2(2)数学归纳法

)
命题An:
u2n
un2

u2 n1
命题Bn: u2n1 un1 un un un1
跷跷板数学归纳法，其原理是：
1)A1真, B1真; 2) Ak真,且Bk真，推出Ak+1真； 同时Bk真,且Ak+1真，推出Bk+1真； 则An,Bn对所有的自然数n都真。
可以推广到三个甚至上个以上的命题。
该数列相邻两项之比构成的“比值”数
列
1, 1
1 2
,
2 3
,
3 5
,
85的,1极83 ,限为
5 1 2
这是黄金比值，它是美的标准之一， 也是优选法中“分数法”的理论基础。
5
5
(11111),(2111),(1211),(1121),(1112), 8
(221),(212),(122)
6
… n
n
解：
n-1
n-2
按第一步的走法分类，
分走1阶或走2阶两 类
4 3 2
1
当地面看，在这上面还有（n-1）个台阶
un=un-1+un-2(n≥3)；
u1=1,u2=2。 —斐波那契数列
• 思考：两堆棋子的数目不同呢？
反向数学归纳法及其理论依据
• 设p(n)是关于自然数n的命题,若 • 1）p(n)对无限多个自然数n成立； • 2）假设p(k+1)成立可推出p(k)成立。 • 则命题对一切自然数n都成立。 • 证明：若有p(a)不成立, • 令B={b|b>a且p(b)成立}。 • 由1) 知B不是空集。 • 令m是B中的最小值，由2）得p(m-1)成立。 • 显然m-1≥a， • 若m-1>a，则m-1属于B，与m的最小性矛盾； • 若m-1=a，则与p(a)不成立矛盾。得证。
m m-1 若没有到第m阶，必先到(m-1)阶，再到(m+1)阶
2 1
2 1
地面
地面
实数系的连续归纳法
• 设Px是涉及一个实数x的命题，如果： • ①有某个x0，使对一切x<x0有Px真； • ②Px对若一对切一x切<yx+<δy有y也Px真真。，则有δy>0，使 • 那么，对一切实数x，Px真。
第二数学归纳法的理论基础
• （用反证法）假设P(n)不是对一切自然数都成立， • 则使P(n)不成立的所有自然数组成的集合M非空。 • 由最小数原理，M中必有最小数h， • 因为P(1)成立，故1不属于M，所以h≠1， • 故令h=k+1， • 于是p(1),p(2),…,p(k)都成立， • 于是由2）知 p(k+1)成立； • 但由h属于M，故p(k+1)不成立，矛盾， • 所以P(n)对一切自然数都成立。
• 猜测“后取者可以得胜”。
• 假设n≤k时命题成立.对于n=k+1，当先取者在 一堆里取m (1≤m≤k+1)颗时，后取者在另一堆 里也取m颗，两堆棋子都是(k+1-m)颗。
• 这样就变成了n=k+1-m的问题，按归纳假设， 后取者得胜，即n=k+1命题也成立。
• 证明了对于所有正整数n，后取者按上述策略 都可以得胜。
跷跷板数学归纳法运用
• 设三角形的三边长a,b,c均为正整数。记 a≤b≤c=n的三角形个数为Sn，
• 求证：对所有正整数k，有S2k-1=k2， S2k=k(k+1)。
un
1 [(1 5 )n1 (1 5 )n1]
52
2
De Moivre提出，J.P.M.Binet 1843年证明，世称Binet公式
地面 n
n-1 n-2
4
3 2 1
当地面看，在这上面还有（n-2）个台阶
地面
证明：斐波那契数列中有
u u u uu0n2
u1 1, un1

un
(n

0,1,2,
)
2n
2
2
n
n1
证明：斐波那契数列中有
uu0n2
u1 1, un1

un
(n

0,1,2,
斐波那契数列的 一些性质的模型
uu0n

2
u1 1, un1

un
(n

0,1,2,
)
umn um un um1 un1
m+n m+n-1
u2n
un2

u2 n1
m+n
m+n-1
m+1
m
若有到第m阶பைடு நூலகம்把这当地面看，上面还有n阶
m-1
m+1
把这当地面看，上面还有(n-1)阶
跳跃数学归纳法运用
• 试证用面值为3角和5角的邮票 可 支 付 任 何 n（n>7，n 是 正 整 数）角的邮资。
• 改变3与5，可造出类似的问题。
第二数学归纳法
• 推理格式：设P(n)是关于自然数n的命题, • 1）（奠基）P(1)成立； • 2）（归纳）假设当n≤k(k为任意自然数)时
P(1≤n≤k) 成 立 能 推 出 P(k+1) 成 立 ， 则 P(n) 对 一切自然数n都成立。 • 与第一数学归纳法比较，有何不同？ • 它的归纳假定强化了。
“走楼梯”问题
• 某人要走一架n个台阶的楼梯，某人每步 能向上走1个台阶或2个台阶。
• un表示该人从地面走到第n个台阶时所有 不同的走法种数，求un。
n n-1 n-2
4 3 2 1
地面
n阶
楼梯的所有走法
un
1
(1)
1
2
(11),(2)
2
3
(111),(21),(12)
3
4
(1111),(211),(121),(112),(22)
数学归纳法的“变着”
➢数学归纳法的多种形式： ➢第一数学归纳法的变着 ➢第二数学归纳法 ➢反向数学归纳法 ➢跷跷板数学归纳法等。
第一数学归纳法的“变着”
• 跳跃数学归纳法，其步骤是： • （1）p(1),p(2),…,p(h)成立； • （2）假设p(k)成立（k为任意自然数）可以
推出p(k+h)成立； • 则对一切自然数p(n)成立。
n
n
若有aann>=0n，成且立吗？i1
ai 3

( ， ai )2
1
第二数学归纳法例举
• 有两堆棋子，数目相等。两人玩耍，每 人可以在一堆里任意取几棵，但不能同 时在两堆里取，规定取得最后一棵者胜。
• 问先取者得胜，还是后取者可以得胜？ • 试加以证明。
解
• 当n=1时，必是后取者得胜，
有飞机降落。
• 2假设n=k时命题成立，则当n=k+1即2k+3个机场时，
• 由于各机场间距离都不相等，必有两个机场间距离最 短，这两处的飞机对开。
• 将这两机场“撤出”，由假设，剩下的2k+1个机场 中，必存在一个机场P没有飞机降落。
• 再把“撤出”的两机场复归，则机场P仍无飞机降落， • 得n=k+1时命题仍成立。
第二次课
数学归纳法
数学归纳法
• 数学归纳法的现实模型： • 数数； • 从袋子里摸球； • 多米诺骨牌； • 信息传递； • 烽火台
数学归纳法的标准形式 （也称第一数学归纳法）
设P(n)是关于自然数n的命题，若 • 10(奠基)P(n)在n=1时成立； • 20(归纳)在P(k)（k是任意自然数）成立的
假定下可以推出P(k+1)成立， • 则P(n)对一切自然数n都成立。 • 证明思路：设集合M是使P(n)成立的所有
自然数n组成的集合，证M=N即可。？？
• 例1．有2n+1个飞机场，每个机场都有一架飞机，各 个机场间的距离都不相等，让所有的飞机一起起飞， 飞向最近的机场降落。
• 求证：必存在一个机场，没有飞机降落。 • 1当n=1时，3个机场为A、B、C，且BC<AC,BC<AB • 则B、C间的飞机必定对飞， • 于是不管A机场的飞机飞向B还是C机场，A机场都没
作业
• P63T6,T7
思考题
• 1.问对于怎样的正整数n，给定的正方形 总可以分成n个互不重叠的小正方形。
设p1,p2,…,pn,…是由小到大排列的 素数数列，试证： pn 22n
反向数学归纳法运用
• 已知f(x)是定义在N上，又在N上取值的 函数，并且
• 1）f(2)=2； • 2）对任何m,n∈N，有f(mn)=f(m)f(n)； • 3）当m>n时，f(m)>f(n)。 • 求证f(x)=x在N上恒成立。