数字黑洞

安徽省芜湖县大闸中学
近年来，在各级各类数学竞赛或数学考试中屡屡出现一类所谓的“数字黑洞”
问题。

这类问题既有趣、又神秘，还很怪异，往往让人琢磨不透.而教辅杂志或
互联网上的相关文章大多数总是惊叹这些“数字黑洞”是如何的奇妙，如何的乖
巧，却对它们的内在奥秘闭口不提.即使是少数专业杂志上给出了严格的证明，
但一般也用到了较高深的数论知识，非普通读者可以轻松阅读.笔者经过仔细研
究，对一些常见于书报的“数字黑洞”得到了一些相对浅显的、变通的证明，目
的是想让更多的读者不光“知其然”，而且“知其所以然”.通过这些简易的证明，
足以让读者承认这些“数字黑洞”的真实存在，并且能够透视出真正操纵它们的
“幕后黑手”.下面，笔者就来给读者朋友们介绍几个著名的“数字黑洞”及其
简易证明.
问题1：（2003年青岛市中考数学试题） 探究数字“黑洞”：“黑洞”原指
非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再
“爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，
通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个
3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新
数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和，…，重复运算下去，
就能得到一个固定的数T ＝ ，我们称它为数字“黑洞”．T 为何具
有如此魔力？通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！
分析：如果我们先取18，首先我们得到5138133=+，然后是
153315333=++，接下去又是153，于是就陷在“153153−→−F ” （F 代表上述
的变换规则，下同）这个循环中了。

再举个例子，最开始的数取756，我们得到下面的序列：
1535131080792684756F −→−−→−−→−−→−−→−F F F F
这次复杂了一点，但是我们最终还是陷在“153153−→−
F ”这个循环中。

随便取一个其他的3的倍数的数，对它进行这一系列的变换，或迟或早，你总会掉
到“153153−→−
F ”这个“死循环”中，或者说，你总会得到153.于是我们可以猜想“黑洞”T ＝153. 现在要讨论的问题是：是否对于所有的符合条件的自然数
都是如此呢？
西方把153称作“圣经数”。

这个美妙的名称出自圣经《新约全书》约翰福
音第21章.其中写道：耶稣对他们说：“把刚才打的鱼拿几条来.” 西门· 彼得
就去把网拉到岸上.那网网满了大鱼，共一百五十三条；鱼虽这样多，网却没有
破.圣经数这一奇妙的性质是以色列人科恩发现的。

英国学者奥皮亚奈，对此作
出了证明.《美国数学月刊》对有关问题还进行了深入的探讨.
以下笔者给出一种中学生可以看得懂的验证方法.具体探究步骤是：
1. 设k x x x n 21=,当5≥k 时，有
()()()
k F x x x F n F k 3219999=≤= ＜k 310
又由指数函数的性质（上高中时会学到），可得，k ＜410-k ，所以 k 310＜
143101010--=⨯k k 即()()
k x x x F n F 21=＜110-k ，也就是对于5位以上的整数，每做一次变换它的数位都会减少若干位，所以经过有限次变换后其数位必然收缩到
五位以下.
2. 现在的问题归结为探讨4位及4位以下的整数n 的“黑洞”是否存在的
问题，于是问题就变得简单的多了.对于1位数和2位数我们可以很轻松地验证
不存在“黑洞”，而对于任意一个3位数或4位数，因为每个数的操作步骤的不
确定性和无法预测性，所以很难用一个纯粹的、数学的方法来证明它一定会掉进
“153153−→−F ”这个循环中，笔者也没有见到可以浅显地证明它的相关文章.
但是，因为我们所要验证的数字的个数是有限个，所需要进行的推算也应该是有
限步（如果不出意外的话），所以我们完全可以让计算机来完成这有限步的验算
工作.
对计算机编程感兴趣的读者可以自己动手（或向计算机老师请教）来编制一
个简单的程序：对所有4位数以内的3的倍数，即从3到9999这3333个自然数
进行一一验证，最后你会惊奇地发现，所有的3的倍数经过一系列的规定运算后
无一例外地都会掉进153这个数字“黑洞”之中.这也应该算是一个“人机联手”
的证明范例吧！
问题2：（西西弗斯串）任取一个自然数数串，例如35962，数出这数中的偶
数字个数、奇数字个数及所有数字的个数，就可得到2、3、5，用这3个数组成
下一个数字串235.对235重复上述程序，就会得到1、2、3，将数串123再重复
进行，仍得123.于是123就是一个数字黑洞.
分析：读者肯定会问，是否对于每一个数最后都能得到123呢？用一个大数
试试看。

例如：88883337777444992222，在这个数中偶数字、奇数字及全部数字
个数分别为11、9、20，将这3个数合起来得到11920，对11920这个数串重复
这个程序得到235，再重复这个程序得到123，于是便进入“黑洞”了.这就是的
数字黑洞“西西弗斯串”.它也是因为一个著名的古希腊神话而得名.
我国大多数数学爱好者最早了解这个数字黑洞，大概是得益于美国宾夕法尼
亚大学教授米歇尔∙埃克的《数学黑洞》一文，此文曾被连载在《参考消息》1993
年3月14日—17日的报纸上.然而遗憾的是，连这位著名的大数学家米老师也
不能给出一个让人信服的证明.但令人振奋的是，9年后的2002年，我国北京师
范大学附属中学的王雪琴老师却给出了一个巧妙的、简洁的证明.有兴趣的读者
可以去研读文[1].
问题3：（角谷猜想）任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，
如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1.在这样一个变换下，我们就得到了一
个新的自然数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数.或迟或早，你
总会掉到4→2→1这个循环中，或者说，你总会得到1.
分析：这个问题大约是在二十世纪五十年代被提出来的.在西方它常被称为
西拉古斯(Syracuse)猜想，因为据说这个问题首先是在美国的西拉古斯大学被研
究的；而在东方，这个问题由将它带到日本的日本数学家角谷静夫的名字命名，
被称作角谷猜想.
角谷静夫在谈到这个猜想的历史时讲：“一个月里，耶鲁大学的所有人都着
力于解决这个问题，毫无结果。

同样的事情好象也在芝加哥大学发生了.有人猜
想，这个问题是苏联克格勃（前苏联特工组织——作者注）的阴谋，目的是要阻
碍美国数学的发展。

不过我对克格勃有如此远大的数学眼光表示怀疑.这种形式
如此简单，解决起来却又如此困难的问题，实在是可遇而不可求.”
比如说我们先取5，首先我们得到3×5+1=16，然后是16÷2=8，接下去是4，
2和1，由1我们又得到4，于是我们就陷在4→2→1这个循环中了. 再举个例子，最开始的数取7，我们就会得到下面的序列：
7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1这次复杂
了一点，但是我们最终还是陷在4→2→1这个循环中.随便取一个其他的自然数，
对它进行这一系列的变换，或迟或早，你总会掉到4→2→1这个循环中，或者说，
你总会得到1.已经有人用计算机对所有小于100×250=112589990684262400的自
然数进行验算，无一例外.那么，是否对于所有的自然数都是如此呢？这看起来
是个多么简单的问题啊！但读者朋友们可千万别小看这个“简单”得连小学二、
三年级学生都能看懂的问题，要想证明它却是非常之难！二十多年前，有人向伟
大的匈牙利数论学家保尔·厄尔多斯(Paul Erdos)介绍了这个问题，并且问他怎
么看待现代数学对这个问题无能为力的现象，厄尔多斯回答说：“数学还没有准
备好来回答这样的问题.”
这种神奇的力量不知来自何方，是否可解释为一个很大的或很小的输入，最
终都能得到一个稳定的输出，使一个无限的宇宙缩小为一个可控制的有限的宇宙
呢.多么有趣的数字黑洞呀！
这里给读者提供一个QBASIC小程序，用来快速验证角谷猜想。

REM──验证角谷猜想──
INPUT “N=”；N
PRINT N；“→”；
40 IF N=1 THEN PRINT 1: END
IF N/2=INT(N/2) THEN N=N/2 ELSE
N=3*N+1
IF N>1 THEN PRINT N；“→”；:GOTO 40
RUN
问题4：（2004年全国初中数学联赛CASIO杯武汉选拔赛试题）重排任一个
三位数三个数位上的数字（三个数字不完全相同），得到一个最大的数和一个最
小的数，它们的差构成另一个三位数（允许百位数字为零）。

再重复以上过程，
问重复2003次后所得的数是多少？证明你的结论.
分析：例如103，310-013=297，972-279=693，963-369=594，
954-459=495.
再比如518，851-158=693，963-369=594，954-459=495.
这显然是一个三位数的数字“黑洞”问题，这个“黑洞”就是495.所以原
问题的答案是495. 简证：任取一个三位数()的数字到为、、90c b a abc n =，不妨设a ≤b ≤c.因为a 、b 、c 不完全相同，所以两个等号不可能同时取到.即1≤c-a ≤9.
∴ ()()
()()()a c c b a a b c abc cba abc F n F -=++-++=-==991010010100 ∴ ()=n F 099，198，297，396，495，594，693，792，891.
而 495495594693792891099F −→−−→−−→−−→−−→−−→−F F F F F 495594693792198−→−−→−−→−−→−F F F F
495594693297−→−−→−−→−F F F
495594396−→−−→−F F 证毕.
问题5：（卡布列卡猜想）印度数学家卡布列卡在研究数学问题时发现一个有趣的现象：用不完全相同的四个数字组成一个四位数，将组成这个四位数的四个数字重新排序，组成一个最大的数和一个最小的数，并用最大的数减去最小的数，对减得的差再重复上述操作，差如果不够四位数时，用零补位。

不断地做下去，最后变成了一个固定不变的数：6174.卡布列卡做过大量的试验，结果不论从任何满足条件的四位数开始，最后总能变成6174.因此，卡布列卡风趣地把6174叫做卡布列卡常数.
分析：例如，我们从4231开始，首先把4231重新排列成4321和1234，两数相减得3087；再把3087重新排列成8730和0378，两数相减得8352；再把8352重新排列成8532和2358，相减得6174；再把6174重新排列成7641和1467，两数相减仍然得6174.
4231：4321-1234=3087 3087：8730-0378=8352；
8352：8532-2358=6174； 6174：7641-1467=6174.
再比如对于3109，9310-0139=9171，9711-1179=8532，8532 - 2358 =6174。

而6174这个数也会变成 6174，7641-1467=6174.
这是一个四位数的数字“黑洞”问题，“黑洞”就是6174.
前苏联作家高基莫夫在其所著的《数学的敏感》一书中，曾把它列作“没有揭开的秘密”。

事实上，这里的证明方法完全类似于问题4的“简证”，只不过是讨论的情形多几种罢了.请读者自行证明，在此不再赘述.于是乎这个“卡布列卡猜想”在今天应该改名为“卡布列卡定理”了.
有时候“黑洞”并不仅仅只有一个数，而是有好几个数，它们像走马灯一样兜圈子，但又仿佛孙悟空跌进了如来佛的手掌心。

例如，对于五位数，已经发现了两个“圈”，它们分别是{63954，61974，82962，75933}与{62964，71973，83952，74943}。

有兴趣的读者不妨自己验证一下。

问题6：（神秘的9）对于任意一个两位以上的m 位自然数，如果重新任意排列这些数字，构成另一个m 位数，在这两个数中，用较大的数减去较小的数，得
到一个差，把差的各个数位上的数字加起来，如果是m 1位数，就再把它的m 1个数字加起来，如此下去，最后得到的总是9。

例如任取七位数1879314，如果重新排列这些数字，任意构成一个七位数（例如3714819），在这两个数中，用较大的数减去较小的数得到的差1835505，把差的各个数位上的数加起来，得到一个两位数，就再把它的两个数字加起来，最后得到的是9。

（如1+8+3+5+5+0+5=27，2+7=9）.
又比如取两位数37，73-37=36，3+6=9.
再比如取27位数111222333444555666777888999，有
999111222333444555666777888-111222333444555666777888999
=887888888888888888888888889，8×25+7+9=216，2+1+6=9.
怎么样，服不服？不服你再用别的数字试一试？！这里又有怎样的玄机呢？ 简证：为表达的方便，下面以五位数为例给出一种证明思路. 设abcde n =，任意重排数字后得到的一个数是cedba n =’.不妨设n ＞’n ，则 ()()a b d e c e d c b a cedba abcde x ++++-++++=-=1010010001000010100100010000e d c b a 9999099009909999---+=
()e d c b a 11110110011011119---+=
显然x 是9的倍数.令x 的数位上的数字之和是()x S ，则()x S 也是9的倍数. ∵x 最多是五位数，∴()，9=x S 18，27，36或45.
而上述5个数的数位上的数字之和都为9.
对于其他任意多位自然数的情形，证明思路完全相同，只是表达的不同而已.
最后笔者要指出的是，上面这些形式上很简单的问题，要想理解它们真的很容易，所以每一个数学爱好者都可以来碰碰运气，试试是不是能证明它.不过在这里要提醒大家的是，象角谷猜想这样的问题，已经有无数的数学家和数学爱好者尝试过，其中不乏天才和世界上第一流的数学家，但他们都没有成功.如果你想在几小时之内就找到一个漂亮的“证明”，那几乎是异想天开，“白日做梦”.也许有的读者会说，假如有一个很大的正整数，经过演算结果得不到1怎么办？那确实是一个了不起的发现，你就等于是把角谷猜想推翻了！不过，最好还是不要急于在这些问题上花太多的时间，只有现在打下良好、坚实的基础，才能向这样的数学高峰攀登，也才有可能获得成功.
参考文献：
1. 王雪琴.一个数串猜想的证明.中学数学教学参考，2002，（1、2）.
2. [美]米歇尔∙埃克. 数学黑洞. 参考消息，1993，（3月14日—17日）.
3. 陈星火. 用计算机在局部范围内验证数学猜想.中学生数学， 2001（11）.。