初中数学类比、拓展、探究第一课时
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3
折叠即轴对称变换
复习小结
（1）翻折变换（折叠变换）实质上就是轴 对称变换。折叠前后图形的形状和大小不 变，位置变化，对应边对应角相等。 （2）在解决实际问题时，首先折叠和轴对 称能够提供给我们隐含的并且能够利用的 条件，然后用所求线段表示相关线段，选 择适当的直角三角形，运用勾股定理列出 方程求出答案。 （3）我们运用方程解决时，应认真审题， 设出正确的未知数。
∴∠B=∠D，
∵EG=EG，∠C=∠EFG=90∘，
∵∠ECD=180∘−∠D，
∴△ECG≌△EFG(HL)，
∠EFG=180∘−∠AFE=180∘−
∴FG=CG；（5分）
∠B=180∘−∠D，
（2)(1)中的结论仍然成立。（6分）∴∠ECD=∠EFG，
证明：连接EG，FC， ∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
四边形FENM 关于直线 MN对称．
∴ MN垂直平分BE ．∴ BM=EM,BN=EN
∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A=∠D=∠C= 90° , AB=BC=CD=DA
F
AM
D
∵ CE 1 ,CE CD 1设BN=x 则
CD 2
NE x, NC 2 x
E
在 RtCNE 中，NE 2 CN 2 C．E 2∴ x2 (2 x)2 12
4
AM 1 BN 5
（6分）
类比归纳： 2 ； ；9
5
17
(n n
1)（2 9分）联系拓广：n
2 1
2
m2 n2m2
2n 1
1（10分）
Байду номын сангаас
方法指导
1、类比探究题，每一问都是前一问的升华或 者知识迁移。 2、第1问通过操作发现找出解决问题的方法（ 通常利用相似或全等勾股定理）。关注解决过 程的方法和思路。 3、第2问中通过改变（1）中的某个条件探索 （1）中的规律是否存在。其方法隐藏在第1问 当中。 4、第3问是在原题的基础上进一步将条件改变 ，拓展延伸，可沿用第1、2中的解题方法或反 方向思考，加以求解。
解得 x 5 ，即 4
BN 5 （3分）
4
B
N
C
图2（
在RtABM 和在 RtDEM 中 AM 2 AB2 BM 2, DM 2 DE2 EM 2
AM 2 AB 2 DM 2 DE 2 （5分）
设 AM=y 则DM=2-y ∴ y2 22 (2 y)2 12
解得
y1 4
即
AM 1 ∴
1（ n为整数），则
n
AM BN
联系拓展：如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点 B落在
边CD上一点 （不与点C、D 重合），压平后得到折痕MN 设
，则 的值等于 ．（用含 m的式子表示）
AB 1 (m＞1), CE 1
AM
BC m CD n
BN
F
AM
D
F
AM
D
E
E
B
N
C
图1（1）
B
N
C
解：如图（1-1），连接 BM、EM、BE． 由题设，得四边形 ABNM和
∴∠GFC=∠GFE−∠EFC=∠ ECG−∠ECF=∠GCF， ∴∠GFC=∠GCF，
∴FG=CG；（10分）
要点归纳
常考题型 几何综合问题：常以三角形、四边形为背 景，结合几何变换、几何模型、几何结构 等进行考查。
找特征（中点、特殊角、折叠等）、找模 型（相似结构、三线合一、面积等）；
借助问与问之间的联系，寻找条件和思路。
题型特征：
图形结构类似，问法类似，常含类比、探 究等关键词
要点归纳
1.照搬：照搬上一问的方法、思路解决问题。如 照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似。 就是知识的迁移。 2.找结构：寻找不变的结构，利用不变结构的特 征解决问题。常见不变结构及方法： ①直角，作横平竖直的线，找全等或相似； ②中点，作倍长，通过全等转移边和角； ③平行，找相似，转比例。
例题讲解
1、（10分）问题解决：如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落
在CD 边上一点 （不与点 C、D重合），压平后得到折痕MN ．当
时，
．CE 1
求 AM 的值 CD 2
类比B归N 纳:在图（1）中，若
则 的值等于 ；
CE 1
AM
CD 3
BN
若的CC值DE 等 14于则
AM 的值等于 ；若 CE BN．（用含n 的式子表示C）D
对应练习答案
解：(1)猜想线段GF=GC，（1分） ∵将△ABE沿AE折叠后得
证明：连接EG，
到△AFE，
∵E是BC的中点，
∴BE=EF，∠B=∠AFE，
∴BE=CE，
∴EF=EC，
∵将△ABE沿AE折叠后得到
∴∠EFC=∠ECF，
△AFE，
∵矩形ABCD改为平行四边
∴BE=EF，
形，
∴EF=EC，
对应练习
(1)操作发现： 如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠 后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G.猜 想线段GF与GC有何数量关系?并证明你的结论。 (2)类比探究： 如图2，将(1)中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不 变，(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由。
几何探究题 《类比、拓展、探究》第一课时
学习目标
掌握类比拓展与探究题型的解 决方法，能运用此方法解决有关问 题，培养学生发现问题、归纳类比 、拓展探究等能力。
复习热身
如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上， 将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE 的长为____1_0____．
折叠即轴对称变换
复习小结
（1）翻折变换（折叠变换）实质上就是轴 对称变换。折叠前后图形的形状和大小不 变，位置变化，对应边对应角相等。 （2）在解决实际问题时，首先折叠和轴对 称能够提供给我们隐含的并且能够利用的 条件，然后用所求线段表示相关线段，选 择适当的直角三角形，运用勾股定理列出 方程求出答案。 （3）我们运用方程解决时，应认真审题， 设出正确的未知数。
∴∠B=∠D，
∵EG=EG，∠C=∠EFG=90∘，
∵∠ECD=180∘−∠D，
∴△ECG≌△EFG(HL)，
∠EFG=180∘−∠AFE=180∘−
∴FG=CG；（5分）
∠B=180∘−∠D，
（2)(1)中的结论仍然成立。（6分）∴∠ECD=∠EFG，
证明：连接EG，FC， ∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
四边形FENM 关于直线 MN对称．
∴ MN垂直平分BE ．∴ BM=EM,BN=EN
∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A=∠D=∠C= 90° , AB=BC=CD=DA
F
AM
D
∵ CE 1 ,CE CD 1设BN=x 则
CD 2
NE x, NC 2 x
E
在 RtCNE 中，NE 2 CN 2 C．E 2∴ x2 (2 x)2 12
4
AM 1 BN 5
（6分）
类比归纳： 2 ； ；9
5
17
(n n
1)（2 9分）联系拓广：n
2 1
2
m2 n2m2
2n 1
1（10分）
Байду номын сангаас
方法指导
1、类比探究题，每一问都是前一问的升华或 者知识迁移。 2、第1问通过操作发现找出解决问题的方法（ 通常利用相似或全等勾股定理）。关注解决过 程的方法和思路。 3、第2问中通过改变（1）中的某个条件探索 （1）中的规律是否存在。其方法隐藏在第1问 当中。 4、第3问是在原题的基础上进一步将条件改变 ，拓展延伸，可沿用第1、2中的解题方法或反 方向思考，加以求解。
解得 x 5 ，即 4
BN 5 （3分）
4
B
N
C
图2（
在RtABM 和在 RtDEM 中 AM 2 AB2 BM 2, DM 2 DE2 EM 2
AM 2 AB 2 DM 2 DE 2 （5分）
设 AM=y 则DM=2-y ∴ y2 22 (2 y)2 12
解得
y1 4
即
AM 1 ∴
1（ n为整数），则
n
AM BN
联系拓展：如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点 B落在
边CD上一点 （不与点C、D 重合），压平后得到折痕MN 设
，则 的值等于 ．（用含 m的式子表示）
AB 1 (m＞1), CE 1
AM
BC m CD n
BN
F
AM
D
F
AM
D
E
E
B
N
C
图1（1）
B
N
C
解：如图（1-1），连接 BM、EM、BE． 由题设，得四边形 ABNM和
∴∠GFC=∠GFE−∠EFC=∠ ECG−∠ECF=∠GCF， ∴∠GFC=∠GCF，
∴FG=CG；（10分）
要点归纳
常考题型 几何综合问题：常以三角形、四边形为背 景，结合几何变换、几何模型、几何结构 等进行考查。
找特征（中点、特殊角、折叠等）、找模 型（相似结构、三线合一、面积等）；
借助问与问之间的联系，寻找条件和思路。
题型特征：
图形结构类似，问法类似，常含类比、探 究等关键词
要点归纳
1.照搬：照搬上一问的方法、思路解决问题。如 照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似。 就是知识的迁移。 2.找结构：寻找不变的结构，利用不变结构的特 征解决问题。常见不变结构及方法： ①直角，作横平竖直的线，找全等或相似； ②中点，作倍长，通过全等转移边和角； ③平行，找相似，转比例。
例题讲解
1、（10分）问题解决：如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落
在CD 边上一点 （不与点 C、D重合），压平后得到折痕MN ．当
时，
．CE 1
求 AM 的值 CD 2
类比B归N 纳:在图（1）中，若
则 的值等于 ；
CE 1
AM
CD 3
BN
若的CC值DE 等 14于则
AM 的值等于 ；若 CE BN．（用含n 的式子表示C）D
对应练习答案
解：(1)猜想线段GF=GC，（1分） ∵将△ABE沿AE折叠后得
证明：连接EG，
到△AFE，
∵E是BC的中点，
∴BE=EF，∠B=∠AFE，
∴BE=CE，
∴EF=EC，
∵将△ABE沿AE折叠后得到
∴∠EFC=∠ECF，
△AFE，
∵矩形ABCD改为平行四边
∴BE=EF，
形，
∴EF=EC，
对应练习
(1)操作发现： 如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠 后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G.猜 想线段GF与GC有何数量关系?并证明你的结论。 (2)类比探究： 如图2，将(1)中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不 变，(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由。
几何探究题 《类比、拓展、探究》第一课时
学习目标
掌握类比拓展与探究题型的解 决方法，能运用此方法解决有关问 题，培养学生发现问题、归纳类比 、拓展探究等能力。
复习热身
如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上， 将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE 的长为____1_0____．