第三章 空间数据的处理——内插

b x
rs
r
y
s
趋势面法

函数方程的求解
该二元函数必须满足观测值与拟合值之差的平方和 最小，即 n
(z( x i , y i ) f ( x i , y i ))2 min
i 1
然后用最小二乘法求解各式的系数bi
例：趋势面分析法的运用

下图显示五个已知值的气象站点，用x,y坐标，格网单元大 小为2000m的行和列来表示，求0号站的未知值。
2 1 3
区域内插算法——叠置法

步骤
（1）将目标区叠加在源区上，计算两者的交 集的面积 Ats （2）计算内插后目标区中各分区的人口值 Vt = Ats ( As )-1 Us Vt目标区的分区人口矩阵 Ats目标区与源区交集的面积矩阵 As 源区的分区面积矩阵 Us 源区的分区人口矩阵
源区与目标区面积的交集
分块区域内插
区域内插算法——叠置法

源区分区情况

是将目标区叠置在源区上，首先 确定两者面积的交集，然后计算 出目标区各个分区的内插值； 例如： 已知源区：3个县的人口统计数据 求目标区：3个流域的人口数
县名 A 7000 350 B 6000 300 C 3000 100
A
C B
目标区分区情况
土地面积（km2） 人口数（千人）
移动拟合内插法

原理 1)待内插的点P为中心原点，按一定半径作圆； 2)选定一多项式内插函数，用圆内的采样点 解出函数参数； 3)使用内插函数计算待插点的特征值；
移动拟合内插法

假设取二次多项式来拟合，则待求点的特征值可写 为一般式： f(x,y) = Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F 通常做法是将坐标原点放置在待定点上，而采用的 数据点应落在半径为R的圆内（图） f(x,y) = Ax′2 + Bx′y′+ Cy′2 +Dx′+Ey′+F
r s p r s 0
b
rs
x y
r
s
P为二元函数阶数，通常≥1
趋势面法

趋势面的阶数
p=0,水平面
f ( x, y)
r s p
r s 0 f (x，y)=b0 p=1,倾斜面 f(x,y)=b0+b1x+b2y p=2,二次曲面 f(x,y)=b0+ b1x+b2y +b3x2+b4xy+b5y2 p=3,复杂曲面常用三次 f(x,y)=b0+ b1x+b2y +b3x2+b4xy+b5y2 +b6x3+b7x2y+b8xy2+b9y3
点的内插 是研究具有连续变化特征现象的
数值内插方法；
点的内插方法可以采用： • •
•
整体趋势面拟合 双线性多项式内插 移动拟合法

趋势面拟合法
是利用回归分析思想，运用最小二乘法对数据 点进行的拟合，通过选择一个二元函数来逼近采样 数据的整体变化趋势，二元函数的表达式：
f ( x, y )
比 重 法 区 域 内 插 值 实 例 ：
5.0 5.0 5.0 5.0
5.0 5.0 5.0 5.0
5.0 3.3 5.0 5.0
5.0 3.3 3.3 5.0 乘p 刷新
5.0 5.0 5.0 5.0
5.0 4.6 5.0 5.0
4.2 4.6 4.2 5.0
4.2 3.9 4.4 4.2
5.3
5、空间数据的内插方法
6、图幅数据边沿匹配处理
站点 1 2 3 4 5 0 x 69 59 75 86 88 69 y 76 64 52 73 53 67 Z值 20.820 10.910 10.380 14.600 10.560 ？


求解步骤： 建立线形趋势面方程：z x,y=b0+b1x+b2y 根据最小二乘法得到b0，b1，b2的三个法方程：
比重法

算法步骤
5 5 5 4
3 3 5 4
3 3 5 4
3 4 4 4
1）对源区（us）上栅格化，尺寸选择; 2）根据原图各分区的面积和栅格尺寸，将各分区的统计数 据按比例赋与相应分区的各个格网点，并计算全图的统 计数据总和U; 3）按公式计算相邻四个格网点的平均值赋给该格网点; zi,j = ( zi-1,j + zi+1,j + zi,j+1 + zi,j-1 ) / 4; 4）将刷新后的各分区的格网点值分别相加，得u’ ,计算系 数p = u/ u’;并将刷新后各格网乘以p，再刷新成新图； 5）按3-4步，依次进行下去，直到p趋近于1为止。格网点 值比较一致时，累加各分区内格网点值得内插值;
1 2 3 4 5 0
x
69 59 75 86 88 69
y
76 64 52 73 53 67
Z值
20.820 10.910 10.380 14.600 10.560 ？
区域的内插 是研究根据一组分区的已知数据 来推求同一地区另一组分区未知 数据的内插方法； 区域的内插方法采用： • 叠置法； • 比重法;
源区 交集 A 3000 4000 0 B 2000 0 4000 C 源区分区情况
目标区
1 2 3 0 1000 2000
A
C B
目标区人口插值结果
自然地理分区 土地面积（km2） 人口数（千人） 1 5000 250 2 5000 233.333 3 6000 266.667
目标区分区情况
2 1 3
按距离加权插值法(DEM)

设平面上分布一系列离散点，已知其坐标和 高程为xi,yi，zi(I=1,2,…n),p(x,y)为任一 格网点，根据周围离散点的高程，通过距离 加权插值求得p点高程。这时：
例如： 五个已知值的气象站点，围绕着未知数值的0号 站点，用反距离平方法插值成点0处的未知值。
站点
z b n b x b y
0 1 2
xz b x b x
0 1
2
b2 xy
2 y 2b yx 1b y 0b zy

改成矩阵形势并代入数据
5 377 318
23.210 - 0.163 - 0.168
区域内插算法——叠置法

计算结果式 Vtj =
a
i 1
n
t j si
ui / Asi

上式适用条件 已知源区的各分区的某项绝对统计值，如：人口总数
区域内插算法——比重法

原理
根据平滑密度函数的原理，将源区的统计数 据从各分区的均匀分布（同质性）转变为分区 内的非均匀分布（非同质性）。

应用
非同质性代表着一般社会经济与自然现象的特 点，如：行政线交界处气象数据等；
p 10.094 (0.020） 69 0.347） 67 14.669 * （ * 0
双线性多项式内插法

适用情况
局部待插区域中，当采样点的特征值在x、y 方向分别按线性规律变化


内插函数
f(x,y) = Ax + By + Cxy + D
采样点的选择
4个已知采样点
尽量以内插点为中心均匀分布 离内插点距离最近
0
单点移面 内插
采样点的选择
最好四个象限内均分布有采样点；
采样点个数至少为未知数个数，当采样点个
数不足时，须扩大取样半径；
按距离加权平均内插法
取内插区域内点的加权平均值作为待定点的高程. 最简单的方法：距离倒数加权内插
z p zi d
i 1
n
r ip
/ d
i 1
n
r ip
31 21 11
32
22 22
12
33 23 13
6.2 相邻图幅边界点坐标数据的匹配


采用追踪拼接法 弧段即可匹配衔接的条件：相邻图幅边界两条线段 或弧段的左右码各自相同或相反；相邻图幅同名边 界点坐标在某一允许值范围内(如土O．5mm)。 追踪拼接有四种情况：
1 A 1 2 C
向追 右踪
§5 空间数据的内插方法

空间数据内插的概念
是根据一组已知的离散点数据或分区数据，从现有 这些数据中找到一个函数关系式，使该关系式最好 地逼近这些已知的空间数据，并能根据该函数关系 式推求出任意点或分区的值。这种通过已知点数据 推求出其他未知点或未知区域数据的方法。

空间数据内插算法的分类：
按具体内容分两大类：点的内插和区域内插； 按使用已知点范围分：整体拟合和局部拟合。
1 2 B 1 2 D 2 C
向追 左踪
2
2 A
1
2
B 1 2
D
2
2
2
2
1
1
1
6.3 相同属性多边形公共界线的删除
4 1 P 6 1 1 P 2 2 0
P 1 4
P 2 6
6 + 2 = 0 2 1
5 1 多边形公共边界的自动删除 1 5 2 1 1 1
本章总结
1、空间数据的坐标变换
2、空间数据结构的转换 3、多源空间数据的融合 4、空间数据的压缩与综合
6.1 识别和检索相邻图幅的数据



具体步骤如下： 1、逻辑一致性的处理 2、识别和检索相邻图幅 首先将待拼接的图幅数据按图幅进行编号，横向和纵向图 幅相同的图幅数据收集在一起； 其次，图幅数据的边缘匹配处理只提取图幅边界2cm范围 内的数据作为匹配和处理的目标。同时要求图幅内空间实体 的坐标数据已经进行过投影转换。
318 b 0 67.270 b 5043 650 29007 23862 1 . 23862 20714 b 2 4445 800 . 377
- 0.163 0.002 0.000 - 0.168 0.000 0.002 67.270 - 10.094 5043.650 0.020 4445.800 0.347
例如：
C(i,j+1) N
数据按正方形格网（边长为L） 节点布置，球内点P的高程ZPΒιβλιοθήκη BaiduD(i+1,j+1) 已知：A(i,j， ZA) B(i+1,j, ZB)
C(i,j+1, ZC) D(i+1,j+1, ZD)
y x
A(i,j) M B(i+1,j)
求解思路： 先用点A和B及C和D两对点的高程， 线性内插出点M和N的高程ZM ,ZN ； 然后再由ZM , ZN 直线内插待求 点P的高程ZP.
5.3
4.6
4.4
5.1
5.3 5.5 5.5
5.1
5.1 5.2 5.5
4.6
3.5 4.5 4.9
4.0
3.2 3.3 4.5
5.3
5.3 5.3
4.8
5.3 5.3
3.6
4.5 5.3
3.0
3.4 4.5
§6 图幅数据边沿匹配处理
(a)
(b)
(c)
边沿匹配处理的任务主要有： 6.1 识别和检索相邻图幅的数据 6.2 相邻图边界点坐标数据的匹配 6.3 相同属性多边形公共界线的删除