华师大版-数学-八年级上册-平方根与立方根

【同步教育信息】
本周教学内容： 平方根与立方根
［学习目标］
1. 掌握平方根，算术平方根的概念及符号表示，能进行开平方的简单运算。

2. 理解立方根的概念及符号表示，能进行开立方运算。

［知识内容］ 一. 平方根
如果已知正方形的面积为25cm 2，求这个正方形的边长容易知道，正方形的边长是5cm 。

这个问题实质上就是要找一个数，使这个数的平方等于25。

1. 平方根：
如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。

在上述问题中，因为5252
=，
所以5是25的一个平方根，又因为
()-==552522
，所以－5也是25的一个平方根。

这就是说，25的平方根有两个：5与－5。

试一试：
（1）144的平方根是什么？ （2）0的平方根是什么？
（3）4
25的平方根是什么？
（4）－4有没有平方根？为什么？
总结：一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立即可以得到它的另一个平方根。

2. 算术平方根
正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记a ，读做“根号a ”；另一个平方根是它的相反数，即-a 。

因此正数a 的平方根可以记为±a ，a 称为被开方数。

因为0的平方等于0，而其它任何数的平方都不等于0，所以0的平方根只有一个，就是0，即0＝0。

3. 开平方
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。

将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根。

例如：100的算术平方根是10010=，100的平方根是±±10010=。

二、立方根
现有一只体积为216cm 3的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？要解答这个问题，实质上就是要找一个 数，这个数的立方等于216。

容易验证，62163
=。

所以立方体的棱长
应为6cm 。

1. 立方根
如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫a 的立方根。

试一试：
（1）27的立方根是什么？ （2）－27的立方根是什么？ （3）0的立方根是什么？
任何数（正数、负数或零）的立方根如果存在的话，必定只有一个。

数a 的立方根，记作a 3
，读作“三次根号a ”，a 称为被开方数，3称为根指数。

2. 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

三、用计算器求平方根与立方根 如果被开方数比较复杂，我们常用计算器直接得出一个正数的算术平方根或立方根，有时得到的是近似值。

【典型例题】
例1. 求10000的平方根。

解：∵100100002=，
()-=100100002，除了100和－100之外，任何数的平方都不等于10000，所以10000的平方根是100和－100。

例2. 将下列各数开平方： （1）49 （2）1.69
解：（1）∵
7494972
==，∴，因此49的平方根为±7。

（2）∵13
1692..=，∴16913..=，∴1.69的平方根为±1.3。

例3. 求下列各数的立方根。

（1）8
27
（2）－125 （3）－0.008
解：（1）
∵()238
273=
，∴827233= （2）
∵－()-=51253
，∴-=-12553 （3）
∵，∴(.)...-=-=-02000800080233
例4. 某农技站要在一块长方形的土地上做田间试验，已知长方形的长是宽的3倍，面积是1323平方米，则这块土地的长与宽各是多少米？ 解：设土地的宽为x 米，则长为3x 米。

根据题意：得： 31323x x ·= 313232
x =
x 2
441= ∵x >0
∴x =21
∴长为63m ，宽为21m 。

答：这块土地的长为63cm ，宽为21m 。

例5. 王老师有棱长为40.25cm 的两个正方体纸箱装满了书，他现在把这些书都放入一个新制的正方体木箱中，结果正好放下，那么这个木箱的棱长大约是多少？（结果精确到0.01cm ）。

解：设这个木箱的棱长大约为x cm 根据题意，得： 240253
3
×.=x
∴x =240253
3
×.
=24025
5071
3×≈..
答：这个木箱的棱长大约是50.71cm 。

例6. 蚂蚁和大象一样重吗？
设蚂蚁重量为x 克，大象重量为y 克，它们的重量和为2a 克。

则 x y a +=2
两边同乘以()x y -，得： ()()()x y x y a x y +-=-2 x y ax ay 2
2
22-=-
∴x ax y ay 2222-=- 两边都加上a 2
，得：x ax a y ay a 2222
22-+=-+
∴()()x a y a -=-22
∴x a y a -=- ∴x y =
这里竟得出蚂蚁和大象一样重，岂不荒唐！那么毛病出在哪里？
在由()()
x a y a -=-22
，两边进行开方运算时，应得x a y a -=-或
()()x a y a -=--两种答案，然后根据实际问题取x a y a -=--()计算。

例7. 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。

（1）－64；（2）0；（3）()-42。

分析：因为只有正数和零才有平方根，所以首先应观察所给出的数是否为正数或0。

解：（1）因为－64是负数，所以－64没有平方根； （2）0有一个平方根，它是0；
（3）因为()-=>41602，所以()-42
有两个平方根，且
±±()-=4162 =±4
例8. 求下列各式的值：
（1）625；
（2）
-4
2125；
（3）
±42
2336-；
（4）2524342222
-+·；
（5）
20
141303615900--.。

分析：（1）、（2）、（3）题主要在于理解各题所表示的含义，是求平方根还是求算
术平方根，第（4）、（5）题除了分清各题所表示含义之外，还要掌握好运算顺序。

解：
（1）62525=；
（2）
-4
2125=-=-12125115；
（3）
±42
2336-==±±49367
6；
（4）
2524342222
-+·=+-+()()25242524916· ===4925
75
35
·×
（5）
20
141303615900--.=--81413061530××.
=
--=-921561
710
例9. 用计算器求下列各数的立方根： （1）1331； （2）－343； （3）9.263
分析：用计算器求一个有理数的立方根，只需要直接按书写顺序按键。

若被开方数为负数，“－”号的输入可以按
，也可以按。

解：（1）在计算器上依次键入
3
1331=
，
显示结果为11，所以
1331113
=。

（2）在计算器上依次键入
3
343()-=
，
显示结果为－7，所以
-=-34373。

（3）在计算器上依次键入
3
9263·=
，
显示结果为2.100151161，如果要求精确到0.01，那么 92632103
..≈。

【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一选择题：
1. 下列说法中正确的是（ ） A. 4是8的算术平方根 B. 16的平方根是4 C.
6是6的平方根
D. -a 没有平方根
2. 下列各式中错误的是（ ） A. ±±03606..=
B.
03606..=
C. -=-144
12.. D.
14412..=±
3. 若x 2207=-(.)，则x ＝（ ）
A. －0.7
B. ±0.7
C. 0.7
D. 0.49
4.
36的平方根是（ ）
A. 6
B. ±6
C.
6
D. ±6
5. 一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（ ）
A. 1
B. 0
C. －1
D. 1，－1或0 6.
a 3
的值（ ）
A. 是正数
B. 是负数
C. 是零
D. 以上都可能 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 27的立方根是3，记作273= B. －25的算术平方根是5
C. a 的三次立方根是±a 3
D. 正数a 的算术平方根是a
二、判断下列说法是否正确，不正确的请予以改正。

（1）任意一个有理数都有两个平方根。

（ ） （2）()-32
的算术平方根是3。

（ ）
（3）－4的平方根是－2。

（ ）
（4）立方根等于它本身的数只有0和1。

（ ）
（5）83
的立方根是2。

（ ） （6）-1253
的立方根是±5。

（ ）
三、填空。

（1）___________的平方等于16，所以16的平方根是___________。

（2）___________的平方等于1.96，所以1.96的算术平方根是___________。

（3）___________的算术平方根恰好与其本身相等。

（4）___________的算术平方根恰好为其本身的2倍。

（5）___________的算术平方根恰好为其本身的3倍。

四、下列各数有没有平方根？若有，请求出它的平方根。

（1）121 （2）0 （3）2
1
4（4）
1
9
五、求下列各数的算术平方根。

（若结果是近似数，保留4个有效数字）。

（1）100 （2）64
（3）47 （4）21
（5）8 （6）0
六、求下列各数的立方根
（1）27 （2）－64
（3）15
5
8
七、某玩具厂要制作一批体积为100000cm3的长方体包装盒，其高为40cm，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
【试题答案】
一、
1. C
2. D
3. B
4. D
5. B
6. D
7. D
二、
（1）×（2）√（3）×（4）×（5）×（6）×三、
（1）±4；±4 （2）±1.3；1.3 （3）1，0 （4）1
4，0 （5）
1
9，0
四、
（1）±11 （2）0 （3）±
3
2（4）没有平方根
五、
（1）10 （2）8 （3）6.856 （4）4.583 （5）2.828 （6）0 六、
（1）3 （2）－4 （3）5 2
七、50cm
【励志故事】
居安思危
洪水未到先筑堤，豺狼未来先磨刀。

一只野狼卧在草上勤奋地磨牙，狐狸看到了，就对它说：“天气这么好，大家在休息娱乐，你也加入我们队伍中吧！”野狼没有说话，继续磨牙，把它的牙齿磨得又尖又利。

狐狸奇怪地问道：“森林这么静，猎人和猎狗已经回家了，老虎也不在近处徘徊，又没有任何危险，你何必那么用劲磨牙呢？”野狼停下来回答说：“我磨牙并不是为了娱乐，你想想，如果有一天我被猎人或老虎追逐，到那时，我想磨牙也来不及了。

而平时我就把牙磨好，到那时就可以保护自己了。

”
温馨提示：做事应该未雨绸缪，居安思危，这样在危险突然降临时，才不至于手忙脚乱。

“书到用时方恨少”，平常若不充实学问，临时抱佛脚是来不及的。

也有人抱怨没有机会，然而当升迁机会来临时，再叹自己平时没有积蓄足够的学识与能力，以致不能胜任，也只好后悔莫及。