动力学简(1)

rC KC rE KE
rE 2rH
K
rB
2
AB AC
KC KE
rH
a 2a
3a
B
C
M
FBrB
sin
M
rC
CK
PrH
0
rB
FB
rC
E
rE
a a
FB
2P
M a
A
P H DrHa
虚位移原理
第四章 虚位移原理
求A处水平约束力
DE构件作定轴转动， AC、 CE作平动
rA rE 2rH
FAx rA P rH 0
*用虚位移原理求解约束反力
将质点系中的某些约束解除，代之以相应的约束 反力，将这些约束反力当作主动力看待，这样应 用虚位移原理就可以求解约束反力。
虚位移原理用于求解约束反力的特点:
1 解除所求约束，把相应的约束反力视为主动力。 2 对于具有摩擦或弹簧的非理想约束系统，把
摩擦力和弹性力视为主动力。 3 通常只能解除一个约束。
(2lFx sin 3lF cos ) 0
Fx
3 2
F
cot
xB 2l sin xG l sin
yB 0
yG 3l cos
虚位移原理
第四章 虚位移原理
请问在 CG 间加一弹簧，还是完整系统吗？应如何 求解？除弹簧外常见的非完整系统还发生在什么情 况下？
虚位移原理
第四章 虚位移原理
动力学引论
动力学的研究内容
物体的机械运动与作用力之间的关系。
动力学的力学模型
质点：有一定质量而几何形状尺寸大小可以忽略 不计的物体。例人造卫星、飞机。
质点系：由几个或无限个质点所组成的系统。
动力学基本定律——牛顿三定律
第一定律：不受力作用的质点将永远保持 静止或作匀速直线运动。又称惯性定律。
第二定律：质点的质量与加速度的乘积等 于作用于质点的力的大小，加速度的方向 与力的方向相同。即
r
sin
cos
sin sin
r cos l cos
yB 0
虚位移原理
第四章 虚位移原理
例二 螺旋压榨机的手柄AB上作用有水平面内的力偶M，设螺杆的 螺距为h，求平衡时作用于被压榨物体的压力。
解：取整个手柄为研究对象，受力 分析和运动分析如图。由虚位 移原理有：
Fi ri 0
M FN r 0
虚位移原理
第四章 虚位移原理
例四 图示组合梁A处的约束反力。
解：首先解除A点处的约束，代之以相应反力。受力分析和运动 分析如图。由虚位移原理有：
Fi ri 0
FArA F1r1 F2r2 0
假设 ABM 梁转过 角度
rA 8
r1 3
r2
4 7
rM
4 7
11
虚位移原理
第四章 虚位移原理
FAx
P 2
求A处铅垂约束力 DE构件作定轴转动， AC、 CE作平面运动
rA K1 A rC K1C
rC K2C rE K2 E
rE 2rH
K2
FAy rA
M
rC
CK
P rH
0
FAy
2 3a
M
11 P 6
a 2a
3a
a 2a
3a
BCM
B rB C M
E rE
a a
rA
rC
rE a
Ea
A FAx rA
F3
1 2
Pcotθ
P
rC
1
2 sin
rB
rC
rD F3
rB
F3
4 图示机构，已知OC=a，OK=l。在点C处垂直于曲柄作用一力 F1，在点B沿BA作用一力F2 ，求机构平衡时F1 与F2 的关系。
rA cos re
F2rA
Fra Baidu bibliotekF1
re a
l
cos
0
F1 F2
l
a cos2
ra
re
rr
5 两等长杆AB与BC在点B用铰链连接，又在杆的D、E两点连一 弹簧。弹簧的刚性系数为k，当距离AC等于a时，弹簧内拉力为 零。如在点C作用一水平力F，杆系处于平衡。求距离AC之值。
FArA F1r1 F2r2 0
FA
3 8
F1
11 14
F2
rA 8
r1 3
r2
44 7
虚位移原理
第四章 虚位移原理
例五 三铰拱上有载荷作用力及力偶.求B 铰的约束力。
解:(1)求B铰水平约束力
AC作定轴转动、CB作平面运动。画虚位移图。
rB rC
2a 2a
rC
2 2
rB
rD
1 2
Fi ri 0
B、G点的虚位移可用解析法求得：
xB 2l cos xG l cos
yB 0
yG 3l sin
xB 2l sin xG l sin
yB 0
yG 3l cos
虚位移原理
第四章 虚位移原理
Fi ri 0
Fx xB F yG 0
Fx (2l sin ) F(3l cos) 0
FA tg
O
FB
l
P
rB FB FB
x
虚位移原理
第四章 虚位移原理
另解 rB vB
rA
vA
rB tan rA
FArA FBrB 0
rA
FA rB tan FB rA
vB PB tan
vA PA
——虚速度法
y FA
P
l
rB
FB
O
x
小结
1. 分析力学主要研究非自由质系的运动,它的特点是通过 功、能等标量用数学分析的方法进行研究。分析力学的 基本概念有约束及约束方程、广义坐标、自由度数、虚 位移、广义力、理想约束等。 2. 对受完整约束的质系，自由度数等于广义坐标数目。 3. 虚位移的定义：在给定瞬时，质点系在约束所允许的 条件下，可能实现的任何无限小的位移称为虚位移。 虚位移只是对约束特性的进一步描述，与作用的主动力 无关。在稳定约束情况下，实位移是虚位移的一种。
rA cos rB cos 2
rB cos(90 2 ) rD cos
M
rA
a
FrAtg2
0
rA
F M cot 2
a
rB
rD
3 图示桁架中，已知AD=DB=6m，CD=3m，节点D处载荷 为P。试用虚位移原理求杆3的内力。
rB
cos
rC
cos( 2
2 )
rC cos rD
PrD F3rB 0
定常约束：约束与时间无关； 非定常约束：约束方程中显含t；
f (ri , ri ) 0 f (ri , ri ,t) 0
完整约束：几何约束及可积分的运动约束； 非完整约束：不可积分的运动约束；
单面约束：以不等式表示的几何约束； 双面约束：以等式表示的几何约束；
约束•虚位移•虚功
第四章 虚位移原理
ma F
第三定律：两个物体间的作用力与反作用力 总是大小相等，方向相反，沿着同一直线， 且同时分别作用在这两个物体上。
第四章 虚位移原理
§4-1 约束•虚位移•虚功 §4-2 虚位移原理 §4-3 自由度和广义坐标 §4-4 以广义坐标表示的虚位移原理 结论与讨论 习题
约束•虚位移•虚功
一、约束概念的扩展及分类
4. 确定质系中各质点虚位移之间关系的方法： *几何法: (1)虚位移投影法
(2)虚速度法:仿照运动学中速度分析的方法 *解析法:对约束方程进行变分, 但时间不变。
5. 虚位移原理：对具有理想约束的质点系，其平衡的 充要条件是：作用于质系的主动力在任一虚位移上所 作虚功之和等于零。
W Fi ri 0
6. 当质系的位移用广义坐标表出时，虚位移原理的形式
是：广义力等于零。
Qj
n i
Fi
ri q j
Qj
W j q j
1 组合梁由铰链C铰接AC和CE而成,已知跨度l=8m，P=4900N，
均布力q=2450N/m，力偶矩M=4900Nm；求支座反力。
FAy
rA
P
1 2
rA
1 4
ql
1 2
rA
, vB
rB
dt K
rA rB
vA vB
KA KB
第四章 虚位移原理
K
虚位移原理
第四章 虚位移原理
(3) 解析法: 广义坐标
xA r cos
xB r cos l cos
变分计算得虚位移表达式
yA r sin
yB 0
xA r sin yA r cos
xB
l
r sin
r
l sin
Fi ri FNi ri 0
Fi ri FNi ri 0
Fi ri 0
对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是： 作用于质点系的主动力在任意虚位移上所做的虚功之和为零。
虚位移原理
例一 求各质点的虚位移
解：（1）虚位移投影法
rA AB rB AB
（2）虚速度法
vA
rA
dt
rB
W M
rC
2a
P
rD
FBxrB 0
FBx
1 2
M a
P
a
a
C
rD P
M rC
D
a
A
B rB
虚位移原理
第四章 虚位移原理
（2）求B铰的垂直约束力
rC AC 2 rB AB 2
rD AD 5 rB AB 2
或：rD cos rB
W M
rC
2a
PrD
sin
a FByrB
解析法:广义坐标
xD (l b) cos
xD (l b)sin
xE (l b) cos
xE (l b)sin
xC 2l cos
xC 2l sin
虚位移原理：
FSxD FSxE FxC 0
FS
k
b l
(x a)
x
a
Fl 2 kb2
F/S FS
6 在滚子上施加矩为M的力偶，在滑块上施加力F，使系统于 图示位置处于平衡，设力F为已知，忽略滚动摩阻和各构件的 重量，不计滑块和各铰链处的摩擦。试求力偶矩M以及滚子与 地面间的摩擦力。
二、虚位移的概念 在约束允许的情况下，任意假想的、微小的位移
y0
x2 y2 l 0
几何约束 定常约束 几何约束 定常约束 双面约束 完整约束 单面约束 完整约束
虚位移是个纯粹的几何概念，与质点或质点系是否发生运动无 关，只满足给定瞬时的约束方程，是约束的直接结果。
约束•虚位移•虚功
第四章 虚位移原理
第四章 虚位移原理
对非自由质点系运动的限制条件称为约束。
f j (xi , yi , zi , xi , yi , zi , ,t) 0
约束•虚位移•虚功
第四章 虚位移原理
几何约束：只限制各质点的位移； f (ri , t) 0 运动约束：除位移外还限制速度等； f (ri , ri , t) 0
几何约束 定常约束 双面约束 完整约束
几何约束 非定常约束 单面约束 完整约束
约束•虚位移•虚功
第四章 虚位移原理
三、虚功的概念
质点系的真实受力在任意给定的虚位移上所做 的功之和称为虚功。
W Fi ri (Fxixi Fyiyi Fzizi )
虚位移原理
第四章 虚位移原理
Fi FNi 0
a
0
C
P
1 2a
M
P
a 2a
FBy
rB
0
M
rC
D
raD
FBy
1 2
M a
P
瞬心 A
B
FBy
rB
虚位移原理
第四章 虚位移原理
例六 图示结构在力偶矩M和力P的作用下平衡，不计各杆质量 和摩擦。求铰支座B和A处的反力。
解：先求B处约束反力
AC、DE构件作定轴转动，CE作平面运动。画虚位移图
rB AB rC AC
注意到运动学关系 2 r h
(M
FN
h
2
)
0
FN
4
l h
F
虚位移原理
第四章 虚位移原理
例三 图示结构中各杆均以光滑铰链相连接，且 AC=CE=BC=CD =DG=GE=l。在 G点作用一铅垂向上的力 F，求支座 B的水 平约束反力FBx。
解：首先解除结构 B点处的水平方向约 束，代之以相应反力。受力分析和 运动分析如图。由虚位移原理有：
rA
1 ql 4
1 ql 4
1 ql 4
3 4
rA
M
2 rA
l
0
FAy 2450N FAx 0
FAy
rC
FErE
1 ql 4
1 4
rE
M
2rE
l
0
1 ql 4
1 ql 4
rE
FE 2450N
FBrB
P
1 2
rB
2
1 4
ql
3 2
rB
M
4 l
rB
0
rB
FB
FB 14700N
rC
FE
2 在图示机构中，曲柄OA上作用一力偶，其矩为M，另在滑 块D上作用水平力F，尺寸如图。求当机构平衡时，力F与力 偶矩M的关系。
P HrH
D
a
A
K1 FAy
PH a
D
虚位移原理
第四章 虚位移原理
例七 图示橢圆规机构，连杆AB长为l ，杆重、滑道、绞链上的摩 擦力忽略不计。求在图示位置平衡时，主动力FA和FB之间的关系。
FArA FBrB 0
y
FA
rB cos rA sin
FA
——虚位移投影法rA
rB rAtg
FArA FBrAtg 0
设滚子只滚不滑 rB cos rA
虚功方程
OA 2R cos
FrB
M
rA
OA
0
M 2RF
再设滚子只滑不滚
rA
rO rB FrB FSrO 0
FS F
FS
rB
习题
本章习题 4-1 3 4 4-6 7 8
第四章 虚位移原理
习题要求 1）基本公式要列明； 2）运动状态参量求得后要在图上画明； 3）投影轴要画清写明；