伴随矩阵的性质及其应用

伴随矩阵的性质及其应用

摘要：

伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。 (1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。 本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。

关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质

1、 伴随矩阵的定义

定义 1.设ij A 是矩阵A =⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a

2

122221

11211中元素ij a 的代数余子式，则矩阵

A *=⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A

2

1

22221112

11

称为A 的伴随矩阵。

定义2.设A 为n 阶方阵，如果有矩阵B 满足AB=BA=E,则B 就称为A 的逆矩阵，记为B=1-A 。

*注意：只有方阵才有伴随矩阵和逆矩阵。

2、伴随矩阵的性质

性质1.设A 为n 阶方阵，AA

*

=A *A=A E .

证明：由行列式按一列（行）展开:AA *=A *

A=⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡d d d 0000000000 =d E, 其中d =A 。

性质2.n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 非退化，即A

A A A *

1

,0=≠-且.

证明：若A ≠0，则A 可逆，且1

-A =A

A *

；反之，若A 可逆，则有AA -1 =E ，所以|AA -1|=|A||A -1|=1

故|A|=0.即A 非退化。

性质3.1.若A 为非奇异矩阵，则1*1*)()(--=A A . 证明：因为1

11)(--=

A k

kA ，由性质2两边取逆可得 1*)(-=A A A 故A

A

A =

-1*)(， 另一方面，由性质2 有A A

A A A A A A 1

)()*()(1)*11*11

11=

⇒==------（， 由1*1*)()(--=A A .

性质3.2.设A 为n 阶矩阵，则秩A *=⎪⎩⎪

⎨⎧-≤-==时，当秩时，当秩时　，当秩2011n A n A n A n .

证明：（1）当秩A=n 时，则,0≠A A 是可逆的，即有1-A 存在，所以 1*-=A A A .可见，秩*A =n 。

反之，当秩*A =n 时，*A 可逆时，则有1*)(-A 存在，所以

A =A 1*)(-A ,有A ≠0，因A=0，从而*A =0，这与秩*A =n 矛盾，所以A ≠0，于是秩

（A ）=n ；

（2）当秩（A ）=1-n 时，则A 必有一个1-n 阶子式不为0，即*A 中至少有一个元素不为0，所以，秩（*A ）1≥，另外秩（A ）=1-n .则A =0，于是，.0*==E A AA

从而，秩（A ）+秩（*A ）.1.1),**=≤≤）

这便知秩（故秩（A A n 反之，若秩（*A ）=1，则*A 中必有一个ij 0A ≠，即是说A 必有一个n-1阶子式不为零，故秩n-1A ≥但

不能有秩（A ）=n ，否则，有秩*A =n ，而n ，2≥这样与秩1)(*=A 矛盾，所以秩（A ）≠n ，则（A ）

≤1-n ，因此,秩（A ）=1-n .

（3）当秩（A ）<1-n 时，则A 中一切1-n 阶子式均为0，于是一切,0=ij A 0*=A 所以，这时有秩

,0)(*=A 反之，若秩,0)(*=A 则，即一切0,0ij *==A A 亦即A 的一切1-n 阶子式为0，所以秩（A ）

<1-n .

该性质可以用来求A 的伴随矩阵的秩，A 的秩可以直接求出，通过A 的秩可以直接求出A 的伴随矩阵.

性质4.秩A A 秩≤*. 性质5.*A =A

1

-n ，其中A 是n 阶方阵（n ≥2）.

证明：若A ≠0， AA *=A E ，∴ *AA =A n

⇒A *A =A

n

⇒*A =A

1

-n

若A =0，这时秩A *≤1，∴*A =0，而也有*A =A 1

-n

综合得*A =A

1

-n .

性质6.若A 是n 阶非零实矩阵，0,*≠='A A A 则.

证明：用反证法，若，，则00*==='=E A AA A A A 令一方面，设A=n n ij a ⨯∈R ）（

AA '=*AA =⎥⎥⎥⎥⎥

⎥

⎥

⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢

⎢⎢⎢⎣

⎡∑∑∑===n

i ni n

i i

a a

121

2

2n

1i 2

i 1a

=0 （2） 由（2）式主对角元素均等于0，可得),,,2,1,(,0n j i a ij ==此即A=0，这与非零矩阵的假设矛盾，0≠∴A .

条件A 是实方阵中“实”字不能少，否则，比如设A=,11⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡-i i 则0,*=='A A A 但 性质7. 令A,B 为n 阶矩阵，则 （1）A 对称⇒对称；*A

（2）A 正交正交；*A ⇔