级数
()
n
n
n a x x ∞
=-∑的和函数()S x 在其收敛域I 上连续；
4．幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，且求导后所得到的幂级数的收敛半径仍为R ．即
有
1
1
()[
()][()]()
n
n
n n
n
n
n n n S x a x x a x x na x x ∞∞∞
-==='''=-=-=-∑∑∑．
5．幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，且积分后所得到的幂级数的收敛半径仍为R ．即有
10000
01
()[()][()]()1
x
x
x
n
n
n n n n x x x n n n S x dx a x x dx a x x dx a x x n ∞∞
∞
+====-=-=-+∑∑∑
⎰
⎰⎰
例3： 用逐项求导或逐项积分求下列幂级数在收敛区间内的和函数 ⑴
1
1
(11)n n nx
x ∞
-=-<<∑ ⑵41
1(11)41
n n x x n +∞
=-<<+∑ 解：⑴ 令1
1
()(11)n n S x nx
x ∞
-==
-<<∑，则
1
1
1
()()1x
x
n n n n x S x dx nx
dx x x
∞
∞
-=====
-∑∑⎰
⎰
所以22
11
(),(11)(1)(1)
x x S x x x x -+=
=-<<--； ⑵ 令41
1()(11)41
n n x S x x n +∞
==-<<+∑，则 41444
11
()()411n n
n n x x S x x n x +∞
∞
==''===+-∑∑ 所以4422
001111()(1)12121x
x x S x dx dx x x x ==-+⋅+⋅-+-⎰⎰ 111
ln arctan 412
x x x x +=
+--，(11)x -<<． 例4：求幂级数
(21)n
n n x
∞
=+∑的收敛域，并求其和函数。

解：易求得收敛域为(1,1)-
因为0(21)n
n n x ∞
=+∑=02n
n nx ∞
=∑+0n
n x ∞
=∑=012()1n
n x x x ∞
='+-∑=0
12[]1n
n x x x ∞
='+-∑
2
1112()11(1)x
x x x x +'=+=---，(1,1)x ∈-。

所以和函数为2
1(),(1,1)(1)
x
s x x x +=
∈--。

三、函数展开成幂级数 1.函数展开成幂级数的定义
定义：设函数()f x 在区间I 上有定义，0x I ∈，若存在幂级数
()
n
n
n a x x ∞
=-∑，使得
()(),n
n
n f x a x x x I ∞
==
-∀∈∑
则称()f x 在区间I 上能展开成0x 处的幂级数． 2.展开形式的唯一性
定理：若函数()f x 在区间I 上能展开成0x 处的幂级数 0
()(),n
n
n f x a x x x I ∞
==
-∀∈∑
则其展开式是唯一的，且
()0()
(0,1,2,)!
n n f x a n n =
=L ．
3.泰勒级数与麦克劳林级数
⑴ 泰勒级数与麦克劳林级数的定义
定义：如果()f x 在0x 的某一邻域内具有任意阶导数，则称幂级数
()()00000000
()()()()()()()!1!!
n n n
n n f x f x f x x x f x x x x x n n ∞
='-=+-++-+∑
L L 为函数()f x 在0x 点的泰勒级数．
当00x =时，称幂级数
()()0
(0)(0)(0)(0)!1!!
n n n n
n f f f x f x x n n ∞
='=++++∑
L L 为函数()f x 的麦克劳林级数． ⑵ 函数展开成泰勒级数的充要条件
定理：函数()f x 在0x I ∈处的泰勒级数在I 上收敛到()f x 的充分必要条件是：()f x 在0x 处的泰勒公式
()000
()
()()()!
k n
k n k f x f x x x R x k ==
-+∑
的余项()n R x 在I 上收敛到零，即对任意的x I ∈，都有lim ()0n n R x →∞
=．
4.函数展开成幂级数的方法 ⑴ 直接法
利用泰勒级数的定义及泰勒级数收敛的充要条件，将函数在某个区间上直接展开成指定点的泰勒级数的方法． ⑵ 间接法
通过一定的运算将函数转化为其它函数，进而利用新函数的幂级数展开将原来的函数展开成幂级数的方法．所用的运算主要是四则运算、（逐项）积分、（逐项）求导、变量代换．利用的幂级数展开式是下列一些常用函数的麦克劳林展开公式．
幂级数常用的七个展开式
0,
(,)!
n
x
n x e x n ∞
==∈-∞+∞∑
21
0sin (1),
(,)(21)!n n
n x x x n +∞
==-∈-∞+∞+∑
20
cos (1),
(,)(2)!n
n
n x x x n ∞
==-∈-∞+∞∑
1
ln(1)(1),
111n n
n x x x n +∞
=+=--<≤+∑
2(1)
(1)(2)(1)
(1)1,(1,1)2!
!
n n x x x x x n αααααααα----++=++
++
+∈-L L L
1
,(1,1)1n n x x x ∞
==∈--∑
1
(1),(1,1)1n n n x x x ∞
==-∈-+∑．
例5：将()ln
1x
f x x
=+展开成1x -的幂级数。

解：由于()ln ln(1)f x x x =-+，而
1
1
11
(1)ln ln[1(1)](1)
(111);1(1)1
ln(1)ln[2(1)]ln 2ln(1)ln 2(1)(11)222n
n n n
n n n x x x x n
x x x x x n ∞
-=∞
-=-=+-=--<-≤---+=+-=++
=+--<≤∑∑
所以11
11()ln 2(1)(1)(1)(02)2n n
n
n f x x x n ∞
-==-+
---<≤∑。

例6：将函数2
1
()32
f x x x =-+展开成x 的幂级数。

并指出其收敛域。

解：因为111
()(1)(2)12f x x x x x
=
=-----而
01
11(1);()(2)1222
n n
n n x x x x x x ∞
∞===<=<--∑∑ 所以2
1
()32f x x x =-+10
1(1),2n n n x ∞
+==-∑收敛域为(1,1)-。