历届北方数学奥林匹克试题

目录

2005年北方数学奥林匹克 (2)

2006年北方数学奥林匹克 (4)

2007年北方数学奥林匹克 (6)

2008年北方数学奥林匹克 (7)

2009年北方数学奥林匹克 (10)

2010年北方数学奥林匹克 (13)

2011年北方数学奥林匹克 (15)

2012年北方数学奥林匹克 (17)

2005年北方数学奥林匹克

1.AB是⊙O的一条弦，它的中点为M，过点M作一条非直径的弦

CD，过点C和D作⊙O的两条切线，分别与直线AB相交于P、Q

两点.求证：P A=QB.

（裘宗沪供题）

2.定义在R上的函数f(x)满足：

（1）f(0)=0;

（2）对任意xx∈(−∞,−1)∪(1,+∞)，都有f�1x�+f�1y�=f(x+y1+xy)；（3）当x∈(−1,0)时，都有f(x)>0.求证：f�119�+f�129�+⋯+ f�1n2+7n+11�>f(12)，其中n∈N+. （刘贵谭祖春供题）

3.在公差为d(d>0)的整数等差数列a1,a2,⋯,a3n(n≥2)中，任取n+2个数.证明：其中必存在两个数a i、a j(i≠j)，满足不等式1<�a i−a j�nn<2. （刘康宁安振平供题）

4.已知n位数的各位数字只能取集合{1,2,3,4,5}中的元素，设含有数字5且在5的前面不含3的n位数的个数为f(n).求f(n).

（蒋西明供题）5.如果三个正实数x、y、z满足

x2+xx+x2=254，x2+xy+y2=36，y2+yx+x2=1694.求xx+xy+yx的值. （张同君供题）

6.设0≤α、β、γ≤π2，ccc2α+ccc2β+ccc2γ=1.求证：

2≤（1+ccc2α）2cin4α+（1+ccc2β）2cin4β

+（1+ccc2γ）2cin4γ

≤(1+ccc2α)(1+ccc2β)(1+ccc2γ)（谭祖春供题）

2006年北方数学奥林匹克

1. 如图1，AB 为⊙O 的直径，非直径的弦CC ⊥AA ，E 是OC 的中点，连结AE 并延长交⊙O 于点P ，连结DP 交BC 于点F .求证：F 是BC 的中点.

图1

2. 设p 是大于2的质数，数列{a n }满足na n+1=(n +1)a n −(p 2)4.求

证：当a 1=5时，16|a 81. 3. 已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，且AC +AC =AA +AC .求∠A 的取值范围.

4. 设函数f (x )=x 2+ax +b (a 、b ∈R ).若存在实数m ，使得|f (m )|≤14，且|f (m +1)|≤14，求Δ=a 2−4b 的最大值和最小值.

5. 已知正数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：

a 2+92a 2+(b+c )2+

b 2+92b 2+(c+a )2+

c 2+9

2c 2+(a+b )2≤5. 6. 组委会说明试题有误.

7. 是否可以将正整数1,2,⋯,64分别填入8×8的64个方格 ，使得凡具备

“

”形的四个方格（方向课以任意转置）内的数之和都能被5

整除？

8. 已知数列{a n }满足a k+1=a k +12006a k 2，a 0=12，k ∈N .求证：A

1−12008

1.在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高.以AB为直径作圆交CE于M，在BD上取点N是AN=AM.证明：AN⊥CN.

2.设△ABC三边长分别为a、b、c，且a+b+c=

3.求f(a,b,c)=a2+ b2+c2+43abc的最小值.

3.在数列{a n}中，a n+1=a n2a n+1(n∈N).求证：当0≤n≤1004时，有[a n]=2007−n（其中[x]表示不超过x的最大整数）.

4.平面上每个点被染为n中颜色之一，同时满足：

（1）每种颜色的点都有无穷多个，且不全在同一条直线上；（2）至少有一条直线上所有的点恰为两种颜色.

求n的最小值，使得存在互不同色的4个点共圆.

5.设α,β∈(0,π2)，求A=(1−�tanα2tanβ2)2

cctα+cctβ的最大值.

6.已知f(x)=ll(x+1)−12lcl3x.

（1）解方程f(x)=0；

（2）求集合M={n|f(n2−214n−1998)≥0,n∈Z}.

7.设n是正整数，a=�√n�（其中[x]表示不超过x的最大整数），求同时满足下列条件的n的最大值：

（1）n不是完全平方数；（2）a3|n2

8.设△ABC的内切圆半径为1，三边长AC=a，CA=b，AA=c.若

a、b、c都是整数，求证：△AAC为直角三角形.

1. 如图1，⊙O 是梯形ABCD 的内切圆，切点分别为E 、F 、G 、H ，AB ∥CD .作BP ∥AD 交DC 的延长线于点P ，AO 的延长线交CP 于点Q .若AD =AD ，求证：∠CAQ =∠PAQ .

图1 （张利民 供题）

2. 已知∠A 、∠A 、∠C 是△AAC 的三个内角.证明：

tan A 2+tan B 2+tan C 2√3≥�tan 2A 2+tan 2A 2+tan 2C 26 （张 雷 供题）

3. 给定三角形数表如图2：

1 2 3 4 ⋯ 97 98 99 100 3 5 7 ⋯ 195 197 199 8 12 ⋯ 392 396 20 ⋯ 788 ⋱ ⋯ ⋰ ⋱ ⋰ M

图2

其中，第一行各数依次是1,2,⋯,100，从第二行起，每个数分别等于它上面一行左、右两数的和.求M 的值.

（焦和平 供题）