2020届高三突破满分数学之圆锥曲线(文理通用)定点问题(原卷版)
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（ⅰ）证明直线 过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ） 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。
（三）圆过已知定点的问题
例3、已知焦距为2 的椭圆C： ＋ ＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，直线y＝ 与椭圆C交于P，Q两点(P在Q的左边)，Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形．
（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
【重要结论】
1．动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)．
.
（1）求 的值；
（2）已知点 为 上一点， ， 是 上异于点 的两点，且满足直线 和直线 的斜率之和为 ，证明直线 恒过定点，并求出定点的坐标．
【变式训练2】.【2019全国III理21】已知曲线C：y= ，D为直线y= 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0， )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
（二）圆锥曲线中直线方程过已知定点
例2．【2017新课标Ⅱ】设 为坐标原点，动点 在椭圆 ： 上，过 做 轴的垂线，垂足
为 ，点 满足 ．
（1）求点 的轨迹方程；
（2）设点 在直线 上，且 ．证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点 ．
二、经验分享
【直线过定点的解题策略】
（1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.
（2）直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点.
例1．【2017新课标Ⅰ】已知椭圆 ： ，四点 ， ，
， 中恰有三点在椭圆 上．
(1)求 的方程；
(2)设直线 不经过 点且与 相交于 ， 两点．若直线 与直线 的斜率的和为 ，证明： 过定点．
【变式训练1】．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试数学试题】已知
抛物线 的焦点为 ，直线 与 轴的交点为 ，与抛物线 的交点为 ，且
（ii）直线 与y轴交于点G，记 的面积为 ， 的面积为 ，
求 的最大值及取得最大值时点P的坐标．
【变式训练2】．已知抛物线 的焦点为 ， 为 上异于原点的任意一点，过点 的
直线 交 于另一点 ，交 轴的正半轴于点 ，且有 ，当点 的横坐标为3时， 为正
三角形。
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）若直线 ，且 和 有且只有一个公共点 ，
专题七定点问题（平民解法，暴力美学）
1、考情分析
定点问题在2019全国III理21中出现，虽然以往全国卷高考题中出现较少，是圆锥曲线部分的小概率考点．但是在2019年出现，所以在2020年备考一定引起重视。定点问题是比较常见出题形式，题目属于中等偏简单题目。采取常规平民化解法，计算是暴力美学范畴。化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
【变式训练1】．【2016年山东】平面直角坐标系 中，椭圆C： 的离心率是 ，抛物线E： 的焦点F是C的一个顶点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线 与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上；
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N.
若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM.点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点．
【变式训练1】在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ．如图所示，斜率为 且不过原
点的直线 交椭圆 于 ， 两点，线段 的中点为 ，射线 交椭圆 于点 ，交直线 于
2．动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
3.“弦对定点张直角”-圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点 ．
4.只要任意一个限定AP与BP条件（如 定值， 定值），直线AB依然会过定点
三、题型分析
（一）圆锥曲线中直线方程过未知定点
．
（Ⅰ）求 的最小值；
（Ⅱ）若 ∙ ，
（i）求证：直线 过定点；
（ii）试问点 ， 能否关于 轴对称？若能，求出此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由．
【变式训练2】已知两点A(－ ，0)，B( ，0)，动点P在x轴上的投影是Q，且2 · ＝| |2.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过F(1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G，H，M，N，且E1，E2分别是GH，MN的中点．求证：直线E1E2恒过定点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）证明:无论点 运动到何处，圆 恒经过椭圆 上一定点．
3、已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 到直线 : 的距离为 ．设 为直线 上的点，过点 作抛物线 的两条切线 ，其中 为切点．
(Ⅰ)求抛物线 的方程;
(Ⅱ)当点 为直线 上的定点时，求直线 的方程;
(Ⅲ)当点 在直线 上移动时，求 的最小值．
4、已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，椭圆 与抛物线 在第一象限的交点为 ， ．圆 的圆心 是抛物线 上的动点，圆 与 轴交于 两点，且 ．
四、迁移应用
1、设A、B是轨迹 ： 上异于原点 的两个不同点，直线 和 的倾斜角分别为 和 ，当 变化且 时，证明直线 恒过定点，并求出该定点的坐标．
2、已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8．
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ)已知点B(-1，0)，设不垂直于x轴的直线 与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是 的角平分线，证明直线 过定点．
（ⅱ） 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。
（三）圆过已知定点的问题
例3、已知焦距为2 的椭圆C： ＋ ＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，直线y＝ 与椭圆C交于P，Q两点(P在Q的左边)，Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形．
（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
【重要结论】
1．动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)．
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（1）求 的值；
（2）已知点 为 上一点， ， 是 上异于点 的两点，且满足直线 和直线 的斜率之和为 ，证明直线 恒过定点，并求出定点的坐标．
【变式训练2】.【2019全国III理21】已知曲线C：y= ，D为直线y= 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0， )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
（二）圆锥曲线中直线方程过已知定点
例2．【2017新课标Ⅱ】设 为坐标原点，动点 在椭圆 ： 上，过 做 轴的垂线，垂足
为 ，点 满足 ．
（1）求点 的轨迹方程；
（2）设点 在直线 上，且 ．证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点 ．
二、经验分享
【直线过定点的解题策略】
（1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.
（2）直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点.
例1．【2017新课标Ⅰ】已知椭圆 ： ，四点 ， ，
， 中恰有三点在椭圆 上．
(1)求 的方程；
(2)设直线 不经过 点且与 相交于 ， 两点．若直线 与直线 的斜率的和为 ，证明： 过定点．
【变式训练1】．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试数学试题】已知
抛物线 的焦点为 ，直线 与 轴的交点为 ，与抛物线 的交点为 ，且
（ii）直线 与y轴交于点G，记 的面积为 ， 的面积为 ，
求 的最大值及取得最大值时点P的坐标．
【变式训练2】．已知抛物线 的焦点为 ， 为 上异于原点的任意一点，过点 的
直线 交 于另一点 ，交 轴的正半轴于点 ，且有 ，当点 的横坐标为3时， 为正
三角形。
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）若直线 ，且 和 有且只有一个公共点 ，
专题七定点问题（平民解法，暴力美学）
1、考情分析
定点问题在2019全国III理21中出现，虽然以往全国卷高考题中出现较少，是圆锥曲线部分的小概率考点．但是在2019年出现，所以在2020年备考一定引起重视。定点问题是比较常见出题形式，题目属于中等偏简单题目。采取常规平民化解法，计算是暴力美学范畴。化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
【变式训练1】．【2016年山东】平面直角坐标系 中，椭圆C： 的离心率是 ，抛物线E： 的焦点F是C的一个顶点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线 与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上；
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N.
若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM.点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点．
【变式训练1】在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ．如图所示，斜率为 且不过原
点的直线 交椭圆 于 ， 两点，线段 的中点为 ，射线 交椭圆 于点 ，交直线 于
2．动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
3.“弦对定点张直角”-圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点 ．
4.只要任意一个限定AP与BP条件（如 定值， 定值），直线AB依然会过定点
三、题型分析
（一）圆锥曲线中直线方程过未知定点
．
（Ⅰ）求 的最小值；
（Ⅱ）若 ∙ ，
（i）求证：直线 过定点；
（ii）试问点 ， 能否关于 轴对称？若能，求出此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由．
【变式训练2】已知两点A(－ ，0)，B( ，0)，动点P在x轴上的投影是Q，且2 · ＝| |2.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过F(1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G，H，M，N，且E1，E2分别是GH，MN的中点．求证：直线E1E2恒过定点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）证明:无论点 运动到何处，圆 恒经过椭圆 上一定点．
3、已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 到直线 : 的距离为 ．设 为直线 上的点，过点 作抛物线 的两条切线 ，其中 为切点．
(Ⅰ)求抛物线 的方程;
(Ⅱ)当点 为直线 上的定点时，求直线 的方程;
(Ⅲ)当点 在直线 上移动时，求 的最小值．
4、已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，椭圆 与抛物线 在第一象限的交点为 ， ．圆 的圆心 是抛物线 上的动点，圆 与 轴交于 两点，且 ．
四、迁移应用
1、设A、B是轨迹 ： 上异于原点 的两个不同点，直线 和 的倾斜角分别为 和 ，当 变化且 时，证明直线 恒过定点，并求出该定点的坐标．
2、已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8．
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ)已知点B(-1，0)，设不垂直于x轴的直线 与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是 的角平分线，证明直线 过定点．