数理经济学

2011-4-30
IV.12.31
GuoSipei@CCNUMATH
讨论(∂x*/∂Px)的符号:T2为负
– 若T1为负,则T2得到强化,Px增加必将导致减少购买x,效用最大 化消费者需求曲线斜率为负 – 若T1为正,但其绝对值小于T2的绝对值,则将弱化替代效应,虽然 总的结果依然以向下倾斜的需求曲线表示. – 若T1为正,且超过T2绝对值时(例如,x*为预算中主要的项目,因 而提供了一个优势加权因子),Px上升实际上会导致x购买的增加. 具有这种需求特征的商品称为吉芬商品
2011-4-30
IV.12.25
GuoSipei@CCNUMATH
二阶条件
如果上述问题的海塞加边行列式为正,则所求稳定点为极 大值.因此需要对效用函数(进而对无差异曲线)施加限制.
可以证明正的H意味着向下倾斜的无差异曲线在切点E严 格凸,而正的d2y/dx2可以保证无差异曲线的严格凸性.
– 全导数: – 在切点E无差异曲线斜率与预算线斜率相等, 所以得到: – 经过代入及化简,最后得到: – 显然当满足二阶充分条件时,上式中的二阶导数为正,相关的无差 异曲线在切点为严格凸
GuoSipei@CCNUMATH
分析Px变化的影响,令
2011-4-30
IV.12.29
GuoSipei@CCNUMATH
对于上述第一个结果的解释
(∂x*/∂Px)表明Px的变化如何影响x的最优购买数量 T1=-(∂x*/∂B)x*,看起来它似乎是B变化对最优购买量 x*的影响的度量,且x*本身充当加权因子,但显然这就使 导数与价格变化相关,于是,必须将它解释成价格变化的 收入效应!
• 拉格朗日乘数的解释
由一阶必要条件解出的拉格朗日乘数度量Z对约束 条件的敏感性(通过比较静态分析进行验证)
借助隐函数定理,将Z的三个偏导数表达成隐函数形式,并 假设具有连续偏导数,其雅可比行列式在最优状态下不为 0.
在雅可比行列式不为0时,将最优的λ*,x*,y*表示成参数 c的隐函数
2011-4-30 IV.12.5 GuoSipei@CCNUMATH
– 当Px上升时,消费者实际收入的下降将会对x*产生类似于B实际 下降而产生的影响,所以用-(∂x*/∂B)表示 – 可以理解,商品x在预算中的地位越突出,收入效应将越大,因此在 T1中出现加权因子x* – 另一方面的解释:微分dB=-x*dPx使得
表明T1是dPx通过B对x*影响的度量,即收入效应的量度.
对于上述第二个结果的解释(与x价值变化对y的最 优购买数量的交叉影响有关)
T3与T1类似,解释为收入效应 T4仍然是替代效应的度量
2011-4-30
IV.12.32
GuoSipei@CCNUMATH
• 价格与收入成比例的变化
考察当所有三个参数Px,Py和B按同一比例变化时 x*,y*受到什么影响 预算约束变为: 效用函数与参数无关,消费者均衡状态不受价格与 收入等比变化的影响,即消费者没有任何货币幻觉! 用方程表示上述情况: :
2011-4-30
IV.12.27
GuoSipei@CCNUMATH
可以分析比较静态导数
根据二阶条件, >0,但需要知道 的 相对大小才能确定上述两个比较静态导数的符号 当预算增加时,其最佳购买量x*和y*可能增加也可能减 少.特别地,当B增加而x*减少时,产品x称为劣等品.
2011-4-30
IV.12.28
若函数二阶连续可微,则可整理成加边行列式检验
拟凹函数的必要条件为:
严格拟凹的充分条件为:
2011-4-30
IV.12.20
GuoSipei@CCNUMATH
• 对海塞行列式的进一步考察
当有线性约束条件时: 当一阶条件满足, 于是有
• 绝对与相对极值
显拟凹函数:当且仅当 只要曲面上的点f(v)高于另一个点f(u),那么中间的 点必定也高于f(u). 这样的定义作用在于排除曲面上除了顶部的高原之 外的任何水平平面部分
2011-4-30
IV.12.8
GuoSipei@CCNUMATH
简化上式中的第三项与第六项的和: 全微分形式为: 注意到,上述全微分不是二次型,但利用约束可以将 其变换成二次型.
约束意味着 所以由此得到: 解得d2y后代入得:
由于各二阶导数为:
2011-4-30
所以得到:
IV.12.9
GuoSipei@CCNUMATH
2011-4-30
IV.12.15
GuoSipei@CCNUMATH
2011-4-30
IV.12.16
GuoSipei@CCNUMATH
• 代数定义
三个相关定理:
2011-4-30
IV.12.17
GuoSipei@CCNUMATH
有用的说明:
两个拟凹函数的和不一定是拟凹函数 检验拟凹性和拟凸性的简便方法:
2011-4-30
IV.12.3
GuoSipei@CCNUMATH
一般地,给定目标函数z=f(x,y),满足约束条件 g(x,y)=c,可以将拉格朗日函数写成Z=f(x,y)+ λ[c-g(x,y)]
对于Z的稳定值,其一阶必要条件为:
全微分法表示一阶必要条件
2011-4-30
IV.12.4
GuoSipei@CCNUMATH
2011-4-30
IV.12.2
GuoSipei@CCNUMATH
求稳定值
• 拉格朗日乘数法
其实质是将约束极值问题转化为另一种等价形式, 从而使得自由极值问题的一阶条件仍然可以应用. 问题:给定U=x1x2+2x1,约束条件4x1+2x2=60, 求U的极大值.
先写出拉格朗日函数,它是容纳了约束条件的目标函数的 变形:Z=x1x2+2x1+λ(60-4x1-2x2) 如果约束条件得到满足(上式括号中的部分等于0),则无 论λ(拉格朗日乘数)取何值Z=U,于是,问题转化为加入变 量λ后的,Z的自由极值问题
2011-4-30 IV.12.26 GuoSipei@CCNUMATH
• 比较静态分析
在消费者模型中,两商品价格以及预算都是外生给 定的,如果假设二阶充分条件满足,则可以在一阶条 件基础上分析模型的比较静态性质. 将一阶条件转换为如下恒等式:
为研究预算规模(消费者收入)变化的影响,令 以dB通除上述方程组,得到矩阵方程
二阶充分条件的简要表述形式:
–记
对于极大值,加边主子式符号交替变换;对于极小值,这些 主子式取相同符号(-1)m.
2011-4-30 IV.12.14 GuoSipei@CCNUMATH
拟凹性与拟凸性
• 自由极值问题中,已知目标函数的凹凸性可以免 去二阶条件的检验,约束优化问题中,曲面和超 曲面具有适当的类型的图形,也能免除二阶条件 的验证. • 几何特征
2011-4-30
IV.12.18
GuoSipei@CCNUMATH
• 可微函数
前述定义并不需要函数是可微的,但如果函数是可 微的,拟凹性和拟凸性还可以按照其一阶导数定义 对于一元可微函数f定义域中的任意两个不同点u和 v当且仅当
当存在两个以上自变量的情况:
2011-4-30
IV.12.19
GuoSipei@CCNUMATH
2011-4-30 IV.12.21 GuoSipei@CCNUMATH
练习
• 写出具有四个选择变量和两个约束条件的约束 最优化问题的海塞加边行列式,然后分别写出z 的极大值和极小值的具体的二阶充分条件 • 运用加边行列式验证下列函数拟凹性和拟凸性
2011-4-30
IV.12.22
GuoSipei@CCNUMATH
GuoSipei@CCNUMATH
改写上述后两个方程为等价形式:
实质是经典消费者理论中的命题:为使效用最大化,消费 者必须分配其预算以使每一种物品的边际效用与价格的 比率都相等. 均衡(或最优)状态下,这些比率的值为λ*,即拉格朗日乘 数的最优值. 由前述(P7), λ*度量约束常数对目标函数最优值的比较 静态效应.在此处约束常数为B,于是拉格朗日乘数的最优 值(∂U*/∂B)可以解释为:当消费者效用最大化时货币(预 算货币)的边际效用
对于最优值有恒等式如下:
Z的最优值取决于λ*,x*,y*,即 将Z*对c全微分,得到:
根据恒等式,前三项全部消失,得到简单的结果: 拉格朗日乘数的解值是由参数c引起的约束条件变化对 拉格朗日乘数的解值是由参数 引起的约束条件变化对 目标函数最优值影响的度量
2011-4-30
IV.12.6
GuoSipei@CCNUMATH
一阶条件实际上要求在预算约束(联立方程的第一 式)被满足时,还满足上式.
2011-4-30
IV.12.24
GuoSipei@CCNUMATH
一阶条件的无差异曲线解释
将 重述改写为 无差异曲线:能够产生相同效用水平U的x与y组合的点的 轨迹,即在一条无差异曲线上必然有: 两物品间的 隐含着 边际替代率 预算约束线 预算约束可以改写成: 斜率的负值 综上,一阶条件的新形式揭示出要使效用最大化,消费者 必须对其预算进行分配,使预算线的斜率等于无差异曲线 的斜率.
效用最大化与消费需求
• 约束最优化的例子:效用函数的最大化
假设消费者仅选择两种物品,都有连续正的边际效 用函数;两种商品价格是由市场外生决定;假设消费 者购买力为给定数量B 需要解决的问题是:最大化平滑(指数)效用函数. 满足 一阶条件
拉格朗日条件: 得到方程组如下:
2011-4-30
IV.12.23
• n个变量多重约束的情况
n个变量的情况
目标函数: 约束条件: 于是拉格朗日函数为: 一阶条件由下列n+1个联立方程构成
多重约束的情况
约束条件: 拉格朗日函数: 一阶条件是n+2个联立方程构成
2011-4-30
IV.12.7
GuoSipei@CCNUMATH
二阶条件
• 二阶全微分
由于约束的出现,dx和dy不再是任意变化的,在微分 时将dy视为依赖于x,y的变量
2011-4-30
IV.12.34
GuoSipei@CCNUMATH
wenku.baidu.com次函数
• 若以常数j乘以函数的每一自变量,使函数变为 原来的jr倍,即若f(jx1,…,jxn)=jrf(x1,…, xn)则 称此函数为r次齐次函数 齐次函数.一般而言,j可以取任 齐次函数 意值.经济学中常数j通常取正值.
第四篇 最优化问题
• 第12章 具有约束方程的最优化
约束的影响 求稳定值 二阶条件 拟凹性和拟凸性 效用最大化与消费需求 齐次函数 投入的最小成本组合
2011-4-30
IV.12.1
GuoSipei@CCNUMATH
约束的影响
• 约束
一个约束确立了两个变量在充当选择变量时的关系, 但这种关系与其他类型的将两个变量联系在一起的 关系是不同的. 施加约束的基本目的是对在所讨论的最优化问题中 存在的某些限制因素给出合理的认识 生产配额问题是典型的约束最优化问题 约束的作用在于缩小定义域,从而缩小目标函数的 值域
• 二阶条件
二阶必要条件: 二阶充分条件: 二阶充分条件是研究的重点!
2011-4-30
IV.12.10
GuoSipei@CCNUMATH
• 海塞加边行列式(表达约束极值的二阶充分条件)
满足线性约束的两变量二次型有定性符号的条件:
2011-4-30
IV.12.11
GuoSipei@CCNUMATH
2011-4-30
IV.12.30
GuoSipei@CCNUMATH
如果以数量上等于dB的现金支付来补偿消费者的实际收 入减少,那么,由于收入效应的抵消作用,T2将度量完全由 于价格变化引致的一种商品对另一种商品的替代而出现 的x*变化,即T2度量替代效应! 回到最初由一阶条件得到的方程组,当仅研究dPx的影响 时(dPy=dB=0),其第一个方程可以写成-Pxdx*Pydy*=x*dPx.对消费者进行补偿,就要令该式为0,所以 前述矩阵方程中的常数向量中x*=0
n个变量的情况
目标函数: 约束条件: 给定海塞加边行列式:
逐次加边主子式:
正定或负定的条件为:
2011-4-30
IV.12.12
GuoSipei@CCNUMATH
2011-4-30
IV.12.13
GuoSipei@CCNUMATH
多重约束的情况
n个选择变量以及m个约束,拉格朗日函数为:
海塞加边行列式为:
2011-4-30
IV.12.33
GuoSipei@CCNUMATH
练习
• 假设U=(x+2)(y+1)
写出拉格朗日函数 求x*,y*,λ*(以参数Px,Py,B表示) 检验极大值的二阶充分条件 令Px=4,Py=6及B=130,求各最优值 上述最优解(x*,y*)能产生比较静态信息吗,求出所 有比较静态导数,确定其符号,并解释其经济意义.