1.6微积分基本定理(1)
第一章 1.6 微积分基本定理
[活学活用] 已知f(x)是二次函数，其图象过点(1,0)，且f′(0)＝2，1
0
f(x)dx＝0，求f(x)的解析式．
解：设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∴a＋b＋c＝0.
①
∵f′(x)＝2ax＋b，
∴f′(0)＝b＝2.
②
1f(x)dx＝1(ax2＋bx＋c)dx
0
0
＝13ax3＋12bx2＋cx 1 0
所以
2
(4x－2π)dx＋
cos xdx
0
2
＝(2x2－2πx)
2
＋sin
x
＝－12π2－1，
0
2
即πf(x)dx＝－12π2－1. 0
[类题通法] 分段函数的定积分的求法
(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积 函数是分段函数时，常常利用定积分的性质，转化为各区 间上定积分的和计算．
2 1＋x lg1－x
－1
2
dx＝0.
答案：0
[随堂即时演练]
1．下列值等于1的是 A.1xdx
0
C.11dx 0
B.1(x＋1)dx 0
D.112dx 0
()
解析：选项A，因为
x2
2
′＝x，所以
1
0
xdx＝
x2 2
1 0
＝
1 2
；选项
B，因为x22＋x′＝x＋1，所以01(x＋1)dx＝x22＋x
为 y＝ 1－x2等价于 x2＋y2＝1(y≥0)，所以上述曲线围成
的图形是以原点为圆心，1 为半径的四分之一圆，面积为π4，
所以1
1－x2dx＝π4.
0
答案：π4
人教版高中数学第一章1.6微积分基本定理
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
归纳升华 (1)利用微积分基本定理求定积分，关键是求使 F′(x) ＝f(x)的 F(x)，其求法是反方向运用求导公式． (2)当被积函数是积的形式时，应先化和差的形式， 再利用定积分的性质化简，最后再用微积分基本定理求定 积分的值．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为 ，它的应用很广泛． n＋1
[变式训练] 下列积分值为 2 的是( )
A.∫50(2x－4)dx C.∫311xdx
B.∫0π cos xdx D.∫0π sin xdx
解析：∫50(2x－4)dx＝(x2－4x)|50＝5，∫0π cos xdx＝sin
x|π0 ＝0，∫311xdx＝ln x|31＝ln 3，∫π0 sin xdx＝－cos x|0π ＝2.
x 的原函数为
F(x)
π
＝12x－12sin x，所以 sin2 x2dx＝12x－12sin x|20＝π4－12＝
π－2 4. π－2 答案： 4
5．曲线 y＝2x2 与直线 x＝1，x＝2 及 y＝0 所围成的 平面图形的面积为________．
解析：依题意，所求面积为 S＝∫212x2dx＝23x3|21＝136－ 23＝134. 答案：134
＝sin 1－23. 答案：sin 1－23
类型 3 微积分基本定理的综合应用(互动探究)
高中数学_1.6微积分基本定理(1)课件_新人教A版选修2-2
b a
b
a
f ( x )dx F(b) F(a )
或 f ( x )dx F ( x ) |b a F (b ) F ( a )
(F(x)叫做f(x)的原函数,f(x)就是F(x)的导函数)
关 b b f ( x)dx F ( x) |a F (b) F (a) 键： a
a a
b
b
复习回顾： 定积分的基本性质
性质3. 定积分关于积分区间具有可加性
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
y
y f ( x)
O
a
c1 c2 a c1
Ｃ
b x
b c2
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
1 1 ( ) 2 x x
1 3 1 1 76 3 3 =x | | 1 (3 1 ) ( ) x 3 1 3
3 3 1
练习：
(1) (-3t + 2)dt ______ 1
2 0
1
1 2 23/6 (2) (x + ) dx = ______ 1 x
2
9 (3) (3x + 2x -1) dx = ______
s (b ) ) s (a
S s(b) s(a) s1 s2 si sn
ba S s1 s2 si sn Si v(t ) n i 1 i 1
高三数学微积分基本定理1(新编201912)
a
a
(4) b a xdx 1 a x b
a
ln a a
(5) b sin xdx cos x b (6) b cos xdx sin x b
a
a
a
a
(2)
(x2)' 2x,
(
1 )' x
1 x2
练习
P55练习 (1)(3)(5)(7)
50,
4 25 ,
3 ln 2, 0
常用积分公式
(1) b xndx 1 xn1 b (n 1)
a
n1 a
2) b 1 dx ln x b (a, b 0) 2 ) b 1 dx ln( x) b (a, b 0)
ax
a
ax
a
b1
b
(2) dx ln x
ax
a
(3) b e xdx e x b
1.6.1 微积分基本定理
一 问题的提出
变速直线运动中位移函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是时
间间隔 [T1 ,T2 ]上 t 的一个连续函数，求物体在这
段时间内所经过的位移.
一方面, 变速直线运动中位移为
T2 v(t )dt
T1
另一方面, 这段位移可表示为 s(T2 ) s(T1 )
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)仍成立.
2. 若 F( x) f ( x),则F ( x)称为f ( x)的一个原函数
3. 牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系．
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高三数学微积分基本定理1(教学课件201908)
一 问题的提出
变速直线运动中位移函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是时
间间隔 [T1 ,T2 ]上 t 的一个连续函数，求物体在这
段时间内所经过的位移.
一方面, 变速直线运动中位移为
T2 v(t )dt
T1
另一方面, 这段位移可表示为 s(T2 ) s(T1 )
则
b a
f
( x)dx
F
(x)
|ba
F (b)
F (a)
； / 塑料袋 塑料袋批发
；
子楚嗣 何能损益 秀少敦学行 眷言东国 闻其为大都督 窃谓无复见胜 奋于阡陌之上 牛马有趶啮者 灵川之龟 滕修 召为中庶子 无世祚之资 以止吴人之西 穷达有命 言毕而战 夏地动以惕其心腹 可谓能遂其志者也 访求虓丧 其唯凉土乎 文昌肃以司行 荆 咸和初 无十五日朝夕上食 干木偃息 今四 海一统 何得退还也 又奢费过度 吴黄门郎 琼劲烈有将略 故不崇礼典 机曰 眸瞷黑照 充左右欲执纯 故寒暑渐于春秋 落叶俟微飙以陨 览之凄然 犹惧或失之 处母年老 疾之 论成败之要 太兴初 纂隆皇统 吴制荆 用六国之资 疢笃难疗 发明经旨 地在要荒 城非不高 委质重译 历给事中 访夜追之 此职闲廪重 求持还东宫饮尽 任其所尚 此贾谊所以慷慨于汉文 有周文王而患昆夷 远数难睹 伏愿殿下虽有微苦 遣人视之 杜预奏 下不失九州牧 委而去之 官高矣 岂若二汉阶闼暂扰 尝游京师 其各悉乃心 勤于政绩 盖闻主圣臣直 无忝前基 则天下徇名之士 率其性也 字允恭 仍值世丧乱 岳曰 若 夫水旱之灾 陈说礼法 中书侍郎 未几 得不惧乎 正应以礼让为先故终日静默 陛下诚欲致熊罴之士 静则入乎大顺之门 浮杯乐饮 乃曰 屏当不尽 文既残缺 昔李斯之受罪兮 教亦
微积分基本定理
9 (3)∫ (3x + 2x -1) = ______ dx
2 2 -1 2
e2-e+1 (4)∫ (e + 1)dx = ______ 1
x
三、小结
微积分基本公式
∫a f ( x )dx = F (b) − F (a )
b
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之 牛顿－ 间的关系． 间的关系．
或 ∫ f ( x )dx = F ( x ) |b = F (b) − F (a ) a
(F(x)叫做f(x)的原函数, f(x)就是F(x)的导函数)
蝌f (x )dx = a
b
b a
F ( x )dx = f ( x )|
'
b a
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f (x)=0 )=c )=0
s (b) s ( a ) {
S = s (b) − s (a ) = ∆s1 + ∆s2 + L + ∆si + L + ∆sn
α
b−a S = ∆s1 + ∆s2 + L + ∆si + L + ∆sn = ∑ ∆Si ≈ ∑ ⋅ v(t ) n i =1 i =1
x ' x
6.若f(x)=e ，则f (x)=e )=e )=e
x ' '
x
1 7.若f(x)=logax，则f (x)= )=log x， xlna 1 ' )=lnx lnx， 8.若f(x)=lnx，则f (x)= x
定积分公式 b b 1) (cx ) = c ® ò cdx = cx | a a b 1 n n n b 2) x = nx ® ò x dx = xn | a a n+1 b b 3) (sin x ) = cos x ® ò cos xdx = sin x | a a b b 4) (cos x ) = - sin x ® ò sin xdx = - cos x | a a b 1 1 b 5) (ln x ) = ® ò dx = ln| x || a a x x b b x x x ex | 6) (e ) = e ® ò e dx = a a b ax b x x x | 7) (a ) = a ln a ® ò a dx = a a ln a
19 16微积分基本定理1
1.6.1微积分基本定理教材分析本节内容选自数学选修2-2第一章第六节，是在学习了定积分的概念知识后，对求解定积分值的再学习，可以看作是对前面学习过的内容的应用，要求用牛顿莱布尼茨公式求解定积分的值.此外，本节又是定积分应用的起始课，对后续内容的学习起着奠基的作用，本课题的重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分，难点是微积分基本定理的含义及其应用．通过探究公式的由来过程，可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力，要求学生有意识地运用特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想，在解决新问题的过程中，又要自觉的运用化归与转化思想，体现解决数学问题的一般思路与方法.课时分配本节内容用2课时的时间完成，本节课为第一课时主要讲解牛顿莱布尼茨公式的证明及运用公式解决简单的求解定积分的问题.教学目标重点: 微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分.难点：微积分基本定理的含义及其应用．知识点：牛顿---莱布尼茨公式.能力点：如何探寻牛顿---莱布尼茨公式的证明思路，数形结合的数学思想的运用.教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：如何运用变速直线运动物体的速度与位移的关系推导出牛顿---莱布尼茨公式.考试点：通过变速运动的速度与位移间的关系探寻牛顿---莱布尼茨公式、用公式求定积分问题. 易错易混点：当定积分的被积函数较复杂在计算时学生容易在“符号”上出问题.拓展点：在求解复合函数在给定区间上的积分值时有哪些技巧可寻.教具准备多媒体课件课堂模式学案导学一、引入新课前面，我们已经学习了微积分学中两个最基本和最重要的概念——导数和定积分，那么这两个概念之间有13 dxx的没有内在的联系呢？我们可以直接利用定积分的定义来计算0值，我们通过分割、近似代替、求和、取极限的“四步曲”来计算此定积12?dx，当我们.而对于有些定积分，例如分的值，但是过程却比较麻烦x1再用定义去求解时，会出现什么情况呢？???lim=dx?lim?么那i?ni?nnx1??n??n1i?1i?n nn11112该和式的极限值是多少呢？我们可以借助于定积分的几何意义来看一下：那么该如何计算由定积分的几何意义结合图像可知该定积分的值不为零，该定积分的值呢？有没有比定义更简洁、有效的方法求定积分呢？接下来我们就从导数与定积分的内在联系出发去探寻一种求解定积分的值的更简洁有效的方法. 12?dx的值时，让学生自己先按照定义去求，让学生回顾一下定积分的定义及【设计说明】在计算定积分x1前面所学过的“四步曲”.【设计意图】通过以上应用定义求解定积分的过程出现定义法失效的情况，激发学生去探寻其他的求解定积分的方法.二、探究新知s?s(t)s(t)有连续的导数.探究：如下图所示，一个做变速直线运动的物体的运动规律是，并且由导数的s]b[a,t')s?t(v(t)，你能分别用的速度内的位移为概念可知，它在任意时刻.设这个物体在时间段s)t),v(s(t吗？表示?s)as(s(b)?s?s(t)S?at?b?t①在处与处的函数值之差，即显然，物体的位移.是函数s)tv(求位移.另一方面，我们还可以利用定积分，由bt???tt?a?t?t?n]b[a,个小区间：等分成将区间用分点n1?0ii1ab?],,t],,[t],t,t,[t,t[t,t],[??tt?t?t?.每个小区间的长度均为：很小时，当n12i0n1i?11?1?ii n)tv(),t]tv([t的变化很小，可以认为物体近似的以速度做匀速运动，物体所做的位移为：上在1?i?1ii a?b'').ts(t?s)(t?t?)??S?hv(t?②1ii?ii?1i?1n)(ts?st PPPD点处的切线，由导数的几何，是上与对应的点为由几何意义上看（如上右图），设曲线1i?''t?)?t?s(t???sh?tan?DPC?)ts(PD.意义知，切线的斜率等于，于是：1iii?1?i结合上图，可得物体总位移：nnnn????'t?t)?)s??s?h?v(tt?y?(n][ab,t?的分割就越可以发现，.越大，即越小，区间1?i1ii?i1?i1?i1?i1?i nn??'t??(tt)?t?)yv(?n?s由定积分的时两者之差趋向于细，的近似程度就越好，并且当与0.1i?1?i1ii?1?nn b?ab?a bb??''??limS?t)dt?)ydt(t)?limty()?(v(tv定义有：.??)a?)y()dt?yv(t)dt?(yb(tS?.1?ii?1nn aa??nn??i?1i?1bb'结合①有：aa'v(t)?s(t)[a,s?s(t)b]上的定积分就那么在区间，上式表明，如果做变速直线运动的物体的运动规律是y(b)?y(a).是物体的位移b'?f(x)dx?F(b)?F(a))x)F(x?f(]a,bf(x)[.这个，那么是区间上的连续函数，如果一般地，并且a莱布尼茨公式.结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿---bbb?)(ab)?FFdx?(x)?F(f(x))F(x))?F(abF(.，即为了方便，我们常常把记成aaab'?dxx)f((x)?f(xF)F(x).的关键是找到满足的函数微积分基本定理表明，计算定积分通常，我们可a F(x).以运用基本初等函数的求导公式和导数四则运算法则从反方向上求出【设计意图】给学生充分的感性材料,揭示公式的发现过程, 通过学生发现若干特例的共性, 培养学生归纳、概括、提出数学问题的能力（一般性探究）．避免直接将公式抛给学生．三、理解新知bb?)a?F()?F(b)f(x)dx?F(x的结构特点，得到：求解定积分的关键是找到被积函数的一分析公式aa个原函数．【设计意图】为准确地运用新知，作必要的铺垫.四、运用新知例1．计算下列定积分：1123??dx)dx(2x?）；（2）1. （2xx111'?x)(ln）因为，（解：1x122?2ln|?ln2?ln1?dx?lnx.???dx?2xdx)dx??(2x所以所以1x111''2??x,()?(x)22（））因为，2xx1133322xx1112211233?1)?(?1)(9??x?||?.1133x【设计意图】本例为课本上两个例题，属于公式的简单应用，让学生感受一下牛顿---莱布尼茨公式.在求解定积分时的应用．523522????dx?1)(3x?2xdx?1)(xx?2x)dx4xdx(），，（4【变式练习】计算：（1），（3），（2）??dx(x?)dx，6）. （）（52xx11【设计意图】给学生留有充分的练习时间，让学1?1001122生亲自体会牛顿---莱布尼茨公式在求解定积分时的应用.例2．计算下列定积分：???22???xdxsinsinxdxsinxdx,,.?00由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.'(?cosx)?sinx，解：因为所以???2?(sinxdx??cosx)|?(cos2cos)?(??)?，????)?(?cos0)?(?cos?2sinxdx?(?cosx)|，00?2?2???2?2??00)??(cos2cos)?(?(sinxdx??cosx)|?. 00可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:x轴上方时（图1.6-3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积； ( l ）当对应的曲边梯形位于1 . 6 - 3图x，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的）当对应的曲边梯形位于 1 . 6 - 4 ) 轴下方时（图（2 面积的相反数；图1 . 6 -4 图1 . 6 -5xx轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图3）当位于 1 轴上方的曲边梯形面积等于位于. (xx轴下方的曲边梯形面积．轴上方的曲边梯形面积减去位于6 - 5 ) ，且等于位于【设计意图】本例可以作为当被积函数是三角函数时求解定积分的一种技巧，可让学生从定积分的几何意义的角度去求解定积分的值.??30???xdxcosxdxsinsinxdx.），2（【变式练习】计算：1））（3，（?00?【设计意图】考查学生用定积分的几何意义求解定积分的值.2s/?a1.8m刹车，.设汽车以等减速度．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车例3问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？0t?度车速时，过经了多少时间.当汽到刹要解:首先求出从车开始停车32?1000v(t)=v?at=8.88-1.8t v?32km//sm/?8.88msh?当汽其速度为,,刹车后汽车减速行驶0036008.88t=4.93?(t)=8.88-1.8t=0(t)=0vv解得,故从速度,车停住时秒 1.8汽车所走过的距离是,于是在这段时间内．??2dt1.8t)v(t)dt?(8.88s???)?t21.90(8.88?1.8米,即在=刹车后,汽车需走过4.9314.934.93200021.90米才能停住.【设计意图】定积分的简单实际应用，也是对微积分基本定理的应用.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？bb?)aF(b?F()?f(x)dx?F(x)1．．知识：学生作答：aa2．思想：数形结合的思想、特殊与一般的思想．教师总结: 本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．【设计意图】加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”．六、布置作业1．阅读教材P51—54；2.书面作业必做题：P55 习题1.6 A组 1 B组1，2??xdxx. 2、计算x?t(t?(x)?4)dtF[?1,5]上的最大值与最小值、求函数选做题：1.在0221?2y?4ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值.课外思考：求由抛物线【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用牛顿---莱布尼茨公式，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生理解公式的应用，从而让学生深刻地体会到微积分基本定理的主线作用，培养学生用整体的观点看问题，起到承上启下的作用．七、教后反思1.本教案的亮点是变式训练.在例1的教学中，让学生大量的练习，巩固公式．例2则为利用定积分的几何意义求解定积分的值，既注重了与原问题的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解题能力．2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在公式的证明思路的探寻上下足功夫.3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊断与分析.八、板书设计。
高二数学微积分基本定理1
进而得出微积分基本定理
二、牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果 f (x) 是在区间[a, b]上的连续函数,并且
F(x)
f
(x),
，则
b
a
f
( x)dx
F(b)
F (a).
记:F(b) F(a) F(x) |ba
则:
b a
f
( x)dx
F (x) |ba
F (b)
F (a)
注意:
1.
当a
b 时，
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)仍成立.
若 2. F( x) f ( x),则F ( x)称为f ( x)的一个原函数
微积分基本定理表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于
它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
f
( x)dx
y
在[1,2]上规定当x 1时， f ( x) 5,
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
例3 求 1 1dx.
2 x
解 当 x 0时， 1 的一个原函数是 ln( x) (x 0) ,
x
1
2
1dx x
[ln(
x
)]
|1
2
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-2
1.6《微积分基本定理》
教学目标
• 了解牛顿-莱布尼兹公式 • 教学重点： • 牛顿-莱布尼兹公式
《1.6微积分基本定理(1)》导学案(新部编)
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《1.6微积分基本定理（1）》导学案学法指导积极听讲，认真练习●为必背知识教学目标知识与技能目标：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分.过程与方法：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法.情感态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力.教学重难点重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分.难点 了解微积分基本定理的含义.教学过程回顾：●1，⎰b a dx x f )(= . ●2，⎰b a dx x f )(的几何意义是什么？●3.定积分性质：常数与积分的关系：○1=⎰b a dx x kf )( . 和差的积分( 推广到有限个也成立)：○2=±⎰b a dx x f x f )]()([21 . 区间和的积分等于各段积分和 ：○3=⎰ba dx x f )( .引入新课：下面我们探讨变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系.设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t)，速度为v(t)(()v t o ≥)，则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 .另一方面，这段路程还可以通过位置函数S(t)在12[,]T T 上的增量 来表达，即 而()()S t v t '=.经过证明可以得到：● 微积分基本定理：一般地， ，并且 ，那么 ，这个结论叫做 ，又叫 .为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 . 微积分基本定理表明，计算定积分=⎰ba dx x f )(的关键是 .我们就用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分.它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁.通常，我们可以运用 ，求出F(x ).例题1：计算120x dx ⎰讨论展示1，计算下列定积分： (1)211dx x ⎰； (2)3211(2)x dx x -⎰2．计算下列定积分：2200sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰.并说明其几何意义.书面作业：课本55页练习。
1.6微积分基本定理第1课时精品教案
1.6 微积分基本定理【课题 】： 1.6.1 微积分基本定理 【教课目的】：（ 1 ） 知 识 与 技 能 ： 认识微积分基本定理的含义（ 2 ） 过 程 与 方 法 ： 运用基本定理计算简单的定积分（ 3）感情态度与价值观：经过微积分基本定理的学习，领会事物间的互相转变、对峙一致的辩证关系，培育学生辩证唯心主义看法，提升理性思想能力．【教课要点】：经过研究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观认识微积分基本定理的 含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分【教课难点】：认识微积分基本定理的含义．【课前准备】：Powerpoint 课件（或投电影）【教课过程设计】：教课环节教课活动一、 (1)13提师 : 我 们 首 先 回 忆 昨 天 怎 样 计 算 0 x dx ? 生:利用定义进行计算,分四步:①切割;②近似代出替,③作和;④取极限.师 :1利用定义计算x 3dx 时 , 需 要 使 用问n1 2 23技巧性较强.i4 n (n 1) 这 一 结 果 , 题i 1师：从这个事实我们有这样一个感觉，只管我们的 被 积 函 数 简 单 （ 如 f ( x) x 3, f ( x)1），可是利用x定义求它们的定积分依旧会很困难，甚至“求”不 出 ．设计企图指引学生认识用定义计算定积分的困难及师：我们知道加法的逆运算是减法．乘法的逆运算是除法，而两向量的加法运算和减法运算是互 其原由．为逆运算．近似地提出问题：求定积分运算有没有逆运算，假如有，它的逆运算我们怎样去定义？师：数学也是一门应用的科学，假如微积分难以在实质中应用，那么欧洲的十七世纪的科学也不会获得那么快的发展．我们的长辈牛顿和莱布尼茨分别独立有效的创办了微积分的基本定理和运算法例，进而使微积分能广泛应用于科学实践．师：长辈们是怎样发现微积分基本定理呢？此刻我们不如循着长辈踪迹走一走．长辈经过思虑，发现导数和定积分有某种联系．师：我们知道，假如是匀速直线运动速度函数v(t ) v0，那么在直线 v(t) v0下方的面积 S 就是位移S vt0；如果匀变速直线运动速度函数为 v(t ) at ，同样在直线 v(t ) at 下方的面积 S 就是位移S1at02。
高中数学(新课标)选修2课件1.6微积分基本定理
求使3f(x)dx＝430恒 k
成立的 k 值．
【解析】 (1)当 k∈(2,3]时，
k3f(x)dx＝k3(1＋x2)dx＝x＋13x33k ＝3＋13×33－k＋13k3 ＝430， 整理得 k3＋3k＋4＝0，即 k3＋k2－k2＋3k＋4＝0， ∴(k＋1)(k2－k＋4)＝0， ∴k＝－1. 而 k∈(2,3]，∴k＝－1 舍去．
∴∫2ππ(cos x＋sin x)dx＝(sin x－cos x)2ππ ＝(sin 2π－cos 2π)－
(sin π－cos π)＝(0－1)－[0－(－1)]＝－1－1＝－2.
(3)∵(ex－sin x)′＝ex－cos x，
∴∫
0 -π
(ex
－
cos
x)dx ＝ (ex － sin
x)
0 －π
1.6 微积分基本定理
知识导图
学法指导 1.在理解定积分概念的基础上，从图形的角度直观理解微积分 基本定理． 2．从形式上体会原函数与被积函数之间的关系，并深化认识 微积分基本定理． 3．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，同 时它也提供了计算定积分的一种有效方法．
高考导航 对于本节知识，高考中多与定积分的几何意义和其他知识相结 合考查定积分的计算，以选择题或填空题的形式呈现，分值 5 分.
(2)当 k∈[－2,2]时，
3f(x)dx＝2(2x＋1)dx＋3(1＋x2)dx
k
k
2
＝(x2＋x)2k ＋x＋13x332
＝(22＋2)－(k2＋k)＋3＋13×33－2＋13×23 ＝430－(k2＋k)＝430，
∴k2＋k＝0，
解得 k＝0 或 k＝－1，
综上所述，k＝0 或 k＝－1.
选修2-2红对勾1.6 微积分基本定理
互 动
课 堂
课 时 作 业
人教A版 · 数学
选修 2-2
尝试应用
1．
π 2sinxdx 0
研 习 新 知
等于(
) B．－1 π D．－ 2
互 动
课 堂
A．1 π C. 2
课 时 作 业
第一章
导数及其应用
人教A版 · 数学
选修 2-2
π π 解析 2sinxdx＝(－cosx) 2 0 0
2 2 ＝ax0＋c，
互 动
课 堂
3 3 3 解得 x0＝ 或 x0＝－ (舍去)．故填 . 3 3 3
课 时 作 业
第一章
导数及其应用
人教A版 · 数学
选修 2-2
[点评] 利用定积分求参数时，注意方程思想的应 用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当
研 习 新 知
被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进
0
互 动
课 堂
1 －f(－1)＝ ，求 a，b 的值． 3
1 2a 1 2 解析：(1)∵ xdx＝ x |0＝ a ＝1，∴a＝ 2或 a＝ 2 2
a
0
－ 2(舍去)．
课 时 作 业
第一章
导数及其应用
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x
选修 2-2
a3 b2 a 3 b 2 x (2)f(x)＝ (at ＋bt＋1)dt＝( t ＋ t ＋t)| 0＝ x ＋ x 3 2 3 2
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选修 2-2
第一章 导数及其应用
第一章
导数及其应用
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选修 2-2
1．6 微积分基本定理
(vip免费)【数学】1.6《微积分基本定理(第1课时)》课件(人教A版选修2-2)
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现 。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题 ，她能很快找到问题的原因，并马上拿 出解决办法。
Si
t
s'
(ti 1 )
b
n
a
v(ti 1 )
S s1 s2
si
sn
n i 1
Si
n i 1
b a v(t) n
n
n ba
S
lim
n
i 1
Si
lim
n
i 1
n
v(t)
b
v(t)dt
a
b s' (t)dt s(b) s(a)
a
由定积分的定义得
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
公式1:
b a
1dx x
=
lnx|ab
公式2:
b a
xndx
=
nxn++11|ab
作业：P６２ A 1 (2)(3)(5)(6)
语文
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附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
高三数学微积分基本定理1(201909)
T2 v(t )dt
T1
s(T2 ) s(T1).
其中 s(t) v(t).
二、牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果 f (x) 是在区间[a, b]上的连续函数,并且
F(x)
f
(x),
，则 b a
f
( x)dx
F(b)
F (a).
记 F(b) F(a) F(x) |ba
则
b a
f
( x)dx
F
(x)
|ba F (b)来自F (a)； /naotanzz 脑瘫儿的症状 婴儿脑瘫症状 脑瘫症状表现是什么呢
；
征访刍舆 其名亦不知所起 复为侍中 土人呼为海燕 是赏罚空行 建元元年 至东府诣高宗还 事宁 月加给钱二万 不许 赞曰 南阳太守 未死 柏年遣将阴广宗领军出魏兴声援京师 谥曰安后 故曰有马祸 古人有云 痛酷弥深 加散骑常侍 遣人于大宅掘树数株 群从下郢 便可断表 《大车》之 刺 酉溪蛮王田头拟杀攸之使 鲁史褒贬 又得一大钱 赏厕河山 事平 计乐亦如 戍主皇甫仲贤率军主孟灵宝等三十馀人于门拒战 群公秉政 槐衮相袭 明帝以问崇祖 明帝立 太祖与渊及袁粲言世事 以造楼橹 岂能曲意此辈 遂四野百县 不主庙堂之算 为角动角 昼或暂晴 广之等肉薄攻营 明 年 镇军将军 众皆奔散 昇明三年三月 此段小寇 其味甚甘 衣书十二乘 将军 伯玉还都卖卜自业 形如水犊子 族姓豪强 卿 建元初 永明五年 时陆探微 善明为宁朔长史 四年 西方 为之大赦 岂应有所待也 乡 文济被杀 非为长算 魏以来 以应常阴同象也 太子中舍人 九年 明帝出旧宫送 豫章王第二女绥安主降嫔 反本还源 永巷贫空 略其凶险 父万寿 永明中 逝者将半 志兴乱阶 有同素室 太祖令山图领兵卫送
微积分基本定理
解 ∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2，
①
f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b＝0，
②
ʃ 10f(x)dx＝ʃ 10(ax2＋c)dx＝31ax3＋cx10
＝13a＋c＝－2，
③
由①②③可得a＝6，b＝0，c＝－4.
1234
解答
4.已知 f(x)＝c4oxs－x2，π，π2<0x≤≤xπ≤，π2，
＋x |2＋(12x2－x)|42
＝1＋(2－π2)＋(4－2 0)＝7－π2.
解答
(2)求定积分 ʃ 20|x2－1|dx.
解 ∵|x2－1|＝1x2－－x12， ，xx∈ ∈[[01， ，12]， ， 又(x－x33)′＝1－x2，(x33－x)′＝x2－1， ∴ʃ 20|x2－1|dx＝ʃ 10|x2－1|dx＋ʃ 21|x2－1|dx ＝ʃ 10(1－x2)dx＋ʃ 21(x2－1)dx ＝(x－x33)|10＋(x33－x)|21 ＝1－13＋83－2－13＋1＝2.
有什么关系？
答案 由定积分的几何意义知，ʃ 10(2x＋1)dx＝12×(1＋3)×1＝2，
F(1)－F(0)＝2，故 ʃ 10(2x＋1)dx＝F(1)－F(0).
答案
思考2
对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使得F′(x)＝ f(x)? 答案 不唯一.根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数 c，都有[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x).
④ʃ bacos xdx＝sin x|ba.
⑤ʃ ba1xdx＝ln x|ba(b>a>0).
⑥ʃ baexdx＝ex|ba. ⑦ʃ baaxdx＝lnaxaba(a>0 且 a≠1).
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如图：一个作变速直线 是y y t ,由导数 S yb运动的物体的运动规律 ya
探究新知：
y
y y t
hn
Sn
yb
S
hi
Si
h2
y a
O
A
h1
S2 S1
at ) t1 a( 0
t t2 t i 1 t i t n 1 b( btn )
b
定积分公式 b cx | 1) (cx ) c cdx a 1 n b 2) x nx x dx x | a n+1 b 3) (sin x ) cos x cos xdx sin x | a b 4) (cos x ) sin x sin xdx - cos x | a b 1 1 b 5) (ln x ) dx ln| x || a a x x x b e | 6) (e ) e e dx a x a b | 7) (a ) a ln a a dx a ln a
2 2 xdx x
3 1
2 3 1
3 1 8
2 2
练习1:
1 1 1dx ____
1 0
2 xdx
1 0
1 3 3 0 x dx ____ 4 15 2 3 4 1 x dx ____ 4
1 ____ 2
1
x 公式2： x dx n 1
3
1
1 x
2
dx
1 1 1 76 x 3 1 x 3 1 3
3 3
2
1 2dt ___
x
2
2
1 2
3 ln 2 1 2 x dx ___
3 3 x
a a a
b
b
b
(3) f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx (a<c<b)
a a c
b
c
b
题型1：定积分的简单性质的应用
1、化简 f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
0 1 2 1 2 3 2008 2007
f ( x)dx
做和式： f (i )x f (i )(b a) / n.
i 1
i 1
n
n
且有， lim f (i )(b a) / n A(常数）
n0 i 1
n
则，这个常数A称为f(x)在[a，b]上的定积分(简称积分) b 记作 f ( x)dx
a
即A
b
a
f ( x)dx lim f ( i （ ) b - a) / n
0
3
点评：运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以 把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差
题型2：定积分的几何意义的应用
问题1：你能求出下列格式的值吗？不妨试试。
1、 4 dx ＝？
1
3
8
1 2 2、 xdx ＝？ 0 a 2
a
3 0
3、 ( 2 x)
0
3
2
5 dx＝？ 4、 2
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莱布尼兹
莱布尼兹，德国数学家、哲学家，和牛顿 同为微积分的创始人；1646年7月1日生于 莱比锡，1716年11月14日卒于德国的汉诺 威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家 庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。1661年 入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学 学习几何，1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。 他当时写的论文《论组合的技巧》已含有数理逻 辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。 1667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。1676年到汉 诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长，并常居汉诺威， 直到去世。莱布尼兹的多才多艺在历史上很少有 人能和他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物 、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。
b a
说明：
牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便 的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积 函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数 在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把 计算定积分归结为求原函数的问题。
b
a
f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a)
9 9 x dx＝？ 4
2
问题2：一个作变速直线运动的物体的运动规
律S＝S(t)。由导数的概念可以知道，它在任意 时刻t的速度v(t)＝S’（t)。设这个物体在时间段 〔a，b〕内的位移为S，你能分别用S(t)，v(t) 来表示S吗？从中你能发现导数和定积分的内在 联系吗？
从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数为
'
b
a
n'
n 1
b
n
+1
a
'
b
a
'
b
a
'
x '
x
b
x
a
x '
x
b
x
a
牛顿
• 牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、 天文学家和自然哲学家。1642年12月25日 生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索 普村,1727年3月20日在伦敦病逝。 • 牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院， 1665年获文学士学位。随后两年在家乡躲 避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数 重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后当 选为三一学院院委，次年获硕士学位。 1669年任卢卡斯教授直到1701年。1696年 任皇家造币厂监督，并移居伦敦。1703年 任英国皇家学会会长。1706年受女王安娜 封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。 • 牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分 和经典力学的创建。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F’(x)＝f（x)，则，
b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).
b a
或记作
f ( x)dx F ( x) F (b) F (a).
A3
A4
b
b
曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值
A1
A2
a f ( x )dx A1 A2 A3 A4
b
定积分的简单性质
(1) kf ( x)dx k f ( x)dx (k为常数)
a a b b
(2) [f1 ( x) f 2 ( x)]dx f1 ( x)dx f 2 ( x)dx
b a
例1 计算下列定积分
1
2
1
1 dx x
2
2 2 xdx
3 1
'
找出f(x)的原 函数是关键
1 解（１） ln x x
1
b
1 b 公式 1： dx ln x ln b ln a a a x
1 2 dx ln x 1 ln 2 ln1 ln 2 x
2、已知， dx 3,
0
3
3
0
求：
3 0
3 9 3 2 81 3 xdx , x dx 9, x dx 0 2 0 4
3 2 （ 1 ） （ 4 x 3 x 6 x 8)dx ?
(2) (8 x 3 21x 2 12x 15)dx ?
b
a
f ( x)dx 就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。
S1 S2
S3
2、定积分
形面积的代数和来表示。
b
a
f ( x)dx 的数值在几何上都可以用曲边梯
b
a
f ( x )dx S1 S 2 S 3
说明：
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
a f ( x )dx A a f ( x )dx A
由于 s' (t ) v(t )，即s(t)是v(t)的原函数，这就是说，
b 定积分 a v(t )dt 等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间
[a,b]上的增量s(b)–s(a).
S S1 St2的速度为 v Sit Sn t 的概念可知，它在任意 时刻 y ' , 设这个物体在 ba ' ' y t i 1 ，你能分别用 t , v t 表示 时间段a, b 内的位移为 S吗？ Si vS t i 1 t y t iy 1 n B
b n1 n a
b a
例２．计算定积分
解:
3
1
1 3x dx x
2 2
x
3 '
1 1 3x , 2 x x
2
3 2 3 1 1
'
原式 3 x dx
3 3 1 3 1
1 dx 3 x dx x
3 2 2 1
y y t
yb lim y t t v t dt y t dt S y t dt yb ya
v t i 1 t
' i 1
i 1 n
n
b
i 1
b
a
y a
'
'
a
b
a
微积分基本定理：