中南大学11级数理统计II(含答案)

-m )2
e , n/2
-¥ < xi < +¥,i = 1, 2,Ln
（2）由于 m 未知，所以 X3 - m 不是统计量，其余两个都是；
（3）
X
~
N
(m,4)
Þ
X
~
N
æ çè
m
,
4ö n ÷ø
{ } ( ) Þ P
X
-m
£ 0.1
=
P
ì í î
-0.1 2/ n
<
X -m 2/ n
<
0.1 2/ n
ì
ü
ï
取自总体Ｘ和Ｙ的简单随机样本，已知
P
ï í
ï
ïî
X -Y
s12 n1
+
s
2 2
n2
ï
>
k
ï ý
=
0.1
，则
k
的值为
ï
ïþ
(A) z0.1 = 1.28
(B) z0.9 = -1.28 (C) z0.05 = 1.645 (D) z0.95 = -1.645
4.
设总体 X
:
N
(m1
,
s
2 1
),
³
Fa (n1 -1, n2
- 1)
答案： D B C A
(D)
s22 s12
³
F 1-
a 2
(n1
-1, n2
- 1)
三、设 X1, X 2,L, X n 为取自总体 X : N (m, 4) 的一个样本，是样本均值，
（1）求 ( X1, X 2 ,L, X n ) 的联合概率密度；
（2）指出
2
X1
中南大学考试试卷参考答案 2012-2013 学年一学期 数理统计 II 课程（2011 级） 一、填空题
1. 设 X1, X 2,L, X10 是 来 自 总 体 X : N (m,s 2 ) 的 样 本 ， 则
å Y
1 = s2
10
(Xi - m)2
i =1
:
；
2. 设总体 X 服从 p=1/3 的（0,1）分布，X1, X 2,L, X n 是来自总体 X 的样本， X 是
( ) Þ n ³ za + zb s = 6.58 d 故样本容量至少为 44.
七、设某厂生产一种缆绳，其抗拉强度 X : N (10600,822 ) ，现从改进工艺后生产
的一批缆绳中随机抽取 10 根，测其抗拉强度，计算得 x = 10653, s2 = 6992 ，当显 著性水平a =0.05 时，能否据此认为： （1）新工艺生产的缆绳抗拉强度比过去生产的缆绳抗拉强度有显著提高; （2）新工艺生产的缆绳抗拉强度，其方差有显著变化。 解：（1）假设检验 H0 : m £ 10600, H1 : m > 10600; 采用 T 检验法
。
答案：1、 c 2 (10);
二、选择题
2、
2 9n
å 3、 aˆ =
3 n
n i=1
Xi2
4、（5.204,36.667）
1.设qˆ1，qˆ2 为某分布中参数q 的两个相互独立的无偏估计，则以下估计量中最有
效的是（ （A）qˆ1 -qˆ2
） （B）qˆ1 +qˆ2
（Ｃຫໍສະໝຸດ Baidu1 3
qˆ1
+
2 3
qˆ2
2S 2
2s 2
（Ｄ）1 2
qˆ1
+
1 2
qˆ2
2. 设 X : N (m,s 2 ) ，且 s 2 未知，则 m 的置信水平为０.９５的置信区间为
（
）
（Ａ）（X
- t0.025 (n -1)
s n
,X
+ t0.025 (n -1)
s) n
（B）（X - t0.025 (n -1)
S n
,
X
+ t0.025 (n
-1)
Þ
f
ìn
( x) = éëF ( x)ùû ' = ïíq n
xn-1, 0 <
x £q
ïî0, 其他
Þ
E
(cX
)
=
cE
(
X
)
=
nc+n1q
=q
Þ
c
=
n +1 n
五、设总体 X : N (m,8) ， m 为未知参数， X1, X 2,L, X36 为取自总体 X 的一个样
本， X 是样本均值，如果以区间 (X -1, X +1) 作为 m 的置信区间，那么置信水平
m < 3 时犯第二类错误的概率不超过 b = 0.05 ，求所需的样本容量。
解：
（1）由题意知 m
的置信区间为
æ ç
è
X
-
za
2
g
s n
,
X
+
za
2
g
s n
ö ÷ ø
对给定的a
= 0.05, z0.025
= 1.96
，依题意，求使
L
=
za
2
g
2s n
£5
的最小
n，即
1.96´ 8 £ 5 n
所以 n ³ 10 即至少需要抽取 10 个样品。 （2） a = b = 0.05, za + zb = 1.645 +1.645 = 3.29,s = 2,d = 2
可以看出只有当q
=
max
{x1,
x2 ,
x3
L
xn } 时,似然函数取得最大值，
即q的极大似然估计量为qˆ= max {X1, X 2 , X3 L X n}
(2)F
(x)
=
P (max{X1,
X2,
X3 L Xn}
£
x)
=
éë F
( x)ùûn
=
ìïíæçè
x q
ön ÷ø
,0
<
x
£q
ïî0, 其他
+3X
2
+X
2 3
，
X
3
-
m
，
min
1£ i £ n
X
i
中哪些是统计量，哪些不是？
（3）n 应取多大时，才能使 P{| X - m |£ 0.1} ³ 0.95 ?
解：
Õ ( ) ( ) ( ) ( ) （1） f
x1, x2 ,L, xn
n
=f
i =1
xi
= 2n
1 2p
å -
1 8
n i=1
(
Xi
ü ý þ
=
2F
0.05
n
-1 ³ 0.95,
( ) Þ F 0.05 n ³ 0.975
\0.05 n ³ 1.96 Þ n ³ 1536.64
四、设总体 X 服从区间[0,q ] 上的均匀分布，其中q > 0 是未知参数，X1, X 2,L, X n
为取自总体 X 的一个样本。（1）求q 的极大似然估计；（2）试确定 c ，使得 cqˆ 为
å Y1 =
X1
+
X2 +L+ 6
X6
， Y2 =
X7
+
X8 3
+
X9
，S2
=
1 2
9 i=7
(Xi
- Y2 )2
，
证明： Z =
2
(Y1
S
-
Y2
)
~
t
(
2)
证明：
Y1与Y2相互独立，E
(Y1
)
=
m,
E
(Y2
)
=
m,
D
(Y1
)
=
s2 6
,
D
(Y2
)
=
s2 3
,
å 所以 Y1
- Y2
~
N
æ ç
0,
è
样本均值，则 D( X ) =
；
3. 设总体 X 服从区间[-a,a]上的均匀分布，其中 a > 0 是未知参数，X1, X 2,L, X n 为
取自总体的样本，则 a 的矩估计量为
;
4. 设取自正态总体 X 的容量为 10 的简单随机样本的样本方差为 11，则 X 的方差
的置信水平为 0.95 的置信区间为
a
=
0.05,
c2 0.975
(9)
=
2.700,
c
2 0.025
(9)
= 19.023, 拒绝域为
c2
> 19.023或c 2
<
2.700
经计算
c
2
=
9
´ 6992 822
=
9.36
由于 2.700<9.36<19.023,因此接受 H0 ，即可以认为新工艺生产的缆绳抗拉强度其
方差没有显著变化。
( ) 八 、 设 X1, X 2,L, X9 为 取 自 总 体 X ~ N m,s 2 的 一 个 简 单 随 机 样 本 ，
六、某食品的含锡量 X(mg/kg)服从标准差为 4 的正态分布，在对产品的质量检查 中： （1）为了以 95%的置信度使得检验的绝对误差不超过 5(mg/kg)，至少要抽取几 个样品？
（2）若需要进行假设检验问题 H0 : m > 5, H1 : m < 5 ，取a = 0.05 ，当要求 H1 中的
s2 2
ö÷ , ø
记
X
=
1 3
9 i=7
Xi
= Y2
å å( ) ( ) 则 S2
=
1 2
9 i=7
Xi -Y
2
=
1 2
9 i=7
Xi - X
2
而 S2 与
X
相互独立，且
2S 2 s2
~
c 2 (2) ,Y1,Y2 , S 2 相互独立，故
(Y1 - Y2 )
Z=
2 (Y1 - Y2 ) =
S
(s / 2) ~ t (2)
Y
:
N
(m1,s
2 2
)
相互独立，样本容量分别为
n1,
n2
，样本方
差分别为
S12 ,
S22
，在显著性水平a
下，检验
H0
: s12
³
s
2 2
,
H1
: s12
<
s
2 2
的拒绝域为
(A)
s22 s12
³
Fa (n2
-1, n1 -1)
(B)
s22 s12
³
F 1-
a 2
(n2
-1, n1 -1)
(C)
s22 s12
a = 0.05,t0.05 (9) = 1.8331, 拒绝域为 t > 1.8331；经计算
t = 10653 -10600 = 2.004 > 1.8331 6992 / 10
所以拒绝 H0 ，即可以认为新工艺生产的缆绳抗拉强度有显著性提高。
(2)假设检验 H0 :s 2 = 822 , H1 :s 2 ¹ 822; 采用 c 2 检验法
是多少？
解:
X
~
N
æ çè
m,
2 9
ö ÷ø
,
标准化
X -m 2/3
~
N
( 0,1) ,由P { X
-1<
m
<
X
+1}
=1-a,
Þ P{m -1 < X < m +1} = P ìíî
3 < X -m < 2 2/3
3 2
ü ý þ
=
2F(2.121)
-
1
=
0.966
=
1-
a
故所求置信水平为96.6%
S) n
（Ｃ）（X
- t0.05 (n -1)
s n
,X
+ t0.05 (n -1)
s) n
（Ｄ）（X - t0.05 (n -1)
S n
,
X
+
t0.05 (n
-1)
S) n
3. 设总体 X : N (m,s12 ),Y : N (m,s 22 ) 相互独立，X1, X 2 ,L, X n1 和Y1,Y2 ,L,Yn2 分别
q 的无偏估计 解：
Õ (1) f
( x) = ìïíq1 , 0 £ x £ q ，似然函数为L ( xi ,q ) =
ïî0, 其他
n i =1
1 q
1 = qn
,0 £
xi
£q,i
= 1, 2,Ln,
ln
L
=
-n lnq ,显然
d ln L dq
=
-
n q
=
0无解，
从L
(
xi
,q
)
=
1 qn