南航材料力学第8讲(第3章 扭转)
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10
题3.15
wk.baidu.com
四分之一截面上内力系合 力的大小、方向、作用点。
T
11
题3.15解
整圆切应力对O点之矩=？
m O T
由对称性，四分之一圆的 切应力对O点之矩为
T
O
T 4
12
题3.15解(续)
由切应力分布规律可知
切应力合力作用点必定在45°对称轴上， 设大小为F，则F对O点的矩必须为T/4
积分之
π 4 π 4
cos d r dr
2 0
r
r πr 2 2 T 2 Ip= = 3 2 3π r T 由mO F = 即可求得F作用点的位置 4 3πr 2 2 T T rF = F rF = rF = 8 2 3π r 4
4
14
题3.16
内力如何平衡?
3 1 1 3 2 2 3 i i
42
h G T l 3
使用记号
3 i i
h It 3
Tl GI t
3 i i
可得
43
由切应力公式
ti
Ti 1 2 hi i 3
及
1 2 i
Ti l Tl 1 3 GI t G hi i 3 Ti ti It
M el GI p
可得：
4 It S
2
55
例3.8
比较开口和闭口截面杆的强 度和刚度，r 和 已知
t1
T 1 2 h 3
3T 2 2πr
3Tl Tl 1 1 3 2πr 3G G h 3
56
πr
2
S 2πr
T t2 2 2 2πr TlS Tl 2 2 3 4G 2Gπr
51
闭口薄壁杆件的自由扭转的变形 t T t 由切应力公式 2
其中T与外力偶矩Me 相等,故上式可写为
t
2
Me t 2
2
Me 应变比能为 u 2 2 2G 8G 2 dV内的变 Me dU u dV dxds 2 形能为 8G
52
总变形能为
M e l ds Me U ds dx 2 l 8G 2 8G 1 外力所作的功为 W M e 2
t max
8FD 4c 1 0.615 8FD k 3 3 c πd πd 4c 4
D c d 4c 1 0.615 k 4c 4 c
23
簧丝的强度条件是
tmax [t]
螺旋弹簧的曲度系数k
c 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
k c k
2
2
由功能原理 可得
UW
M el 2 4G
ds
53
闭口薄壁杆件自由扭 M el ds 转的变形公式 2
4G
等壁厚杆件最为常 见,上式可简化为
M elS 2 4G
式中S为中线周长
54
闭口薄壁杆件自由扭 转的变形公式
M elS 2 4G
比较：
h
若面积及 相同 则
t max相同
37
矩形截面杆扭转切应力
矩形截面结论延伸 开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力
38
*§3.8 薄壁杆件的自由扭转
39
两类薄壁杆件
开口薄壁杆件
闭口薄壁杆件
40
开口薄壁杆件的自由扭转
分成多个矩形截面杆件，若整体扭转角为 ， 则各个矩形杆件的扭转角1、 2 、、 i 、 为
材 料 力 学
作业:
第 三章
3 . 14 3 . 15 (思考题)
扭 转
（续）
3 . 16 3 . 17 (思考题) 3 . 20
2013年9月13日
1
简单复习
外力偶矩如何计算？计算公式中各量的意义及单位 是什么？ 什么是剪切胡克定律？ E、μ、G的关系如何？ 什么是切应力互等定理？ 受扭圆轴横截面上的切应力如何计算？如何分布？ 什么是IP，Wt？圆截面的IP，Wt如何计算？ 空心圆截面的IP，Wt如何计算？ 最大切应力如何计算？ 强度条件？ 受扭圆轴横截面上的扭矩与横截面的相对扭转角的 关系如何？刚度条件？
由切应力互等定理得到的结论
角点切应力等于零 边缘各点切应力沿切线方向
31
矩形截面杆扭转切应力
切应力分布
•角点切应力 等于零 •边缘各点剪 应力沿切线 方向 •最大切应力 发生在长边 中点
32
T
矩形截面杆扭转切应力 切应力分布
t max
T 2 ahb
（长边中点处〕
t1ntmax
（短边中点处〕
33
63
1 2
M el T1l T2l 即： G1 I p1 G2 I p2 G1 I p1 T1 T2 0 由平衡方程，应有：
18
例3.5 解
M el T1l T2l G1 I p1 G2 I p2 G1 I p1
T1 T2 0
最后可得：
T1 T1
M eG2 I p2 G1 I p1 G2 I p2
19
§3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的 应力和变形
20
由平衡方程得
Fs F
FD T 2
由剪力引起的切应力， 近似认为均匀分布
Fs 4 Fs t1 2 A πd
21
由扭矩引起的切应力，近 似认为与受扭直杆相同
t 2max
T 8FD 3 Wt πd
由功能原理得
1 4F 2 D2n Fl 2 Gd 4
所以
8FD 3n 64FR3n l 4 Gd 4 Gd
27
令
Gd Gd C 3 3 8D n 64 R n
F l C
4
4
得
28
§3.7 非圆截面杆扭转的概念
29
矩形截面杆扭转切应力
变形特征
平面假设不再成立
30
矩形截面杆扭转切应力
2
§3. 5
圆轴扭转时的变形
扭转变形 扭转角 两个横截面绕轴线的相对转角。 微段的扭转角
d T ' d x GIp
T d dx GI p
整体的扭转角
T dx 0 GI p
l
3
整体的扭转角
T dx 0 GI p
l
等直圆轴且扭矩不变时
Ti li 台阶轴或扭矩分段变化 GI i 1 pi d T 单位长度扭转角 ' d x GI p
49
FS1 t11x FS 2 t 2 2 x
由于FS1＝FS2得
t 11 t 2 2
所以
t t 常量
剪力流
50
T t d s r t r ds
s s
上述积分为截面中线包 围的面积的两倍
T 2t
T t 2
t T 最大切 t max 应力为 min 2 min
1 2 i
整个截面上的扭矩应等于各个部分的扭矩和
T T1 T2 Ti
41
由扭转角公式
Tl 3Tl 3 3 G b hb Gh
可得
h h G h T l 3 3 3 3 hi i G l 3
M eII
PII 39.3 N m 9549 n
6
计算力偶矩
PII M e II 9549 n 39.3 N m PIV M eIV 9549 n 155 N m
取4轴, 受力如图
M
x
0
M eIII .3 N m 194
7
计算力偶矩
M eII
PIV 39.3 N m, M eIV 9549 n M eIII 194.3 N m
1.4 7.5 1.20
1.35 8 1.18
1.31 8.5 1.17
1.28 9 1.16
1.25 9.5 1.15
1.23 10 1.14
1.21 12 1.12
24
弹簧的变形
在弹性范围内，F与 伸长量l成正比
25
用能量法推导弹簧的变形
外力所作的功为
1 W Fl 2
1 FD r Tr 16 FD r 2 tr 4 πd Ip πd 4 32
两种切应力同时作用，则簧 丝横截面内侧有最大切应力
t max
4F FD 8FD 8d t1 t 2max 23 πd 3 1 πd 2 D πd
22
由于d« 2D,上述切应力近似等于
t max
8FD 3 πd
由于上述推导的近似性，上述切应力 公式存在一定误差。可修正如下：
9
由强度条件
D 0.0272 m
由刚度条件
' max
Tmax Tmax 180 180 [ ' ] 4 GI p π G (π D / 32) π 32Tmax 180 D 4 0.0297 m 2 Gπ [ ]
最后取： D 30 mm 由刚度条件控制 说明： 本题实际上是弯扭组合 变形的问题。
T
57
t1 r 3 t2
设 r
10，则
1 r 3 2 1 t1 300 30 2 t2
2
58
59
60
61
矩形截面上切应力分布
T
62
小结
圆轴扭转时的变形计算公式。 刚度条件。 矩形截面杆受扭时截面上的应力分布。 狭长矩形截面的最大应力、扭转角计算公式。 开口截面的抗扭特点。 闭口截面的抗扭特点。
Tmax 180 /m [ ' ] ( º ) GI p π
5
例 3.4 已知：1、2轴共 消耗功率0.756 kW；3轴消耗功 率2.98kW。4轴 转速183.5r/min， G=80GPa。取 [t] =40 MPa, [’] =1.5º /m。 求：设计4轴的直径。 解： 计算力偶矩
44
可得
所以
最大切应力为
t max
T max It
注意：厚的地方切应力大
45
切应力分布
46
开口薄壁圆管的切应力分布
47
型钢的It的修正
1 3 I t hi i 3
角钢 =1.00，槽钢 =1.12，T字形 钢 =1.15，工字钢 =1.20
48
闭口薄壁杆件的自由扭转 (单孔)
画出扭矩图
8
画出扭矩图
可得到：
Tmax 155 N m
由强度条件
t max
Tmax 16Tmax 3 [t ] Wt πD
16Tmax D 3 0.0272 m π[t ] Tmax 180 Tmax 180 由刚度条件 max 4 GI p π G (π D / 32) π
取微元dA=rddr，其上应力的合力为
dA
O
F
Tr dF t dA r d dr Ip
T F = dF cos A Ip
π 4 π 4
cos d r dr
2 0
13
r
题3.15解(续)
T F = dF cos A Ip T = Ip
3
128F 2 D 2 r 2 u Gπ 2 d 8 2G
26
忽略剪力的变 形能，由于切 应力为
单位体积的变 形能为
2 tr
总变形能为
128F 2 D 2 U u dV V Gπ 2 d 8
0
2π
d 2 0
r 3d dr
nπD
0
4F 2 D 2 n ds Gd 4
15
16
例3.5 把轴预加力偶矩Me后焊筒，然后解除Me 。
轴和筒的抗扭刚度为G1IP1和G1IP2。求扭 矩。(装配应力、超静定问题)
17
例3.5 解
先扭后焊，属装配应力问题
先求在Me作用下的杆的扭转角：
M el G1 I p1
焊接并释放Me后，杆的扭转角 减小，筒的扭转角增加，且：
矩形截面杆扭转的扭转角
Tl 3 Gbhb
3 GIt=Gbhb
Tl
GIt
34
矩形截面杆扭转时的系数
35
矩形截面杆扭转切应力
狭长矩形截面
a b 0.333
h
t max
T 1 2 h 3 Tl 1 3 G h 3
厚度
36
矩形截面杆扭转切应力
狭长矩形截面
矩形截面结论延伸
Tl GI p
GIp 圆轴的抗扭刚度。
n
4
d T 单位长度扭转角 ' d x GI p
T 等直圆轴且扭矩不变时 ' l GI p Tmax ' max 刚度条件 [ ' ] ( rad/m ) GI p
若 的单位为“度”，则
' max
题3.15
wk.baidu.com
四分之一截面上内力系合 力的大小、方向、作用点。
T
11
题3.15解
整圆切应力对O点之矩=？
m O T
由对称性，四分之一圆的 切应力对O点之矩为
T
O
T 4
12
题3.15解(续)
由切应力分布规律可知
切应力合力作用点必定在45°对称轴上， 设大小为F，则F对O点的矩必须为T/4
积分之
π 4 π 4
cos d r dr
2 0
r
r πr 2 2 T 2 Ip= = 3 2 3π r T 由mO F = 即可求得F作用点的位置 4 3πr 2 2 T T rF = F rF = rF = 8 2 3π r 4
4
14
题3.16
内力如何平衡?
3 1 1 3 2 2 3 i i
42
h G T l 3
使用记号
3 i i
h It 3
Tl GI t
3 i i
可得
43
由切应力公式
ti
Ti 1 2 hi i 3
及
1 2 i
Ti l Tl 1 3 GI t G hi i 3 Ti ti It
M el GI p
可得：
4 It S
2
55
例3.8
比较开口和闭口截面杆的强 度和刚度，r 和 已知
t1
T 1 2 h 3
3T 2 2πr
3Tl Tl 1 1 3 2πr 3G G h 3
56
πr
2
S 2πr
T t2 2 2 2πr TlS Tl 2 2 3 4G 2Gπr
51
闭口薄壁杆件的自由扭转的变形 t T t 由切应力公式 2
其中T与外力偶矩Me 相等,故上式可写为
t
2
Me t 2
2
Me 应变比能为 u 2 2 2G 8G 2 dV内的变 Me dU u dV dxds 2 形能为 8G
52
总变形能为
M e l ds Me U ds dx 2 l 8G 2 8G 1 外力所作的功为 W M e 2
t max
8FD 4c 1 0.615 8FD k 3 3 c πd πd 4c 4
D c d 4c 1 0.615 k 4c 4 c
23
簧丝的强度条件是
tmax [t]
螺旋弹簧的曲度系数k
c 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
k c k
2
2
由功能原理 可得
UW
M el 2 4G
ds
53
闭口薄壁杆件自由扭 M el ds 转的变形公式 2
4G
等壁厚杆件最为常 见,上式可简化为
M elS 2 4G
式中S为中线周长
54
闭口薄壁杆件自由扭 转的变形公式
M elS 2 4G
比较：
h
若面积及 相同 则
t max相同
37
矩形截面杆扭转切应力
矩形截面结论延伸 开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力
38
*§3.8 薄壁杆件的自由扭转
39
两类薄壁杆件
开口薄壁杆件
闭口薄壁杆件
40
开口薄壁杆件的自由扭转
分成多个矩形截面杆件，若整体扭转角为 ， 则各个矩形杆件的扭转角1、 2 、、 i 、 为
材 料 力 学
作业:
第 三章
3 . 14 3 . 15 (思考题)
扭 转
（续）
3 . 16 3 . 17 (思考题) 3 . 20
2013年9月13日
1
简单复习
外力偶矩如何计算？计算公式中各量的意义及单位 是什么？ 什么是剪切胡克定律？ E、μ、G的关系如何？ 什么是切应力互等定理？ 受扭圆轴横截面上的切应力如何计算？如何分布？ 什么是IP，Wt？圆截面的IP，Wt如何计算？ 空心圆截面的IP，Wt如何计算？ 最大切应力如何计算？ 强度条件？ 受扭圆轴横截面上的扭矩与横截面的相对扭转角的 关系如何？刚度条件？
由切应力互等定理得到的结论
角点切应力等于零 边缘各点切应力沿切线方向
31
矩形截面杆扭转切应力
切应力分布
•角点切应力 等于零 •边缘各点剪 应力沿切线 方向 •最大切应力 发生在长边 中点
32
T
矩形截面杆扭转切应力 切应力分布
t max
T 2 ahb
（长边中点处〕
t1ntmax
（短边中点处〕
33
63
1 2
M el T1l T2l 即： G1 I p1 G2 I p2 G1 I p1 T1 T2 0 由平衡方程，应有：
18
例3.5 解
M el T1l T2l G1 I p1 G2 I p2 G1 I p1
T1 T2 0
最后可得：
T1 T1
M eG2 I p2 G1 I p1 G2 I p2
19
§3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的 应力和变形
20
由平衡方程得
Fs F
FD T 2
由剪力引起的切应力， 近似认为均匀分布
Fs 4 Fs t1 2 A πd
21
由扭矩引起的切应力，近 似认为与受扭直杆相同
t 2max
T 8FD 3 Wt πd
由功能原理得
1 4F 2 D2n Fl 2 Gd 4
所以
8FD 3n 64FR3n l 4 Gd 4 Gd
27
令
Gd Gd C 3 3 8D n 64 R n
F l C
4
4
得
28
§3.7 非圆截面杆扭转的概念
29
矩形截面杆扭转切应力
变形特征
平面假设不再成立
30
矩形截面杆扭转切应力
2
§3. 5
圆轴扭转时的变形
扭转变形 扭转角 两个横截面绕轴线的相对转角。 微段的扭转角
d T ' d x GIp
T d dx GI p
整体的扭转角
T dx 0 GI p
l
3
整体的扭转角
T dx 0 GI p
l
等直圆轴且扭矩不变时
Ti li 台阶轴或扭矩分段变化 GI i 1 pi d T 单位长度扭转角 ' d x GI p
49
FS1 t11x FS 2 t 2 2 x
由于FS1＝FS2得
t 11 t 2 2
所以
t t 常量
剪力流
50
T t d s r t r ds
s s
上述积分为截面中线包 围的面积的两倍
T 2t
T t 2
t T 最大切 t max 应力为 min 2 min
1 2 i
整个截面上的扭矩应等于各个部分的扭矩和
T T1 T2 Ti
41
由扭转角公式
Tl 3Tl 3 3 G b hb Gh
可得
h h G h T l 3 3 3 3 hi i G l 3
M eII
PII 39.3 N m 9549 n
6
计算力偶矩
PII M e II 9549 n 39.3 N m PIV M eIV 9549 n 155 N m
取4轴, 受力如图
M
x
0
M eIII .3 N m 194
7
计算力偶矩
M eII
PIV 39.3 N m, M eIV 9549 n M eIII 194.3 N m
1.4 7.5 1.20
1.35 8 1.18
1.31 8.5 1.17
1.28 9 1.16
1.25 9.5 1.15
1.23 10 1.14
1.21 12 1.12
24
弹簧的变形
在弹性范围内，F与 伸长量l成正比
25
用能量法推导弹簧的变形
外力所作的功为
1 W Fl 2
1 FD r Tr 16 FD r 2 tr 4 πd Ip πd 4 32
两种切应力同时作用，则簧 丝横截面内侧有最大切应力
t max
4F FD 8FD 8d t1 t 2max 23 πd 3 1 πd 2 D πd
22
由于d« 2D,上述切应力近似等于
t max
8FD 3 πd
由于上述推导的近似性，上述切应力 公式存在一定误差。可修正如下：
9
由强度条件
D 0.0272 m
由刚度条件
' max
Tmax Tmax 180 180 [ ' ] 4 GI p π G (π D / 32) π 32Tmax 180 D 4 0.0297 m 2 Gπ [ ]
最后取： D 30 mm 由刚度条件控制 说明： 本题实际上是弯扭组合 变形的问题。
T
57
t1 r 3 t2
设 r
10，则
1 r 3 2 1 t1 300 30 2 t2
2
58
59
60
61
矩形截面上切应力分布
T
62
小结
圆轴扭转时的变形计算公式。 刚度条件。 矩形截面杆受扭时截面上的应力分布。 狭长矩形截面的最大应力、扭转角计算公式。 开口截面的抗扭特点。 闭口截面的抗扭特点。
Tmax 180 /m [ ' ] ( º ) GI p π
5
例 3.4 已知：1、2轴共 消耗功率0.756 kW；3轴消耗功 率2.98kW。4轴 转速183.5r/min， G=80GPa。取 [t] =40 MPa, [’] =1.5º /m。 求：设计4轴的直径。 解： 计算力偶矩
44
可得
所以
最大切应力为
t max
T max It
注意：厚的地方切应力大
45
切应力分布
46
开口薄壁圆管的切应力分布
47
型钢的It的修正
1 3 I t hi i 3
角钢 =1.00，槽钢 =1.12，T字形 钢 =1.15，工字钢 =1.20
48
闭口薄壁杆件的自由扭转 (单孔)
画出扭矩图
8
画出扭矩图
可得到：
Tmax 155 N m
由强度条件
t max
Tmax 16Tmax 3 [t ] Wt πD
16Tmax D 3 0.0272 m π[t ] Tmax 180 Tmax 180 由刚度条件 max 4 GI p π G (π D / 32) π
取微元dA=rddr，其上应力的合力为
dA
O
F
Tr dF t dA r d dr Ip
T F = dF cos A Ip
π 4 π 4
cos d r dr
2 0
13
r
题3.15解(续)
T F = dF cos A Ip T = Ip
3
128F 2 D 2 r 2 u Gπ 2 d 8 2G
26
忽略剪力的变 形能，由于切 应力为
单位体积的变 形能为
2 tr
总变形能为
128F 2 D 2 U u dV V Gπ 2 d 8
0
2π
d 2 0
r 3d dr
nπD
0
4F 2 D 2 n ds Gd 4
15
16
例3.5 把轴预加力偶矩Me后焊筒，然后解除Me 。
轴和筒的抗扭刚度为G1IP1和G1IP2。求扭 矩。(装配应力、超静定问题)
17
例3.5 解
先扭后焊，属装配应力问题
先求在Me作用下的杆的扭转角：
M el G1 I p1
焊接并释放Me后，杆的扭转角 减小，筒的扭转角增加，且：
矩形截面杆扭转的扭转角
Tl 3 Gbhb
3 GIt=Gbhb
Tl
GIt
34
矩形截面杆扭转时的系数
35
矩形截面杆扭转切应力
狭长矩形截面
a b 0.333
h
t max
T 1 2 h 3 Tl 1 3 G h 3
厚度
36
矩形截面杆扭转切应力
狭长矩形截面
矩形截面结论延伸
Tl GI p
GIp 圆轴的抗扭刚度。
n
4
d T 单位长度扭转角 ' d x GI p
T 等直圆轴且扭矩不变时 ' l GI p Tmax ' max 刚度条件 [ ' ] ( rad/m ) GI p
若 的单位为“度”，则
' max