与角平分线有关的计算证明 问题

有关角平线问题综合复习

有关角平分线的知识点：角平分线上的点到这个角的两边距离相等；逆定理：到角的两边距离相等的点在角平分线上。三角形的三条角平分线交于一点。

常用的一般性结论：两内角平分线相交所成钝角等于900+第三个角的一半; 两外角的平分线相交所成的锐角等于900-第三个角的一半；一条内角平分线与一条外角平分线相交所成的锐角等于第三个角的一半。

如果BO,CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，则有 ∠BOC=90°+

1

2

∠A 。 如果BO,CO 分别平分∠NBC 、∠MCB ， 则有∠BOC=90°-

1

2

∠A 如果BP ,CP 分别平分∠ABC 、∠MCA ，则有∠P= 12

∠A

A

M

O

N

P

B

B M

解决相关问题常添加辅助线：已知角平线上的点，向角的一边（或两边）作垂线，得出相等线段；根据对称性，在角的一边截取相等线段构造全等三角形；题中有平行线，角平分线想到一定存在等腰三角形，运用等腰三角形的性质解题。

1.在△ABC中，∠ABC=600，∠ACB=400，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，（1）如图，求∠BDC的度数；（2）如图，连接AD，作DE⊥AB于点E，DE=2，AC=4，求△ADC的面积

解：（1）∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，

∴∠DBC= 1

2∠ABC , ∠DCB= 1

2

∠ACB

∵∠ABC=600，∠ACB=400，

∴∠DBC=300,∠DCB=200

∴∠BDC=1800-(∠DBC+∠DCB)=1300.

(2)过点D分别作DH⊥BC,DF⊥AC垂足为H,F ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB

∴DE=DH=DF=2

∵AC=4

∴S△ACD=1

2

AC·DF=4

2.如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC 和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD=4，则△ABC的面积是多少？

解析：连接AM，过点M作ME⊥AB,NF⊥AC垂足为E,F.

∵MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，

∴ME=MD=MF=4

∴S△ABC=S△BMC+S△AMC+S△AMB

=1

2BC·DM+1

2

AC·MF+1

2

AB·NE

=1

2

×2(BC+AC+AB)

∵△ABC的周长是16

∴S△ABC=1

2

×2×16=16

3.已知点P到△ABC三边的距离相等，DE∥AC，AB=1.8cm,BC=6cm,求△BDE的周长？

解析：∵点P到△ABC三边的距离相等，

∴BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB

∴∠PBC=∠PBD,∠PCB=∠PCE

∵DE∥AC

∴∠DPB=∠PBC,∠EPC=∠PCB

∴∠DPB=∠PBD,∠PCE=∠EPC

∴PD=DB,PE=EC

∵△BDE的周长=AD+DP+PE+AE

∴△BDE的周长=AD+DB+CE+AE

=AB+AC=7.8cm

4.如图，射线OC是∠AOB的平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP=4，若点Q是射线OB上一点，OQ=3，求△ODQ的面积。

解析：过点D作DH⊥OB,垂足为H

∵OC是∠AOB的平分线，DP⊥OA

∴DH=DP=4

OQ·DH=6

∴△ODQ的面积=1

2

5.如图，∠AOE=∠BOE=150,EF∥OB,EC⊥OB,若EC=2，则EF的长是多少

解析：过点E作ED⊥OA，垂足为D

∵∠AOE=∠BOE=150，EC⊥OB,

∴DE=CE=2

∵EF∥OB

∴∠FEO=∠EOC=∠EOF=150,

∴∠EFD=∠EOF+∠FEO=300,

∴EF=2DE=4

6.如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF。以

下结论：①AD∥BC; ②∠ACB=2∠

ADB; ③∠ADC=900-∠ABD; ④BD

平分∠ADC；⑤∠BDC=∠BAC,其中

正确的结论有______（填序号）

解析：∵∠EAB=∠ABC+∠ACB

又∵AD平分∠EAC

∴∠EAB=2∠EAD

∵∠ABC=∠ACB，

∴∠ABC+∠ACB=2∠ABC

∴2∠EAD=2∠ABC,

即∠EAD=∠ABC ，∴AD∥BC

（2）∵AD、BD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC。

∠ACB，即∠ACB=2∠ADB;

∴∠ADB=1

2

（3）∵AD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、外角∠ACF。

∴∠ADC=900-1

∠ABC

2

∵BD分别平分△ABC的内角∠ABC

∴∠ABD=1

∠ABC

2

∴∠ADC=900-∠ABD;

7.如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=6，AC=3，则BE 长是多少？