高中数学教案——球 第一课时

课题：9．11球(一)

教学目的：

⒈具体直观地了解球的定义以及球心、球的半径等概念；

⒉熟练掌握球的性质；会用球心与球的截面的关系r

⒊理解球面距离的概念，弄清地球的经度与纬度的概念，会球两点间的球面距离掌握计算球面上两点间的球面距离的方法．

教学重点：球的定义、性质．

教学难点：球面上两点间的距离的计算方法．

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

本节有两个知识点：球的有关概念、性质和球的体积、表面积本章通过“分割，求近似和，化为准确和”的方法，即运用“化整为零，又积零为整”的极

限思想，对于球的体积和表面积公式进行了推导，这种处理方法与原《立体几何》(必修本)有较大变化教学中对这两公式的推导，只要求了解其基本思想方法即可，重点在于掌握公式本身；而不必要求学生一定要掌握公式推导的细节教学过程：

一、复习引入：

出示一些实物，如篮球、足球、乒乓球等说明球的形象，那么到底什么样的几何体是球呢？

二、讲解新课：

1 球的概念：

与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，

简称球定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长

的点的集合叫做球面

表示，例如球O．

2．球的截面：

用一平面α去截一个球O，设OO'是平面α的垂线段，

O'为垂足，且OO d

'=，则它们的交线上的任一点P

，

是一个定值，这说明交线是到定点O'距离等于

的点的集合所以，一个平面截一个球面，

所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，

以

r=为半径的一个圆，截面是一个圆面

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆

3．经度、纬度：

经线：球面上从北极到南极的半个大圆；

纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆； 经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与

0经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数；

纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数

4．两点的球面距离：

球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离

5．两点的球面距离公式： AB R θ=（其中R 为球半径，θ为A,B 所对应的球心角的弧度数） 三、讲解范例：

例1 我国首都靠近北纬40纬线，求北纬40纬线的长度等于多少km ？（地

球半径大约为6370km ）

解：如图，A 是北纬40上一点，AK 是它的半径， ∴OK AK ⊥，

设C 是北纬40的纬线长， ∵40AOB OAK ∠=∠=，

∴22cos 2cos 40C AK OA OAK OA πππ=⋅=⋅⋅∠=⋅⋅

42 3.1463700.7660 3.06610()km ≈⨯⨯⨯≈⨯

答：北纬40纬线长约等于4

3.06610km ⨯．

例2．在半径为13cm 的球面上有,,A B C 三点，12AB BC AC cm ===，求球心到经过这三点的截面的距离

解：设经过,,A B C 三点的截面为⊙

O '， 设球心为O ，连结OO '，则OO '⊥平面ABC ，

∵2

1223

AO '=

⨯=11OO '==

，所以，球心到截面距离为11cm ．

例3．在北纬45圈上有,A B 两点，设该纬度圈上,A B

R （R 为地球半径），求,A B 两点间的球面距离

解：设北纬45圈的半径为r

，则r =，设O '

为北纬45

圈的圆心，AOB α'∠=

，

∴r R α=

R α=， ∴2

π

α=

，∴AB R ==，

∴ABC ∆中，3

AOB π

∠=

，

所以，,A B 两点的球面距离等于

3

R π

．

说明：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球

心角，进而求出这两点的球面距离 四、课堂练习：

1①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．

②球半径为25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面面积为 ．

③已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是 ．

④球O 直径为4，,A B 为球面上的两点且AB =,A B 两点的球面距离

为 ．

⑤北纬60圈上,M N 两地，它们在纬度圈上的弧长是2

R

π（R 为地球半径），

则这两地间的球面距离为 ．

答案：①一个或无数个 ②2

49m ③3 ④

43π ⑤ 3

π

2．北纬45圈上有,A B 两地，A 在东径120，B 在西径150，设地球半径为

R ，,A B 两地球面距离为 ；

答案：

3

R π

3．一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为cm π，则球半径为 ； 答案：3cm

4.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________． 分析：求A 、B 两点间的球面距离，就是求过球心和点A 、B 的大圆的劣弧长，因而应先求出弦AB 的长，所以要先求出A 、B 两点所在纬度圈的半径． 解：连结AB ．设地球球心为O ，北纬45°圈中心为O 1，则 O 1O ⊥O 1A ，O 1O ⊥O 1B ．

∴

45

11=∠=∠=∠AOC BO O AO O ． ∴ O 1A ＝O 1B ＝O 1O ＝

45cos ⋅OA ＝

R 2

2

． ∴ 两点间的纬线的长为：

R R 4

2222

=⋅

π

．

∵ A 、B 两点的经度相差90°， ∴

901=∠B AO ． 在B AO Rt 1△中，R AO AB ==

12，

∴ OB AB OA ==，3

π

=∠AOB ．

∴ 两点间的球面距离是：

R 3

π

．