汽车优化设计

研究生课程考核试卷

科目：汽车优化设计教师：

姓名：学号：

专业：类别：专业

上课时间：2014 年9 月至2014 年11 月考生成绩：

阅卷评语：

阅卷教师(签名)

重庆大学研究生院制

采用粒子群优化和模拟退火算法的齿轮系最优重量设计

摘要：单级和多级直齿轮系的最小重量设计问题一直是人们感兴趣的话题，因为许多高性能的动力传动应用（比如汽车，航空，机械工具等）需要低重量。这篇文章介绍了两种著名的优化算法即粒子群优化算法和模拟退火算法，旨在寻找最优算法的组合，使得直齿轮系重量最小。所提出的算法的计算结果与先前公布的结果进行比较，由此得知该算法提供更好的齿轮设计的解决方案。

关键字：最优重量设计齿轮传动进化计算粒子群算法模拟退火遗传算法

术语

a—中心距（mm）

b—齿宽（mm）

bi—约束量

bw—轮辐厚度（mm）

Cl—表面疲劳因数

Cp—弹性模量（MPa）

Cr—表面可靠因数

Cs—表面因数

d1,d2—小、大齿轮轴直径（mm）Di—齿轮副内径（mm）

d0—壳外径（mm）

dp—孔径（mm）

Dr—齿根圆直径

F(x)—目标函数

Fp—磨损负荷(N)

Fs—诱发弯曲载荷（N）

gi（x）—约束

H—硬度

I—几何因数

J—路易斯几何因数

Km—安装因数

Kms—平均应力系数

Ko—过载系数

Kr—弯曲可靠系数

Kv—速度因数

Kw—载荷系数

l—长度（mm）

m—模数

n—孔数

Z1，Z2—小、大齿轮齿数

P—功率

v—速度

x—设计变量

GA—遗传算法

PSO—粒子群优化算法

SA—模拟退火算法

1.简介

一个新的产品的设计包括参数和相位等方面，根据设计的深度，输入数据，设计策略，过程和结果而有所不同。机械设计包括一个优化的过程，其中设计者经常要考虑一些特定的目标，比如要使强度，挠度，重量，磨损，腐蚀等满足要求。然而，一个完整的机械组件的优化设计会推导出一个复杂的含有大量设计变

量的目标函数。因此，把最优化技术应用于各个单独的部件或者中间组件，而不是直接应用到整个组件，这是个很好的做法。例如，在汽车动力传送系统中，齿轮箱的优化在计算上和数学上比整个系统的优化简单。

齿轮在许多机械动力传输系统，如汽车，航空航天，机床和齿轮设计等方面的应用仍是一个持续进行的活动。复杂的形状和几何尺寸导致了大量的设计参数。传统的齿轮设计涉及基于弯曲强度，齿面耐久性，齿面疲劳，干扰，效率等方面的计算。齿轮设计还涉及到经验公式，不同的图形和表格，从而使得设计计算变得复杂。考虑到上述情况，手工设计就变得很困难，齿轮的计算机辅助设计就显得很有必要。在计算机的辅助下，设计可以进行反复的进行，并且满足给定条件的设计变量可以被确定。如此得到的设计可能不是最优的，因为上述方法得到的设计变量在某个时间段内只满足了一个条件，比如，基于弯曲强度计算的模块，也被代入计算表面耐久性。如果在表面耐久性的许可范围内，也是可以被接受的，否则就要做相应的改变。因此这样的优化方法是必需的，以确定设计变量，且同时满足给定的条件。此外，越来越多的紧凑，高效，可靠的齿轮需求迫使设计者使用优化设计方法。

已经有许多研究尝试运用计算机辅助对齿轮进行优化。Madhusudan和Vijayasimha制作了一种计算机程序，能够设计一种满足特定工作条件的所需类型的齿轮。作者的工作是以齿轮设计过程的培训和教育方面为导向的。Tong和Walton描述一种交互式程序用以设计内部齿轮副。该程序用于牙钳和材料的大型内置数据库，提供了一个完整的设计方案，包括所有必要的用于制造的信息。

利用计算机辅助设计能给人满意的设计，但不保证是优化设计。许多研究报告中对齿轮的优化是采用不同的优化技术进行的。Prayoonrat和Walton提出使用直接搜索方法和启发式迭代方法来最小化输入和输出轴之间的中心距离。直接搜索方法被用来获得初级设计和区分不可接受的解决方案，而启发式的优化技术用于从可行的解决方案中确定最终解决方案。

内齿轮中心距和齿轮容积的最小化作为单独的目标函数由Tong和Walton提出。完整的优化过程被分为两部分。带区搜索是用于第一部分和半部算法被用于第二部分。三个设计变量，大、小齿轮的齿数和模数被引用。运用带区搜索确定小齿轮齿数和模数的可行组合，再运用半部算法来找到最佳结果。

Zarefar和Muthukrishnan使用随机搜索算法对斜齿轮进行加权优化。四个设计变量，模数，螺旋角，小齿轮的齿数，以及齿宽，在限制接触应力和弯曲应力时需要考虑。Li等人提出了对中心的距离的最小化的方法。他们通过确定美国齿轮制造商协会（AGMA）的几何因素限制值建立了中心距搜索间隔的上边界和下边界。Kader等人中讨论了齿轮在最佳条件下的失效模式。通过模数和小齿轮齿数形成的设计空间被用于优化设计和研究失效模式，如弯曲，点蚀，划痕。

齿轮设计一般由离散设计变量组成。Pomrehn和Papalambros讨论了一种利用不可行性和非最优的测试进行离散齿轮优化设计来减少解空间的方法。在另一文献中，作者提出了离散优化设计应用到齿轮系设计的方案。Khorshid和Seireg

开发一种程序用于离散的非线性问题的优化。它通过约束和评价函数的分解以及重排分解阶段的顺序水平来实现。前向和向后技术常被用来克服子系统中遇到任何的不可行性，并提高设计的优点。Pomrehn和Papalambros研究的复合齿轮系的设计问题已用于阐述这种策略。作为设计者相互作用的结果，设计上的改进和计算工作量的减少，已经得到了论证。

针对齿轮对的约束弯曲强度，轴的扭转强度和齿轮尺寸，Yokota等人提出了一种加权优化设计问题。作为一个非线性整数规划（NIP）问题，可利用改进遗传算法解决相同问题。然而，特定限制不令人满意，得到的解也不是最优的。

多标准优化的齿轮设计也有过一些研究报道。Osyczka提出了一种想法，找到变速箱的基本结构参数（比如模数，齿数等）用来同时最小化四个目标函数：单元量，齿轮间的圆周速度，齿轮箱宽度以及输入轴和输出轴间的轴线距离。笔者曾用数值方法以及蒙特卡罗法和折衷研究的方法考虑最小-最大优化原则。一个具体的例子是关于一台车床变速箱的优化问题。

Wang和Wang考虑把中心距，重量，轮齿变形和齿轮寿命作为目标函数。作者使用了修改后的迭代加权切比雪夫（MIWT）方法求解。Thompson等采用准牛顿最小化方法，考虑最小体积和最低的表面疲劳寿命作为目标函数。Chong 等通过使用目标的程序设计方法研究了体积和啮合的振动之间折中的设计。Abuid和Ameen将最小-最大方法和单变量搜索方法相结合用于齿轮容积，中心距，以及轴和齿轮动态因素的最优化。Huang等人开发的交互式物理规划方法把物理规划以一种自然的方式融入进一个互动的框架。三阶直齿齿轮系的优化问题被提出来说明上述方法的有效性。然而，该方法非常繁琐。

上述传统的优化方法不完全适用于很广的领域范围。此外，传统的技术并不强劲。由于最优化问题的复杂性，这些技术解决这些问题并不理想的，因为它们趋向于得到一个局部最优解。为了克服传统优化技术的缺点，研究人员现在利用进化优化技术。进化计算包含了各种方法，这些方法包括那些基于进化机制的优化范例，如生物遗传学和自然选择。这些方法运用适当信息代替功能性的衍生物，使它们更加强劲和有效。最常用的非传统的优化技术是遗传算法。

Jain和Agogino从最优化的角度描述了一种设计理论。该理论涵盖了很广的设计周期：从定性和创新设计到全局数值参数设计。它着重于理论框架，使得设计构思和洞察力与各种参数之间的相互关系有关，而不是具体的数值解。优化设计的框架，适用于齿轮体积和功率为十八速，五轴变速箱的优化。Deb和Jain 使用非支配排序遗传算法（NSGA-Ⅱ）也对同样的问题进行了研究。这种算法中，通过改变设计变量和约束条件来尝试问题的解决。

但是，遗传算法提供了解决具有大量变量和约束条件的复杂问题的一个近似最优解。这主要是由于难以确定最佳控制参数。因此，运用最新的优化算法进行计算的工作仍在进行，这种算法更加强大，强劲且能够提供准确的解决方案。本文旨在应用被称为粒子群优化（PSO）和模拟退火（SA）的这样两种优化算法求解最优权重设计问题。

在目前的工作中，Yokota等人制定了相同的优化模型，通过采用PSO和SA 算法来验证改进解空间是否可能。包含五个设计变量和五个约束条件的齿轮设计问题由Yokota提出。然而，在本工作中，设计问题根据AGMA方程被修改，该方程含六个设计变量和八个约束。使用GA，SA和PSO算法优化修改后的设计，使得更有信心实现全局的优化。

接下来的第2和第3部分对PSO和SA算法作简要说明。

2.粒子群优化（PSO）算法

粒子群优化（PSO）是由Kennedy和Eberhart开发的一种进化计算技术。它具有通用的进化计算的属性，包括种群随机初始化，并通过迭代搜索最优解。潜在的解称为粒子，然后跟着当前的最优粒子搜索整个问题空间。粒子群概念起源于一个简化的社会体系的模拟。最初的意图是形象地模拟鸟群的优雅但不可预知的编排。每个粒子跟踪其在问题空间中的坐标，这和它迄今为止得到的最佳解有关。这个值被称为“个体极值”。另一个被粒子群优化全局模式跟踪的最优解是整个种群目前找到的最优解。这个极值被称为“全局极值”。粒子群优化的概念包括在每一个步，改变每个粒子朝着其“个体极值”和“全局极值”（PSO的全局模式）的速度。加速度被加速朝向个体极值和全局极值产生独立的随机数加权。粒子按照下面的等式完成更新：

V i+1=w?V i+c1?r1?(p B e s t i-X i)+c2?r2?(g B e s t i-X i)(1)

X i+1=X i+V i+1(2)

式（1）基于前面的速度，目前得到的最优解（个体极值），全局极值，给每个粒子（潜在解）计算出一个新的速度（V i+1）。式（2）在多维解空间里更新单个粒子的位置（X i）。方程（1）中的两个随机数“R1”和“R2”在[0,1]的范围内随机产生。

式（1）中的加速度常数“C1”和“C2”代表每个粒子对“个体极值”和“全局极值”的权重。“C1”表示粒子自身拥有的自信（认知参数）和“C2”表示粒子在群体拥有的自信（社会参数）。因此，这些常数的调整改变了系统的张量。常数值低允许粒子在被拽回前到远离目标的区域徜徉，而高值导致在朝向目标区域运动时突然改向或径直穿过目标区域。惯性权重“W”在PSO收敛行为中起重要作用，因为它是用来控制群的探索能力。大的惯性权重允许宽的速度更新，从而在全球范围内探索设计空间，而小惯量的权重集中速度更新到设计空间的邻近地域。惯性权重“W”的优化利用提供了在许多应用中改进的性能。Bergh和Engelbrecht为标准数值基准函数提供了W，C1和C2的收敛作用。

粒子速度在一个维度上被限制在最大速度参数Vmax，该参数由用户指定。如果加速度的总和超过该维度的Vmax时，则在该维度上的速度被限制到Vmax。

和遗传算法不同，PSO算法不需要复杂的编码和解码过程和特殊的遗传算子。PSO在代表解里取实数作为粒子，粒子以内部速度自我更新。在该算法中，进化只趋向于最优解和所有粒子趋向于收敛到最优解。在实施过程中，粒子在一开始随机生成或在进化过程中由内部速度生成，它们通常侵犯系统约束造成不可行粒子。因此，系统约束处理，特别是非线性方程约束，以及不可行粒子的测定和评

价是非常重要的。为了运用进化算法应对约束问题，不同的方法，如拒绝不可行个体，修复不可行个体，用修复版本更换个体以及罚函数方法都可以采用。其中，罚函数方法作为近期发展的见证特别有前途，且同样适用于目前的工作。

3.模拟退火（SA）算法

在最小化问题上，模拟退火算法模拟熔融金属的缓慢冷却过程来实现最小函数值。通过控制与玻尔兹曼概率分布概念引入参数的温度，冷却现象被模拟。根据波尔兹曼概率分布，温度为“T”时的热平衡系统有它的能量（E），概率分布按以下表达式：

P(E)=e x p(-E/K T)（3）其中“k”是波尔兹曼常数。这个表达式表明，一个系统在高的温度下具有以任何能量状态几乎均匀的概率。因此，通过控制温度“T”，并假设搜索过程遵循波尔兹曼概率分布，那么一个算法的收敛可以控制的。在任何当前点X（t），参数连续迭代的新解用下式计算：

X(t+1)=X(t)+σ[∑R i?0.5N] （4）其中，σ=（Xmax—Xmin）/6；R是随机数；而N是所用随机数的个数。在目前的工作中，使用了六个随机数。在启动的过程中，参数的初始值取各自的参数限制的平均值。

使用Metropolis算法，我们可以认为，下一个点被接受的概率依赖于这两点处的函数值之差，或在ΔE= E（t + 1）-E（t）处通过玻尔兹曼概率分布的计算：

P(E(t+1))=min(1,exp(?ΔE/KT) （5）

如果ΔE?0，这个概率是1，点X（t+ 1）总是被接受。在函数最小化的背景下，这是有意义的，因为如果在X（t+ 1）的函数值比X（t）的更好，X（t+ 1）必须被接受。当ΔE大于0，有趣的情况就发生，这意味着X（t + 1）的函数值比X（t）的差。根据许多传统的算法，该点不应该被选择。根据Metropolis算法，尽管X（t + 1）的函数值比X（t）的差，也有选择点X（t+ 1）的可能。然而，这种可能性并不适用所有的情况。这种概率取决于ΔT和T值的幅度。如果参数T很大，这个概率或多或少高于大部分的函数值。因此，任何点，只要T 值大，几乎都可以接受，另一方面，如果参数T很小，则被接受的概率很小。因此，对于T值小时，只有小偏差的点被接受。

模拟退火是逐点法。该算法起始于一个初始点和高的温度T。第二个点在初始点的邻近随机创立，并计算这两个点函数值之差（即ΔE）。如果第二点具有更小的函数值，该点被接受，否则该点被接受的概率为exp（-ΔE/ T）。这样就完成了这个模拟退火过程的一次迭代。在下一次迭代，在当前点的附近，另一点被随机地生成，运用Metropolis算法判断接受或拒绝该点。为了模拟每一处温度的热平衡，“n”值在降低温度之前，通常在特定温度下测定。当获得足够小的温度或足够小的函数值变化，该算法被终止。在搜索空间，通过计算一系列随机点函数值的平均值，初始温度的估计值可以获得。根据可用的计算资源和求解时间可选择合适的“n”值（通常为2-100）。衰减因子由用户自行选择。

下面将用一个例子来演示和验证粒子群优化（PSO）和模拟退火（SA）算法对正齿轮系的优化设计。

4.示例

在目前的工作中，大量实验在进行，通过采用PSO和SA优化算法，同时采用横田等人提出的相同的优化模型，验证优化的程度是否提高。横田等人考虑的是单级齿轮，所有尺寸如图1。由横田等人定义的优化设计涉及五个设计变量组成的非线性约束目标函数。设计变量的范围，目标函数，和约束条件如下所示：设计变量：x=(b,d1,d2,Z1,m) （6）

目标函数最小化：

（7）约束条件：

g

1(x)=F

s

≥b

1

（8）

g

2(x)=(F

s

/F

p

)≥b

2

（9）

（10）

（11）

（12）

图1 直齿齿轮几何参数

D r = m(aZ1? 2.5), l w = 2.5 m, D i = D r? 2l w, b w = 3.5 m, d0 = d2 + 25, d p = 0.25(D i?d0),D1 = mZ1 D2 = amZ1, N2 = N1/a, Z2 = Z1D2/D1, v = πD1N1/60,000, b1 = 1000P/v,b3 = 48.68e6P/(N1τ), b4 = 48. 68e6P/(N2τ), F s = πK v K wσbmy, F p = 2K v K w D1bZ2/(Z1+Z2), a = 4, ρ = 8,P = 7.5, n = 6, σ = 294.3, y = 0.102, b2 = 0.193, τ = 19.62, K w = 0.8, K v = 0.389.

g1（x）用于齿弯曲强度，g2（x）是用于表面耐久性，g3（x）和g4（x）分别用于小齿轮和大齿轮的扭转强度，g5（x）是用于中心距。

Yokota等使用遗传算法解决这个约束优化问题，交叉概率设为0.4，变异概率设为0.1，其结果示于表1中。

运用AGMA标准方程对上述问题进行修改，其中包括许多详细的设计因素。K v可以不是恒定的，它依赖于节线速度，同时该速度也是大小齿轮节圆直径的函数。形式因子y取决于齿数，并且不能被视为常数。此外，在上述的设计中没有提及硬度，它在表面疲劳强度方面起着非常关键的作用。因此设计需要综合考虑其他额外的因素进行修改，而且这些因素是齿轮优化设计所必须的。

重新定义的设计有六个设计变量，包括硬度；八个约束条件。如下所示：

设计变量：

x=(b,d

1,d

2

,Z

1

,m,H) (13)

约束条件：

g

1(x)=S

n

C

s

K

r

K m s bJm/(K

v

K

o

K

m

)≥b

1

(14)

（15）

g3(x)=sin2?D1(2D2+D1)/(4m)-D2-1≥0（16）

(x)=b/m≥8（17）g

4

（18）

(19)

(20)

(21)

C s和J的值分别由图2和图3确定。

S n = 1.7236H,K v = (78 + √(196.85v))/78, S fe = 2.8H? 69, I = a sin?cos?/(2(a + 1)), K r = 0.814, K m

= 1.4, K o = 1,K m = 1.3, C p = 191, C l = 1, C r = 1, and ? = 25.

s

g1（x）用于弯曲疲劳强度，g2（x）是用于表面疲劳强度，g3（x）用于干扰检查，g4（x）和g5（x）以确保均匀的负荷分布，g6（x）和g7（x）分别用于确保小齿轮轴和大齿轮轴的扭转强度，g8（x）用于中心距约束。目标函数跟方程（6）给出的相同。

表1 优化结果的对比（第一种情况）

a针对Yokota等人考虑的设计变量的范围

b针对设计变量的扩展范围

图2 路易斯几何因数三阶多项式曲线

图3 表面因数直线

表2 优化结果的对比（第二种情况）

a针对Yokota等人考虑的设计变量的范围

b针对设计变量的扩展范围

由Yokota等人最早提出的设计问题被认为是文章提到的两种情况。这两种情况都在Yokota给定的设计变量的范围内研究。然而，进一步的研究正在开展扩大设计变量的范围，如下所示：

如今，PSO和SA算法已被应用于解决上述齿轮的设计问题。每种算法有其自身的参数来保证求解过程以及解的质量。通过改变不同的参数进行大量实验，以获得最佳解。约束是通过静态罚函数方法进行控制。

对于PSO算法，每个学习系数取值为2能达到满意的效果。最大速度的值是一个重要的参数，其通常限制了解之间设计变量范围。取不同的速度值（0.1，1，4，10）进行实验，最优性能在速度为4时得到。取0.5-1之间的惯性权重因数进行实验，0.65时性能最好。种群大小以10为最小的初始值，然后每次往上递增5，最终选取20。

随着迭代次数增加，目标函数值减小，因为它是一个最小化的问题。在一定次数之后，目标函数值不再变化。以获得目标函数的最佳值所需的迭代次数作为最大次数。

以下的优化参数是运用粒子群优化算法经过多次实验得到的：

迭代的最大次数：50（第一种情况），150（第二种情况）；

种群数：20；

惯性权重因数：0.65；

最大速度：4；

学习系数：2

运用粒子群优化算法得到的优化设计参数解如表1、表2所示。

以下的优化参数是运用模拟退火算法经过多次实验得到的：

初始温度：1；

最终温度：0.01（第一种情况），0.001（第二种情况）；

每个温度的迭代次数：50；

最新温度：0.9（当前温度）；

起始点：设计变量的较低值

运用模拟退火算法得到的优化设计参数解如表1、表2所示。

运用粒子群优化算法和模拟退火算法在设计变量扩展范围得到的结果也在表1和表2里列出来。此外，针对第二种情况，运用一种新的遗传算法得到的结果也在表2里列出来。遗传算法的参数如下所示：

迭代次数：300；

种群数：20；

交叉概率：0.8；

变异概率：0.1

Yokota等考虑所有设计变量为整数。但实际中，变量b，d1，d2和H是连续变量，Z 1是整数，且m是离散的。这种情况在本文中也被考虑到。下面就第一种情况和第二种情况的研究结果作如下说明：

第一种情况：从表1和表2所示的结果可以观察到，PSO和SA算法相对于Yokota等运用遗传算法（其中m=2.75）得到的重量都减少了11％。PSO和SA 算法在扩展的变量范围的应用相对于遗传算法更是降低了11.9％。另外还应注意到替代遗传算法得到的结果会导致约束1和4有冲突。然而，利用PSO和SA 算法不存在这样的问题。PSO和SA的应用结果显示，除了运用PSO时功能评价的数量较少，其他结果基本相同。表1和表2中的功能评价是为达到最佳的解决方案所必需的算法函数评价数（即程序计算函数值的次数）。在第一种情况下，PSO分别比GA和SA所需功能评价少95％和54％，SA比GA少89％。

第二种情况：PSO和SA算法在修形齿轮设计中的应用显示几乎相同的结果。在m =2.75和m = 2时，PSO和SA算法相对于第一种情况，额外的重量分别减

少了4.3％和46.32％。遗传算法的应用结果比PSO和SA的结果略逊一筹。在第二种情况下，PSO分别比SA和GA所需功能评价少9.1％和50％，SA比GA 少45％。图4-6分别显示了在第二种情况中使用GA，PSO和SA算法时，不同的函数评价数下目标函数值的变化。

图4 GA下目标函数的变化

图5 PSO下目标函数的变化

图6 SA下目标函数的变化

第一种情况和第二种情况在不同算法下所用时间如表3所示。所用计算机主频1.8GHz,1GB RAM。结果说明PSO算法要比其他两种算法节省时间。

表3 不同算法计算时间

a针对Yokota等人考虑的设计变量的范围

b针对设计变量的扩展范围

5 结论

齿轮传动是机械系统中常见的传动装置之一。许多研究人员关注的齿轮和齿轮系的各个方面。在当前的工作中，直齿轮系优化设计的两种情况都采用粒子群优化（PSO）和模拟退火（SA）算法进行考虑。在这两种情况下考虑的目标是重量的最小化。在第一种情况下考虑的约束是齿轮的弯曲强度，表面耐久性，大小齿轮轴的扭转强度和两齿轮轴之间的中心距。第二种情况是第一种情况的一种改进形式，它多了三个约束：干扰，表面疲劳强度，并且宽模比。优化中考虑的设计变量是连续的，整数，和离散三种性质的综合。第一种情况考虑的设计变量包括：齿宽，大小齿轮轴直径，小齿轮齿数和模数。除了这五个设计变量，第二种情况还把硬度作为设计变量。Yokota等人尝试扩展设计变量的范围以获得更好的最佳解。

结果表明，改进后的齿轮设计相比Yokota等人提出的设计有更好的解。使用粒子群和模拟退火算法得到的结果相比Yokota等人得到的结果有明显的改善。使用模拟退火算法和使用粒子群算法得到的结果基本相同，但都优于遗传算法。相比遗传算法和模拟退火算法，不管预测最好或是最坏的执行参数，粒子群算法基本不需要进行试验，并且粒子群算法只需很少的迭代次数就能达到收敛。不同于遗传算法，PSO算法和SA算法不需要复杂的编码和解码过程以及特殊的遗传算子。PSO和SA算法的提出可以很容易地修改以适应单级或多级直齿齿轮系的单目标或多目标设计优化。