《3.3.2简单的线性规划问题(一)》导学案

《3.3.2简单的线性规划问题（一）》导学案

编写：代翀审稿人：高二数学组编写时间：2013年8月22日

班级组别组名姓名

【学习目标】:

1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；

2.了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；会根据条件建立线性目标函数

3.了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值

4.培养学生观察、联想以及作图的能力；渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力，培养学生应用数学的意识。

【学习重、难点】

学习重点: 线性规划的图解法

学习难点:寻求线性规划问题的最优解

【学法指导及要求】:

1．认真研读教材P87---P88页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号。

2. 在应用图解法解题的过程中注重培养自身的观察能力、理解能力，及数形结合思想解题的能力。

3．把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，多复习记忆.（尤其是直线方程的几种形式及其特点，斜率、截距等概念）。

【知识链接】

1.如何判断表示直线 : 哪一侧平面区域？

2. 请同学们在同一直角坐标系中画出直线2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7，你会发现什么呢？

3.作出不等式组

410

4320

x y

x y

x

y

+≤

⎧

⎪+≤

⎪

⎨

≥

⎪

⎪≥

⎩

所表示的平面区域

>

+

+C

y

Ax B0

=

+

+C

y

Ax B

【学习过程】

一．课前准备：（预习教材P87---P88，找出疑惑之处）：

二．新课导学

问题1：在约束条件

410

4320

x y

x y

x

y

+≤

⎧

⎪+≤

⎪

⎨

≥

⎪

⎪≥

⎩

下，如何求目标函数2

P x y

=+的最大值？

探究：寻求最优解

为了解决问题1，我们认真阅读教材77-88页内容，认识和掌握以下基本概念。

对于在约束条件

410

4320

x y

x y

x

y

+≤

⎧

⎪+≤

⎪

⎨

≥

⎪

⎪≥

⎩

下，若2

P x y

=+，式中变量x、y满足上面不等式组，则

不等式组叫做变量x、y的，且该不等式组都是关于变量x、y的一次不等式，所以又称为；函数2

P x y

=+称为，又因为这里的2

P x y

=+是关于变量x、y的一次解析式，所以又称为；满足线性约束条件的解（x,y）叫做，满足线性约束条件的平面区域（如图（1）所示）即由所有可行解组成的集合叫做；

我们将目标函数2

P x y

=+变形为的形式，它表示一条直线，斜率为2

-，且在y轴上的截距为P．

平移直线l，当它经过两直线410

x y

+=与4320

x y

+=的交点

5

(,5)

4

A时，直线在y轴上的截距最大，如图（2）所示。

因此，当

5

,5

4

x y

==时，目标函数取得最大值

5

257.5

4

⨯+=，即当甲、乙两种产品分别生产

5

4

t和5t时，可获得最大利润7.5万元。

这类问题，通常称为线性规划问题。

其中5(,5)4

使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的 。对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决． 说明：平移直线2y x P =-+时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）． 现在再请同学们回过头去完成问题1，并总结归纳出求解线性规划的可行解的步骤： ①

②

③

④

【典型例题】

例1.设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件43

35251

x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值．

变式1. 设变量,x y 满足约束条件22,

24,41,

x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是(

) (A)3

[,6]2- (B)3

[,1]2-- (C)[1,6]- (D)3

[6,]2-

小结：

例2.设2()f x ax bx =+，且1(1)2f ≤-≤，2(1)4f ≤≤，求(2)f -的取值范围。

例3.在如图所示的可行域内，目标函数z x ay =+取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是（ ）.

A. 3-

B. 3

C. 1-

D.1

【归纳小结】

【达标训练】

1.设变量x,y 满足约束条件⎪⎩

⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数z=3x-2y 的最小值为 ( )

A ．-5

B.-4

C.-2

D.3

2. 如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )

A.14

B.35 C ．4 D.53

3．已知函数2

()f x ax c =-满足4(1)1f -≤≤-，1(2)5f -≤≤，求(3)f 的取值范围。

4. 设,,x y z 满足约束条件组13201

01

x y z y z x y ++=⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，求264u x y z =++的最大值和最小值。

【学习反思】

【课后练习】 练习：教材91页练习第1题