第5章 可压缩流体一元流动

常数可以用几种参考点的参数表示。 1．滞止状态(速度为零的状态) 滞止状态的参数：p0，ρ0，T0，v=0
u2 C pT C pT0 2
T u2 1 0 2C pT T
c2 C pT 1
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T0 1 2 1 Ma T 2
工程流体力学第5章 21
T P R

s Cv ln
P


常数
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工程流体力学第5章
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气体状态发生变化时，如果绝热并且没有摩 擦力，则熵函数保持不变，称为等熵过程。 等熵过程的特点：
p1 1 C，或 ( ) p2 2 p
由状态方程还可以得到：
1T1 1 ( ) 2T2 2
因此 p1 ( 1 ) , p2 2
T1 1 1 即 ( ) T2 2
1 T ( ) 2 T2
1 1 1
,
p1 T ( 1 ) 1 p2 T2
6

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工程流体力学第5章
5.2 能量方程

能量守恒定理：加入系统的热等于系统自身能量 增加量以及系统对外作功之和。
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dT p d dT d 2 Cv R T T T
工程流体力学第5章 4
dT p d dT d ds Cv 2 Cv R T T T
R ( 1)Cv
dT d ds Cv [ ( 1) ] T T S Cv ln 1 常 数
u2 1 2 1 2 C pT C pT0 c* umax 2 2( 1) 2
T u 2 1 ( ) T0 umax
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工程流体力学第5章
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例5.6 空气在管道中作等熵流动，某截面的流动参数： T=333K，p=207kPa，v=152m/s，求气流的临界参数 T*，p*，ρ* 解：
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面积与马赫数关系：

利用连续性方程，得
1v1 A1 2 v2 A2 A2 1v1 1 Ma1 c1 A1 2 v2 2 Ma2 c2
Ma1 T1 1 T1 2 Ma1 T1 2 ( 1) ( ) .( ) ( ) Ma2 T2 T2 Ma2 T2
d v c d d dp cv c 2 d d dp dp 2 c d d
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工程流体力学第5章
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声速公式：声速c的平方等于压强对于密度的 变化率。
dp c d
2

实验证明，微小压缩是等熵过程，
p


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例 5.4 空 气 等 熵 气 流 某 处 的 参 数 为 ， v=150m/s，T=288K，p=1.3×105Pa u M 0.4410 求滞止参数p0，ρ0，T0， RT 解：γ=1.4，R=287 J/kg.K
T0/T=1+0.2Ma2=1.0389 , T0=299K
Ma v 0.4155 RT
T0 1 0.2Ma 2 1.0345，T0 1.0345T 344.49 K T
T0 1 0.2, T* T* T0 / 1.2 287.08K
p* T* ( ) 0.5949, p* 1.2315 105 Pa p T p* * 1.4947kg / m3 RT*
p0/p=(T0/T)3.5=1.1429 p0=1.486×105Pa ρ0= p0/RT0 =1.7317kg/m3.
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工程流体力学第5章
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2．临界状态


气流速度 v 与音速 c 相等 , 即 Ma=1 的状态称为临 界状态。其参数用下标*表示. v* =c*，Ma=1
u2 1 2 C pT C pT0 c* 2 2( 1)

理想流体的运动方程：
v dv 1 dp 或 dx dx

vdv 2 dv Ma c2 v dv dA ( Ma 2 1) v A
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d
dv dA ( Ma 1) v A
2
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工程流体力学第5章
T 1 u 2 ( ) 1 T0 1 c*
令v/c* =Λ（速度系数）则
T 1 2 1 T0 1
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Λ与Μa关系：
1 2 (1 Ma )(1 ) 1 2 1
2
1
1 2
1
const
dp p RT d
dp d 0 p
c


p

RT
定义马赫数Ma=v/c，Ma>1为超声速。Ma<1为亚声速
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扰动波的传播


设气体静止，扰动源以速度v向左运动, t=0,1,2,3 时刻，扰动源所在位置为 0,1,2,3 。扰 动源每到这些位置就发出一个声波。 t=3秒的时候，球面波的半径分别为3c，2c，c， 0。记为C0，C1，C2，(C3的半径为零)
u 2C p (T0 T ) 141.63m / s
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工程流体力学第5章
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5.3 声速



设有管道-活塞系统。 初始时,管内气体静止，参数为p，ρ，T 设活塞突然以微小速度 v 运动 , 活塞附近气体受 压缩,参数变为p+dp，ρ+dρ，T+dT 活塞前方气体未受压缩,参数为p，ρ，T 压缩与未压缩区的分界面称扰动波面，它以c 向左运动，
1 1
1
A2 Ma1 2 A1 Ma2 1 1 Ma 2 1 2
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1
1
2 Ma2

1 2 ( 1)
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2. 收缩喷管

设气体从容器(其内的气体参数为T0 , p0) 经收缩喷管等熵流出。 求出口速度：
v2 C pT C pT0 2 T v 2C p (T0 T ) 2C pT0 (1 ) T0
dQ dE dw dt dt dt

系统内能及其变化量：
u2 E (e )d 2
dE u2 u2 (e )dV (e )vn dA dt t V 2 2 A
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对外做功量：
dw pvn dA dt A

1
2
2
Ma 2 , Ma
2
1
或Ma 2 2
2
1 2 1 1
空气, γ=1.4
2 1 . 2 Ma 2 , 2 1 0.2Ma 2 5 Ma 2 6 2
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工程流体力学第5章
3．最大速度状态

温度降至零,速度达最大值的状态,称为最大 速度状态，T=0，v= v max
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取波面上的运动坐标

连续方程：ρcA=(ρ+dρ)(c-v)A
d v c d
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工程流体力学第5章
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利用动量方程和连续方程，则有：
cA ( d )(c v) A
pA ( p dp) A ( d )(c v) 2 A c 2 A dpA cA[(c v) c] dp cv
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作业
5-8

5-14
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工程流体力学第5章
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5.5 一元等熵气流在变截面管中的流动


1.气流参数与面积变化的关系
连续性方程：
vA C，
d dv dA 0 v A
vdv dp d dp d c 2 d
dq de Cv ( ) v dT dT

由此得内能的表达式： e = C v T
工程流体力学第5章 2
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等压比热容：（加热过程时，压强不变）
dq de dv Cp ( ) p p( ) p dT dT dT
p为常数时，
dv p R dT
C p =C v +R 定义比热比γ ： γ =C p/C v

音波不能传到扰动源上游 马赫角μ的定义：sin μ=α/v=1/Ma
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工程流体力学第5章
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作业
5-7
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工程流体力学第5章
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5.4 一元等熵流动的基本关系式

能量方程：
v2 v2 c2 v2 C pT RT const 2 1 2 1 2
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1．扰动源不动，声波面为同心球面；
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2．扰动源以亚声速v运动，v<c

音波可传到扰动源上游；
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工程流体力学第5章
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3．扰动源以音速c运动，v=c
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工程流体力学第5章
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4．扰动源以超声速v运动，v>c，
Cv
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1 R, 1
Cp
1
R
3
工程流体力学第5章


4．焓和熵 比焓h的定义： p h e
比熵函数s（p, ρ,T）
dq 1 ds (de pdv) T T
e CvT , dv d ( ) 1 d


2
ds Cv
T0 1 2 1 Ma T 2

此外，如果流动等熵，则有
0 T0 ( ) T
1 1
(1
1
2
M )
1 2 1
p0 T 1 2 1 ( 0 ) 1 (1 M ) p T 2


对空气：
T0 T0 2.5 p0 T0 3.5 2 0 1 0.2Ma ， ( ) ， ( ) T T p T


求质量流量：
T 1 Qm uA 0 uA A( ) 2C p (T0 T ) 0 T0
1
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当容器内的气体参数To , p o, ρ0,固定时， Q m是T的函 数。现求最大值Qmax 。
dQm 2 Qm Qmax 时, 0 得T T （ ） T* 0 dT 1
2 u12 u2 1 (h1 )u1 A1 2 (h2 )u2 A2 2 2 1u1 A1 2u2 A2 2 u12 u2 h1 h2 2 2 u2 h 常 数 2
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u2 C pT 常 数 2
工程流体力学第5章
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例5.1 密封大容器内的空气，温度T0=300K，外 界大气的温度T=290K。求出口气流速度u。 解：空气Cp=1003J/kg· K，
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压强与面积的变化关系
p


c
dp d 0 p
2 dp d dv Ma dA Ma 2 p v Ma 2 1 A


亚音速流,面积增大(d A>0),则速度变小,压强 增大 超音速流,面积增大(d A>0),则速度变大,压强 减小
工程流体力学第5章 31
第五章 可压缩流体一元流动
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工程流体力学第5章
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5.1 势力学基本公式

1．状态方程：
p RT，pv RT

2．热力学第一定律：
dQ de pdv de pd ( )
1



3．比热容：使单位质量的气体温度升高1℃ 所需的热量。 等容比热容（加热过程中，体积不变）

能量方程的表达式为量：
dQ u2 u2 p (e )dV (e )vn dA dt t V 2 2
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工程流体力学第5章
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对于绝热ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定常流动，能量方程为：
u2 p (e )vn dA 0 2 A

对于气体在管道中的一元流动，能量方程表现 为：任意两个断面的能量通量相等。