【名师一号】高考数学(人教版a版)一轮配套题库：8-7抛物线

第七节 抛物线

时间：45分钟 分值：75分

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1．以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0圆心的抛物线方程是( )

A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2

B ．y ＝3x 2

C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2

D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x

解析 设抛物线方程为x 2＝ay 或y 2＝ax (a ≠0)，把圆心(1，－3)代入方程得a ＝－1

3或a ＝9，∴抛物线方程是y ＝－3x 2或y 2＝9x .

答案 D

2．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )

A ．2 2

B ．2 3

C ．4

D ．2 5

解析 由题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)， 则2＋p 2＝3，∴p ＝2.∴y 2＝4x ，∴y 2

0＝4×2＝8. ∴|OM |＝22＋y 20＝4＋8＝2 3. 答案 B

3．(2014·泸州诊断)抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( )

A.43

B.75

C.85

D ．3

解析 设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线相切的直线为4x

＋3y ＋t ＝0，与抛物线y ＝－x 2联立得3x 2－4x －t ＝0，由Δ＝16＋12t ＝0，得t ＝－4

3，两条平行线的距离为所求最小距离，由两条平行线的距离公式得所求距离为4

3.

答案 A

4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )

A ．x 2

＝83

3y

B ．x 2

＝163

3y

C ．x 2＝8y

D ．x 2＝16y

解析 ∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴c

a ＝a 2＋

b 2

a ＝2，∴

b ＝3a .

∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0.

∴抛物线C 2：x 2

＝2py (p >0)的焦点(0，p

2)到双曲线的渐近线的距

离为|3×0±p

2|2

＝2，∴p ＝8. ∴所求的抛物线方程为x 2＝16y . 答案 D

5．(2013·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )

A ．1 B.32 C ．2

D ．3

解析 由双曲线的离心率e ＝c

a ＝

1＋b 2a 2＝2可得b

a ＝3，所以

双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，与抛物线x ＝－p 2的交点坐标A (－p

2，32p )，B (－p 2，－32p )，所以△AOB 的面积为12×p

2×3p ＝3，可得p ＝2.

答案 C

6．(2013·全国大纲卷)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( )

A.1

2 B.22 C. 2

D ．2

解析 由题意知k ≠0，设直线AB 方程为x ＝1

k y ＋2，与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 与抛物线方程联立得ky 2－8y －16k ＝0，y 1＋y 2＝8

k ，y 1y 2＝－16，MA →·MB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－

2)＝(y 218＋2)(y 2

28＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，整理并结合y 1＋y 2＝8

k ，y 1y 2

＝－16得k 2－4k ＋4＝0，解得k ＝2，故选D.

答案 D

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

7．边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为

顶点，且过A 、B 的抛物线方程是________．

解析 根据题意可知抛物线以x 轴为对称轴，当开口向右时，

A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，设抛物线方程为y 2

＝2px ，则有14＝2p ·32，所以p ＝143

.

抛物线方程为y 2＝3

6x ，同理可得，当开口向左时，抛物线方程为y 2

＝－3

6x .

答案 y ＝±3

6x

8．一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝ax 上，另一个顶点在坐标原点，若这个三角形的面积为363，则a ＝________.

解析 设正三角形边长为x ，则363＝12x 2

sin60°.∴x ＝12. 当a >0时，将(63，6)代入y 2＝ax 得a ＝23； 当a <0时，将(－63，6)代入y 2＝ax 得a ＝－23，故a ＝±2 3. 答案 ±2 3

9．(2013·浙江卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．

解析 设直线l 的方程为x ＝ty －1，联立⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝ty －1y 2＝4x 得y 2－4ty ＋

4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝4，所以y Q ＝2t ，

将y Q 代入x ＝ty －1得x Q ＝2t 2－1，|FQ |2＝(x Q －1)2＋y 2

Q ＝4代入得t

＝0(舍)或t ＝±1，所以直线的斜率1t 为±1.

答案 ±1