假设检验与区间估计

一个例子

甲、乙两人做游戏，由甲掷一枚硬币。两人约定，出现正面向上则甲胜，否则乙胜。若连续5次均正面向上，这时乙一定会认为甲做了假。分析一下，开始乙认为游戏是公平的，即有这样的看法：P（正面向上）=1/2。于是P（连续5次出现正面向上）= 5

。这是小概率事件，居然在1次试验中发生了。因(1/2)0.03

而乙否定了原来的看法（假定），认为P（正面向上）=1/2不成立，甲就是做假了。

再看一个例子

某餐厅每天营业额服从正态分布，以往老菜单其均值为8000元，标准差为640元。一个新菜单挂出后，九天中平均营业额为8300元，经理很想知道这个差别是否是由于新菜单而引起的。

建立假设，为了评估新菜单的好坏，先建立一个命题：“新老菜单的平均营业额之间无差异”。这个命题为原假设，记为

H。假设检验就是要确定这个原假

设是真还是假。

如果能确定原假设为假时就拒绝它，那么我们将面临如下三个命题的选择：命题1：新菜单的平均营业额比老菜单高

命题2：新菜单的平均营业额不如老菜单

命题3：新老菜单的平均营业额之间有显著差异

小概率原则：小概率事件在一次观察中基本不发生。

假设检验有两个特点

第一，假设检验用了反证法。为了检验一个假设是否成立，人们首先假设它是真的，观其会产生什么后果，如果导致了一个不合理的现象出现，则认为假设是不合理的，拒绝假设。反之，如果没有导致不合理的现象出现，则认为假设是合理的，接受假设。

第二，假设检验采用的反证法区别于一般的反证法。假设检验中所采用的反证法是带有概率性质的反证法。所谓假设的不合理，不是绝对的矛盾，而是基于

人们在实践中广泛采用的小概率事件的几乎不可能原则。

区间估计与假设检验的异同

★区间估计与假设检验均为根据样本信息推断总体的参数问题。

★区间估计是根据样本资料估计总体参数的真值，而假设检验是根据样本资料检验总体参数的先验假设是否成立。

★区间估计通常求以样本估计值为中心的双侧置信区间，而假设检验不仅有双侧检验也有单侧检验。

★区间估计立足于大概率，即置信度，而假设检验立足于小概率，即显著性水平。 区间估计与假设检验的异同（续）

两者都是根据样本信息对总体参数进行推断，都以抽样分布为理论依据，都建立在概率论基础上，推断结果都有一定的可信程度或风险，对同一实际问题的参数进行推断，使用同一样本、同一统计量、同一分布。所以，两者可以相互转换。这种相互转换形成了区间估计与假设检验的对偶性。

例如

可见，区间估计中的置信间对于假设检验接受域，置信区间之外的区域就是拒绝域。

评价区间估计的两个标准

（1）估计的可靠度。置信度1α-反映了区间估计的可靠度。如置信水平

1α-=0.95，说明估计区间（12

ˆˆ,θθ）以95%的概率包含总体的参数θ。或者说，100个这样的估计区间中，平均有95个包含了总体参数θ。

220~(0,1)

)1()(),,,X X X X X Z N Z P Z X X X Z Z Z ααααααασσμσαα

α

μαμσσμσμμ=-=≤=->=≤-≤-≤≤+=≤2X 222

若总体方差已值，则有

在一定置信水平（1-）下，有

P(Z Z 当总体均值未值，则在（1-）下的置信区间为

-Z Z Z Z 若事先假设可求出统计量当时，不属于小概率事件，

应接受原假设。反之，拒绝原假设。

（2）估计的精确度。区间的长度21

ˆˆθθ-反映了区间估计的精确度。当区间的长度愈大，估计区间包含真值θ的可能性也就愈大，但是估计也愈不精确。

因此，可靠度和精确度是相互矛盾的。