第5章 3.牛顿插值公式

Nn(x)
ai = f [ x0, …, xi ]
Rn(x)
N n ( x ) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x − x0 ) + f [ x0 , x1 , x 2 ]( x − x0 )( x − x1 ) + L + f [ x0 , x1 , L x n ]( x − x0 )( x − x1 )L ( x − x n )
f [ x0 , x1 , ... , xk ] − f [ x1 , ... , xk , xk +1 ] f [ x0 , ... , xk +1 ] = x 0 − x k +1 f [ x0 , ... , xk −1 , xk ] − f [ x0 , ... , xk −1 , xk +1 ] = x k − x k +1
称为n 称为n次牛顿基本插值公式
由唯一性， 由唯一性， Ln ( x ) = N n ( x ) 其余项也相同
1 f ( n+1) (ξ ) ∴ f [ x0 , x1 ,L x n , x ] = ( n + 1)!
易知
N n ( x ) = N n−1 ( x ) + f [ x0 , x1 , L x n ]( x − x0 )L( x − x n−1 )
显然
L2 ( x0 ) = y0 , L2 ( x1 ) = y1
L2 ( x 2 ) = y2 利用插值条件 y1 − y0 ( x 2 − x0 ) + a( x 2 − x0 )( x 2 − x1 ) ⇒ y 2 = y0 + x1 − x0 y2 − y0 y1 − y0 − x 2 − x0 x1 − x0 ⇒a= x 2 − x1
f ( xk ) =∑ k = 0 ( x k − x 0 ) L ( x k − x k −1 )( x k − x k + 1 ) L ( x k − x n )
∆
n
均差与结点的排列次序 无关
均差表
粗线框出的部分在计算机上可存入二维数组
xi x0 x1 x2 x3 x4 f(xk) f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) f(x0,x1 ) f(x1,x2 ) f(x2,x3 ) f(x3,x4 ) f(x0,x1,x2 ) f(x1,x2,x3 ) f(x2,x3,x4 ) 1阶 2阶 3阶 4阶
牛顿插值公式
邹昌文
问题的提出
以x0 , x1为插值结点的一阶插值 公式为 x − x0 x − x1 L1 ( x ) = y0 + y1 x0 − x1 x1 − x0
y1 − y0 ( x − x0 ) = y0 + x1 − x0
现考虑增加一个插值结 点x 2，且使原有项不变
可令
L2 ( x ) = L1 + a( x − x0 )( x − x1 )
注意：均差表中，对角线上的均差是构造牛顿型插值公式的重要数据。 注意：均差表中，对角线上的均差是构造牛顿型插值公式的重要数据。
已知函数y=f(x)的观测数据如表， y=f(x)的观测数据如表 例 已知函数y=f(x)的观测数据如表，试构造差商 并求f[2,4,5] f[2,4,5,6]的值 f[2,4,5]及 的值。 表，并求f[2,4,5]及f[2,4,5,6]的值。x 0 2 4 5 解
f ( x ) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x − x0 ) + f [ x0 , x1 , x2 ]( x − x0 )( x − x1 ) + ...
+ f [ x 0 , ... , x n ]( x − x 0 )...( x − x n −1 )
+ f [ x , x0 , ... , xn ]( x − x0 )...( x − xn−1 )( x − xn )
f[2,4,5]= -5
f[2,4,5,6]=5
牛顿基本插值公式
f ( x ) − f ( x0 ) 由 f [ x0 , x ] = x − x0
有f ( x ) = f ( x0 ) + f [ x0 , x ]( x − x0 )
f [ x 0 , x ] − f [ x 0 , x1 ] 又 f [ x 0 , x1 , x ] = x − x1
(1)
使满足 N n ( x i ) = f ( xi ),
i = 0,1,L n
(2)
为了得到计算系数ci的一般方法,下面引进一般 为了得到计算系数c 的一般方法, 均差的概念 的概念. 均差的概念.
均差/ 均差 divided difference/的定义 的定义
称 f ( x )的 n − 1阶均差 f [ x 0 , x1 ,L x n − 2 , x ]在结点 x n −1， x n 处的 阶均差， 均差为 f ( x )的 n阶均差，并记为 f [ x 0 , x1 ,L x n ], 即
同理有： 同理有： N 2 ( x ) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x − x0 ) + f [ x0 , x1 , x 2 ]( x − x0 )( x − x1 )
1 (3) f [ x0 , x1 , x 2 , x ] = f (ξ ) 3!
一般地 f ( x )在x0 , x1 , L x n为插值结点的 n次插值多项式为
N 1 ( x )的余项
R1 ( x ) = f ( x ) − N 1 ( x )
= f [ x0 , x1 , x ]( x − x0 )( x − x1 )
1 ( 2) = f (ξ )( x − x0 )( x − x1 ) 2!
1 ( 2) ⇒ f [ x0 , x1 , x ] = f (ξ ) 2!
将f [ x0 , x1 ]代入得
f ( x ) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x − x0 ) + f [ x0 , x1 , x ]( x − x0 )( x − x1 )
其中线性部分 N 1 ( x ) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x − x0 )
记为 f [ x0 , x1 ]
y2 − y0 y1 − y0 − x 2 − x0 x1 − x0 称为f ( x )关于x0 , x1 , x 2的二阶均差 x2 − x1
f [ x0 , x 2 ] − f [ x0 , x1 ] 记为 f [ x0 , x1 , x 2 ] = x 2 − x1
满足 N 1 ( x0 ) = f ( x0 ) f ( x1 ) − f ( x0 ) N 1 ( x1 ) = f ( x0 ) + ( x1 − x0 ) = f ( x1 ) x1 − x0
∴ N 1 ( x )为f ( x )以x0 , x1为插值结点的线性插值 函数
即N（x ) = L1 ( x ) 1
1 2
n−1 −
…………
f [ x, x0 , ... , xn−1 ] = f [ x0 , ... , xn ] + ( x − xn ) f [ x, x0 , ... , xn ] n−
1 + (x − x0) × 2 + … … + (x − x0)…(x − xn−1) × −
n−1 −
L
f [ x2 , x 3 , x4 ] =
f [ x3 , x4 ] − f [ x 2 , x3 ] x4 − x2 f [ x 2 , x3 , x4 ] − f [ x1 , x2 , x 3 ] x4 − x1
f [ x1 , x 2 , x3 , x4 ] =
f(x0,x1,x2,x3 ) f(x1,x2,x3,x4 )
xi 0 2 4 5 6
6 13
n=4, 构造差商表
f(xi ) 1阶 1 5 9 -4 13 2阶 3阶 4阶
f(x) 1
5
9
-4
5−1 2 2−0 = 2 2−2 9−5 =0 2 − 4029= 2 4 − 0− 2− 5 − 0 − 13 4 −− = −13 =− 0 = −1 −5 5 -54 5−2 5 − -13 -1 5 − ( −1) 15 ) =1 13 − ( −4) 17 − ( −13− ( −5) = 5 6−0 17 17 15 5 =5 6 − 4 61=215 − 6−
一般地构造以下基函数 求作n 问题 求作n次多项式 N n ( x )
N n ( x ) = c0 ⋅ 1 + c1 ( x − x0 ) + c2 ( x − x0 )( x − x1 ) + L + cn ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 )L ( x − xn −1 )
Nn ( x) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )(x − x1 ) + ... + an ( x − x0 )...(x − xn−1 )
f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f [ x, x0 ]
f [ x, x0 ] = f [ x0 , x1 ] + ( x − x1 ) f [ x, x0 , x1 ]
f(x0,x1,x2,x3,x4 )
┊
┊
┊Байду номын сангаас
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……
计算规律： 阶均差的数值等于一个分式的值， 计算规律：任一个k(≥1) 阶均差的数值等于一个分式的值，其 分子为所求均差左侧的数减去左上侧的数， 分子为所求均差左侧的数减去左上侧的数，分母为所求均差同一行 个基点值。 最左边的基点值减去由它往上数第k个基点值。
y2 − y0 y1 − y0 − y1 − y0 x 2 − x 0 x1 − x 0 ( x − x0 ) + ( x − x0 )( x − x1 ) ⇒ L2 = y0 + x1 − x0 x 2 − x1
其中
y1 − y 0 上的平均变化率， 为 f ( x )在[ x 0 , x1 ]上的平均变化率，称为 一阶均差 x1 − x 0