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( 2 ) 齐|次 |x | | |||性 x || ,R ,x C n ;
(3 )三角||x 不 y| ||等 |x | |||y 式 || ,x ,y C n .
则称||映 ||为 C 射 n上向 x的 量 范 . 数
向 量 范 数 的 性 质 ：
(1)||0||0； (2)x0时|， | 1 x| | 1;
则称||||是自相容矩阵范 . 数
返回
例 2 |A ||m | m i,j{a a i||j} x 1 i m 1 j n
是不相容的矩阵范数 .
例如 A B11 11
AB
2 2
22
||AB||m2 ||A|m |||B|m |1
返回
例 3 ||||m1 和||||m2 是相容的矩.阵范数
n
(2)|| x||2( | xi |2)1/2 i1
1范数 2范数
(3)||x||m 1iax n|xi |
无穷范数
返回
定 理1(Ho ..lder不 等 式 ) 若p,q1，且1pq11，
则 对 C n 任 意 向 量 x (x 1 ,x 2, ,x n )T ,y (y 1 ,y 2 , , y n )T 都 有
(3 )三角 |A | 不 B | ||A ||等 ||B || |式 ,A ,B P m n .
则称映 |||射 |为pmn上的矩阵 . 范数
返回
例 1 设APmn， 则
nm
|| A||m1
| aij |
j1i1
nm
1
|| A||m2(
| aij |2)2
j1i1
|A ||m | m i,j{a a i||j} x 1 i m 1 j n
n
n
n
|xi||yi|( |xi|p)1/p( |yi|q)1/q
i 1
i 1
i 1
例 2 设 x (x 1 ,x 2 , ,x n ) C n ， 则
n
||x||p( |xi|p)1/p 1p i1 ..
是Cn上的向量范数 Hol， de范 称 r 数 .为
返回
定理 2 设 ||||是 Cm 上的A 范 Cn m 数 n，， 则 || A||是Cn上的范数 .
定义 2 设 在 V n(P )上定 ||x|义 a |,||x|b |了 两种 量范数，若 C1存 0,C在 20， 常使 数得
C 1 ||x ||a ||x ||b C 2 ||x ||a x V n ( P ) 则|称 |x|a |与 ||x|b |等.价 定理 3 Vn(P)上的任意两个向量 均范 等数 价 .
第二章
向量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 矩 阵的范数
返回
第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
返回
1 向量的范数
定义 1 设映射 ||||:CnR满足： (1 )正定 ||x | |0 性 ,当且 x 0 时 仅 ||x |， |当 0 ;
||A |2 m |2 ||U H A|V 2 m |2 ||UA H |2 m |V 2
返回
推论 1 设APnn, 对任意的U 酉 、V矩 P阵 nn， 有
|A ||m |2 |U | |m |2 A |A | |m V |2 |U | |A m |2 V
返回
3. 算子范数
一、 算子范数
返回
定义 3 设 x(k)(x1 (k),x2 (k), ,xn (k))T C n ， 如 k l i m xi(k)ai (i1,2, ,n)
则称向 x(k)收 量敛 a序 (a1 于 ,a 列 2, ,an).
定义 4 lim x(k) a
k
lim||x(k)a||0
k
定理 4 设|| ||是Cn上 的 任 一 向 量 范 数 ， 则
lim x(k) a
k
lim||x(k)a||0
k
返回
§2 矩阵的范数
定义 1 设 A P m n ，若 |||： |映 P m n射 R 满足
(1 )正定 |A || |0 性 ,当且 A 时 仅 |A || ， |0 当 ;
( 2 ) 齐 次 性 ||A || ||||A ||, P , A P m n ;
返回
定义 2 设 |||a | : P m l R ,|||b | : P l n R ,
||||c:Pmn R是 矩 阵 范 数 ， 如 果 ||A|c B | ||A |a |||B |b |
则 称 矩 |||a |阵 ,|||b |和 范 |||c |数 相. 容 如果 ||A|B |||A ||||B ||
返回
定理 3 设APnn,
(1 ) 若 A (a 1 ,a 2 , ,a n )则 ,
n
||A||2 F||A||m 22 ||ai ||2 2
i1
其中 ||ai|2 2 |， aiH ai.
n
(2) ||A |m 2 |2t(rA H A ) i(A H A )
i1
(3) 对任意的 U、 酉 V 矩 Pn阵 n，有
定义 1 设||•||a是Pn上的向量||范 ||m数 是， Pnn上的矩阵范数，且
||A|a |x ||A |m |||x|a | 则|称 ||m | 为与向||•量 |a | 相 范容 数的矩 .
返回
例 1 设xPn,APnn，则
nn
|| A||m1
| aij |
j1i1
是与向量 ||•|1范 | 相数 容的矩. 阵范数
推论 1 设 ||x|a |是 Pn上 的 向 ,A 、 量 BP 范 nn, 数
例 2 设 x P n ,A P n n ， |A ||则 m |2是 |x ||与 2 |
相容的矩阵范数 .
返回
定理 1 设 ||x|a | 是 Pn上的向 ,A 量 Pn 范 n,则 数
|| A||am xa|x|||Ax|x||a|a
(max|| ||u||a1
Au||a)
是 与 向 量||x范 ||a相 数容 的 矩.阵 范 数
||x|| 返回
(3 )对x 任 C n ， 意 | |x 有 | ||x |||;
( 4 ) 对 x ,y 任 C n ， ||x || 意 || 有 y ||| | |x | y |.|
例 1 设 x (x 1 ,x 2 , ,x n ) C n ， 则
n
(1) || x ||1 | xi | i1
(3 )三角||x 不 y| ||等 |x | |||y 式 || ,x ,y C n .
则称||映 ||为 C 射 n上向 x的 量 范 . 数
向 量 范 数 的 性 质 ：
(1)||0||0； (2)x0时|， | 1 x| | 1;
则称||||是自相容矩阵范 . 数
返回
例 2 |A ||m | m i,j{a a i||j} x 1 i m 1 j n
是不相容的矩阵范数 .
例如 A B11 11
AB
2 2
22
||AB||m2 ||A|m |||B|m |1
返回
例 3 ||||m1 和||||m2 是相容的矩.阵范数
n
(2)|| x||2( | xi |2)1/2 i1
1范数 2范数
(3)||x||m 1iax n|xi |
无穷范数
返回
定 理1(Ho ..lder不 等 式 ) 若p,q1，且1pq11，
则 对 C n 任 意 向 量 x (x 1 ,x 2, ,x n )T ,y (y 1 ,y 2 , , y n )T 都 有
(3 )三角 |A | 不 B | ||A ||等 ||B || |式 ,A ,B P m n .
则称映 |||射 |为pmn上的矩阵 . 范数
返回
例 1 设APmn， 则
nm
|| A||m1
| aij |
j1i1
nm
1
|| A||m2(
| aij |2)2
j1i1
|A ||m | m i,j{a a i||j} x 1 i m 1 j n
n
n
n
|xi||yi|( |xi|p)1/p( |yi|q)1/q
i 1
i 1
i 1
例 2 设 x (x 1 ,x 2 , ,x n ) C n ， 则
n
||x||p( |xi|p)1/p 1p i1 ..
是Cn上的向量范数 Hol， de范 称 r 数 .为
返回
定理 2 设 ||||是 Cm 上的A 范 Cn m 数 n，， 则 || A||是Cn上的范数 .
定义 2 设 在 V n(P )上定 ||x|义 a |,||x|b |了 两种 量范数，若 C1存 0,C在 20， 常使 数得
C 1 ||x ||a ||x ||b C 2 ||x ||a x V n ( P ) 则|称 |x|a |与 ||x|b |等.价 定理 3 Vn(P)上的任意两个向量 均范 等数 价 .
第二章
向量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 矩 阵的范数
返回
第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
返回
1 向量的范数
定义 1 设映射 ||||:CnR满足： (1 )正定 ||x | |0 性 ,当且 x 0 时 仅 ||x |， |当 0 ;
||A |2 m |2 ||U H A|V 2 m |2 ||UA H |2 m |V 2
返回
推论 1 设APnn, 对任意的U 酉 、V矩 P阵 nn， 有
|A ||m |2 |U | |m |2 A |A | |m V |2 |U | |A m |2 V
返回
3. 算子范数
一、 算子范数
返回
定义 3 设 x(k)(x1 (k),x2 (k), ,xn (k))T C n ， 如 k l i m xi(k)ai (i1,2, ,n)
则称向 x(k)收 量敛 a序 (a1 于 ,a 列 2, ,an).
定义 4 lim x(k) a
k
lim||x(k)a||0
k
定理 4 设|| ||是Cn上 的 任 一 向 量 范 数 ， 则
lim x(k) a
k
lim||x(k)a||0
k
返回
§2 矩阵的范数
定义 1 设 A P m n ，若 |||： |映 P m n射 R 满足
(1 )正定 |A || |0 性 ,当且 A 时 仅 |A || ， |0 当 ;
( 2 ) 齐 次 性 ||A || ||||A ||, P , A P m n ;
返回
定义 2 设 |||a | : P m l R ,|||b | : P l n R ,
||||c:Pmn R是 矩 阵 范 数 ， 如 果 ||A|c B | ||A |a |||B |b |
则 称 矩 |||a |阵 ,|||b |和 范 |||c |数 相. 容 如果 ||A|B |||A ||||B ||
返回
定理 3 设APnn,
(1 ) 若 A (a 1 ,a 2 , ,a n )则 ,
n
||A||2 F||A||m 22 ||ai ||2 2
i1
其中 ||ai|2 2 |， aiH ai.
n
(2) ||A |m 2 |2t(rA H A ) i(A H A )
i1
(3) 对任意的 U、 酉 V 矩 Pn阵 n，有
定义 1 设||•||a是Pn上的向量||范 ||m数 是， Pnn上的矩阵范数，且
||A|a |x ||A |m |||x|a | 则|称 ||m | 为与向||•量 |a | 相 范容 数的矩 .
返回
例 1 设xPn,APnn，则
nn
|| A||m1
| aij |
j1i1
是与向量 ||•|1范 | 相数 容的矩. 阵范数
推论 1 设 ||x|a |是 Pn上 的 向 ,A 、 量 BP 范 nn, 数
例 2 设 x P n ,A P n n ， |A ||则 m |2是 |x ||与 2 |
相容的矩阵范数 .
返回
定理 1 设 ||x|a | 是 Pn上的向 ,A 量 Pn 范 n,则 数
|| A||am xa|x|||Ax|x||a|a
(max|| ||u||a1
Au||a)
是 与 向 量||x范 ||a相 数容 的 矩.阵 范 数
||x|| 返回
(3 )对x 任 C n ， 意 | |x 有 | ||x |||;
( 4 ) 对 x ,y 任 C n ， ||x || 意 || 有 y ||| | |x | y |.|
例 1 设 x (x 1 ,x 2 , ,x n ) C n ， 则
n
(1) || x ||1 | xi | i1