(优选)复变函数第四版第三章ppt讲解

n
n
Sn f ( k )(zk zk1) f ( k )zk .
k 1
k 1
这里zk zk zk1.
记sk
z k 1 zk的长度,
max 1k n
sk
.
当n无限增加, 且趋于零时, 如果不论对C的分法
及 k的取法如何, Sn有唯一极限, 那么称该极限值
为函数f (z)沿曲线C的积分.
dz idt , z it t
z dz
1
t idt i[
0
tdt
1
tdt
i( 1
1)
i
C
1
1
0
22
（2）参数方程为
z ei , 3
i
2
2
dz iei d , z ei 1
i
3
2
z dz
C
iei d
ei
wk.baidu.com
3
2
2i
2
2
可见积分与路径有关。
例题2
计算积分I
4 C f (z)dz C f (z) dz C f (z) ds ML
(若f (z)在C上有界：f (z) M ,L为C的长度.)
例题1 计算 z dz. C (1)C : i i的直线段；
（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向 的单位半圆周。
解（1）线段 的参数方程为 z it t :1 1
C udx vdy与C vdx udy存在 C f (z)dz存在.
复积分的计算方法：
f z u x, y iv x, y
z x iy , dz dx idy
c f z dz c u ivdx idy
c udx vdy ic vdx udy
f xt, y t zt dt
（优选）复变函数第四版第三章ppt讲解
}
§3.1 复积分的概念
1 复变函数的积分定义 定义：设函数 w=f(z) 定义在区域D内，C为区域 D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把
曲线C任A意分z成0,nz个1,弧段, z，k1设, z分k ,点为, z:n B
在每个弧段上任意取一点 k ,并作和式
记作 :
n
y
k
c
f (z)dz lim
c
n
f ( k )zk .
zk
B
k 1
1
如果C为闭曲线,
A
则积分记作c f (z)dz.
0
x
2 复积分存在的一个充分条件：
设函数f (z) u(x, y) iv(x, y)在逐段光滑
的曲线上C连续，则c f z dz必存在.
f (z)连续 u(x, y)，v(x, y)连续
3i
1
11
i1 4
c z2 d 3 t 2 idt t 3 3 i.
或
C
1 z2
dz
0,i
d
0,3i
1 z
1 z
0,i 0,3i
1 i
1 3i
4 3
i
例题2
求
1 c z2 z dz
C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。
所围成的多连通区域，
C
f (z)在D内解析，
D
在D D 上连续,则
f (z)dz 0
Ci
n
f (z)dz f (z)dz.
c
i1 ci
例题1
求
C
1 z2
dz
,
C 如图所示：
解：存在 f (z)的解析单连通域D包含曲 i
线 C ，故积分与路径无关，仅与起点
和终点有关。
i
现设z=it，t从-3变化到1，
计算
C
z2dz , Ci 如图所示：
C2
解：C1 : z x , y 0, x :1 1
z2dz 1 x2dx 2 ;
C1
1
3
C1
1
1
C2 : z ei
i e3id
, :0
1 e3i 2 .
C2
z 2 dz
0
e2iiei d
0
30 3
可见，积分仅与起点和终点有关,而与路径无关。
注2：如果曲线C是D的边界, 函数 f (z)在D内与C上 解析, 即在闭区域 D+C上解析, 甚至 f (z)在D内解析, 在闭区域D+C 上连续, 则 f (z)在边界上的积分仍然有
推论：
c f (z)dz 0.
如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, C属于D，
则c f z dz与路径无关仅与起点和终点有关。
dz
C (z z0 )n
(n Z), C :
z z0
r
0
解： C : z z0 rei (0 2 ), dz irei d
I
2 ire i d
0 (rei )n
z
1 r1n21
2
(0zidez1i)n31d0.
0,
2
n i,
1, n
1
.
例如
dz 2 i,
z 1 z
例题3
一个复积分的实质是两个实二型线积分
3 复积分的性质 ：
1 线性性：
C af (z) bg(z)dz aC f (z)dz bC g(z)dz (a、b为常数)
2 设C为C的逆向曲线，则
f (z)dz f (z)dz
C
C
3 C f z dz C1 f z dz C2 f z dz , C C1 C2
C
AB
C1 BA
蜒 蜒 ? 0
C
C1
C
C1
C1
这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因 闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。
------闭路变形原理
推论（复合闭路定理）：
设C1,C2 , ,Cn为简单闭曲线(互不包含且互不相交)，
C为包含C1,C2 , ,Cn的简单闭曲线，
D为由边界曲线 C C1 C2 Cn
z 1 dz
2
C
z 1 2 dz 2 dz 8.
2
C
§ 3.2 柯西-古萨基本定理
定理1（Cauchy-Goursat） 如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, 则它
在D内任何一条封闭曲线 C 的积分为零:
c f (z)dz 0.
注1：定理中的曲线C可以不是简单曲线.
此定理成立的条件之一是曲线C要属于区域D。
z2dz x2 y2 dx 2xydy i 2xydx x2 y2 dy
C
C
C
M
N
M
N
M y Nx uy (v)x
M y Nx vy ux
例题4
证明 C
z 1 dz z 1
8 ,
C : z 1 2.
证明： C
z z
1 dz 1
C
z 1
z 1 dz C
柯西-古萨基本定理还可推广到多连通域:
定理2 (复合闭路定理)
假设C及C1为任意两条简单闭曲线, C1在C内
部,设函数 f (z)在C及C1所围的二连域D内解析,
在边界上连续，则
A
C
f (z)dz f (z)dz.
c
c1
D
B
C1
证明：取 C AB C1 BA
蜒 ?