菱形的判定经典课件

(有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形)
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在 求证： 证明：
ABCD 中，AC ⊥ BD
ABCD 是菱形 B
A O D
∵四边形ABCD是平行四边形 C ∴OA=OC 又∵ AC ⊥ BD; (线段垂直平分线上的点到线段两 ∴BA=BC 个端点的距离相等) ∴ ABCD是菱形
∴
AB OA OB
2 2
2
D
0 90 ∴ ∠AOB=
∴AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形.
A
O
C
ຫໍສະໝຸດ Baidu
B (对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
例题2 已知： ABCD的对角线AC的垂直平 分线与边AD 、BC分别交于E、F 求证：四边形AFCE是菱形。
分析: （1）利用定义判定
（2） 由已知可知
3
3
┍
4
4
5 5
5
5
有一组邻边 相等的平行四 边形叫做菱形
对角线互相 垂直的平行四 边形是菱形
有四条边相等的 四边形是菱形。
2、判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形； (3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等 的四边形是菱形； (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一 组对角的四边形是菱形．
E
3
12
F D C
思考题:
如图，AD∥BC，BD垂直平分AC， 四边形ABCD一定是菱形吗？若是， 请说明理由。
D
A
┐
O
B
C
思考:
请你动脑筋
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断 重叠部分ABCD的形状吗？
A
F
D
B
E
∟
C
1、如图，已知在□ABCD中， AD=2AB，E、F在直线AB上，且 AE=AB=BF，说明CE⊥DF.
∵DF∥AB，∴∠1＝∠4 又有AD=AD,∴△AED≌△AFD. ∴AE＝AF,DE=DF. ∴四边形AEDF是菱形.
老师说小林的解题过程有错误，你 能看出来吗？ ⑴请你帮小林指出他的错误是什么？ （先在解答过程中划出来，再说明他 错误的原因） ⑵请你帮小林做出正确的解答。
探究释疑
如图在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于 C，EF⊥BC于F，四边形AEFG是菱形吗?
图形语言
A B
A B A O C C D
符号语言 ∵
AB=AD
∴□ABCD是菱形
判定 四边相等的四边 法二 形是菱形
对角线互相垂直 的平行四边形是 菱形
D
∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形
D
∵ AC⊥BD ∴□ABCD
判定 法三
B
C
是菱形
1、下列三个图形是不是菱形,为什么?
5 5 4 3 3 4
数学语言 ∵四边形ABCD是平行四边形; AC ⊥ BD; ∴ □ ABCD是菱形
(有一组邻边相等的 平行四边形叫做菱形).
归纳
菱形常用的判定方法： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 有四条边相等的四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形的判定：
文字语言 判定 法一
一组邻边相 等的平行四 边形是菱形
变式题 （1）菱形两条对角线长为6和8，菱形的边长 为 5 ，面积为 4 。 （2）菱形ABCD的面积为96，对角线AC长 为16 ，此菱形的边长为 10 。 C （3）菱形对角线的平方和等于一边平方的___ A. 2倍 B. 3倍 C.4倍 D. 5倍
变式题 （1）菱形两条对角线长为6和8，菱形的边长 为 5 ，面积为 4 。 （2）菱形ABCD的面积为96，对角线AC长 为16 ，此菱形的边长为 10 。 C （3）菱形对角线的平方和等于一边平方的___ A. 2倍 B. 3倍 C.4倍 D. 5倍
B 还有什么方法吗? C A D
有四条边相等的四边形是菱形。
A 已知：在四边形ABCD中， AB=BC=CD=DA 求证：四边形ABCD是菱形 证明:∵AD=BC
D
C
B 数学语言
∵ AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形
AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
D
∟
（╳ ）
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（√ ） （ ╳） （
╳）
A
C
D
A
C
B
B
3、□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 菱 （2）若AC=BD，则□ABCD是 形；
矩 形； 矩
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是
D
形；
C
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 菱 形。
小结：
四条边相等
四边形
菱形
平行四边形
矩形与菱形
矩形 定义
有一角是直角的平行 四边形叫做矩形.
菱形
有一组邻边相等的平行四 边形叫做菱形.
四条边都相等
平行四边形的性质 性 边 质 角 对角线 四个角都是直角 相等 互相垂直且平分每一组对角
判 定
有一角是直角的平行四边形 有一组邻边相等的平行四边形 对角线相等的平行四边形 对角线互相垂直的平行四边形 三个角都是直角的四边形 四条边都相等的四边形
复习巩固 1、菱形的两条对角线长分别是6cm和 8cm，则菱形 的周长 ，面积 。 2、菱形的面积为24cm2,一条对角线的 长为6cm，则另一条对角线长为 ；边 长为 。 3、已知菱形的两个邻角的比是1：5，高 是 8cm，则菱形的周长为 。 4、已知菱形的周长为40cm，两对角线的 比为3：4，则两对角线的长分别 是 。
A
E
B
F
D
C
变式题（1）：菱形ABCD ,E、F分别ABCD 的中点，求证：CE=CF. （2）如果上题中还有CE⊥AB, CF⊥AD,求各内角的度数
A
D
B E C
F
已知如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD 上的点，且∠B= ∠ EAF=60° , ∠ BAE=18°, 求∠ CEF的度数.
O A B
做一做：判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形． (2)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形 是菱形． (3)邻角相等的四边形是菱形． (4)有一组邻边相等的四边形是菱形． (5)两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形 。 (8)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。
5、一边长为5cm平行四边形的两条对角 线的长分别为6cm和8cm，则这个平行四边 形为 菱形，其面积为 24㎝²。
6、如图在菱形ABCD中,CE⊥AB,CF⊥AD.
则CE
＝
CF，BE
＝
DF。
A
E B C F D
例题1 如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O， AB= 5 ，AC=8，DB=6 求证:四边形ABCD是菱形. 证明: （1）∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=4 (平行四边形的对角线 OB=OD=3 互相平分) ∵ AB=5
8、已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F． A 求证：四边形AEDF是菱形．
证明：∵DE∥AC DF∥AB ∴四边形AEDF是平行四边形 ∵ DE∥AC B ∴∠2=∠3 ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠1=∠2 ∴ ∠1=∠3 ∴AE=DE ∴ □AEDF是菱形
B
C
4、如图，Rt△ABC中，∠ACB=900， ∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D， 交AB于E，又点F在DE的延长线上，且 AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。
B
E
D
F
C
A
7、已知如图，AD是的角平分线，DE∥AC， DF∥AB. 求证：四边形AEDF是菱形。 对于这道，小林是这样证明的。 证明：∵AD平分∠EAF， ∴∠1＝∠2, ∵DE∥AC，∴∠2＝∠3
4、选择：
（1）.下列命题中正确的是（C ） A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
（2）.对角线互相垂直且平分的四边形是（ C ） A.矩形 B.一般的平行四边形 C.菱形 D.以上都不对
（3）.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ C） A.AC⊥BD,AC与BD互相平分 B.AB=BC=CD=DA C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
§18.2 .2
菱形的判定
菱形
学习目标
• 1.理解并掌握菱形的判定方法. • 2.能应用菱形的判定方法解决简单 的证明题和计算题.
复习与回顾： 1.菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质： 边 角 对角线 菱 形 邻角互补 对角线互相平分、 对边平行 性 质 四边相等 对角相等 互相垂直且平分每 一组对角
判定方法1： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
A D
数学语言：
B
O
C
在 ABCD中, AB AD ABCD是菱形.
想一想
• 如果一个四边形是平行四边形，则只 要再有什么条件就可以判定它是一个 菱形？根据什么？
根据定义得： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
在 ABCD中, AB AD ABCD是菱形.
A O
E
D
F （3）利用四边相等，你会吗？
OA=OC,EF⊥AC. B
C
A
E O
1
D
分析： 四边形AFCE是菱形
AE=EC=CF=FA
AE=EC AF=CF
B F
2 3
C
AE=AF ∠1= ∠2
EF 垂直平分AC
∠1= ∠3
AE∥FC
四边形ABCD 是平行四边形
∠2= ∠3
AF=CF EF ⊥AC
D M C N
E
A
B
F
2.如图，矩形ABCD的对角线相交于点 O，DE∥AC,CE ∥BD. 求证：四边形OCED是菱形
A
O B C D E
3.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN 交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN 于点E，连接AE、CD. 求证：四边形ADCE是菱形 A
M
D
O
E
N