线性系统的稳定性分析
线性系统的稳定性分析实验报告
线性系统的稳定性分析实验报告本实验旨在对线性系统的稳定性进行分析，包括定义稳定性、利用极点分布法分析稳定性、利用本征模态分析稳定性、以及使用Matlab进行稳定性分析等内容。
一、实验背景稳定性是控制系统研究中一个非常重要的概念，它与系统的性能、可靠性、控制策略等密切相关。
简而言之，稳定性就是指当输入信号发生变化时，系统能否在一定时间范围内维持稳定状态。
对于线性系统，稳定性的分析可以通过系统的传递函数、本征模态等途径进行求解。
二、实验设备（1）计算机（2）Matlab软件三、实验过程及结果1.定义稳定性在控制系统稳定性分析中，一般都是针对线性时不变系统进行讨论。
对于线性时不变系统，我们可以采用两种常用的定义方法来判断其稳定性：（1）定义1：系统是稳定的，当且仅当系统的输入信号有界时，系统的输出信号也有界。
（2）定义2：系统是稳定的，当且仅当系统的特征方程所有极点的实部均小于0。
2.利用极点分布法分析稳定性极点分布法是一种常用的线性时不变系统稳定性分析方法，通过计算系统的特征方程的极点分布来判断系统的稳定性。
例如，现有一个传递函数为G(s)= 1/ (s+1)(s-2)的系统，可以写出系统的特征方程：s^2-s-2=0求解特征方程，得到系统的两个极点为s1=2,s2=-1，其中s2=-1的实部小于0，符合定义2的稳定性判断标准，因此该系统是稳定的。
3.利用本征模态分析稳定性本征模态是指一组特定的正交基，通过它们可以表示出系统的任意初始状态和任意输入下的响应。
因此，本征模态分解法是一种可以用来分析线性可逆系统稳定性的工具。
例如，现有一个传递函数为G(s)= 1/(s+3)的系统，对应的状态空间方程为：x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)其中，A=[-3]，B=[1]，C=[1]，D=0。
求解系统的本征值，得到该系统的特征根为-3，证明该系统是非常稳定的。
因此，该系统满足定义2的稳定性判断标准。
线性系统的稳定性分析
将 0.2,n 86.6代入特征方程得
s3 34.6s2 7500s 7500K 0
由特征方程列劳斯表
s3
1
7500
s2 34.6
s1 346 7500 7500K
34.6
s0 7500K
7500K
要使系统稳定，必须满足
7500K 0
解不等式得
34.6 7500 7500K 0 34.6
3.线性定常系统稳定的充分必要条件：闭环 系统特征方程的所有根都具有负实部。这个 结论好像也不新鲜。有意义吗？
二、劳斯稳定判据
由以上讨论可知：判稳先求根。但是， 对高阶系统，在求根时将会遇到较大的困 难。人们希望寻求一种不需要求根而能判 别系统稳定性的间接方法，例如:直接用系 数就可以判断系统的稳定性。而劳斯判据 就是其中的一种。
号（正值）时，则系统是稳定的，否则系统是 不稳定的。且不稳定根的个数等于劳斯表中第 一列系数符号改变的次数。
注意：a0>0
例1：已知系统的特征方程如下,试用劳斯判据分析系统的稳定性。
s5 6s4 14s3 17s2 10s 2 0
解 列劳斯表 s5
1
14
10
s4
6
17
2
s3
6 14 117 67
2.物理意义上的稳定概念
A'
Af
f A
图a 摆运动示意图 （稳定系统）
图b 不稳定系统
d c
f A
图c 小范围稳定系统
3.数学意义上的稳定概念
根据上述稳定性的定义，可以用 (t) 函数作 为扰动来讨论系统的稳定性。
设线性定常系统在初始条件为零时，输入一 个理想单位脉冲 ， (这t) 相当于系统在零平衡状态 下，受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于∞ 时，系统的输出响应c(t)收敛到原来的零平衡状 态，即
线性系统稳定性分析与控制设计
线性系统稳定性分析与控制设计
在控制系统中，稳定性是一个非常重要的概念。
简单来说，稳定性指的是系统在受到外部干扰或内部扰动时，能够维持其输出的稳定性质。
对于线性系统而言，稳定性可以通过系统的极点分布来进行分析和设计控制策略。
线性系统的稳定性分析通常需要确定系统的传递函数和极点分布。
系统的传递函数是描述系统输入和输出之间关系的一个数学表达式，可以通过控制器的设计和实验测试来确定。
极点分布则是指系统的特征根，它们决定了系统的稳定性。
对于一般的线性系统而言，其稳定性可以通过判断其所有极点的实部是否小于零来进行判定。
如果所有极点的实部均小于零，则系统是稳定的。
相反，如果存在极点的实部大于或等于零，则系统是不稳定的。
在这种情况下，系统的输出会无限增长，导致系统失控。
这种分析方法被称为极点追踪方法。
其基本思路是通过控制器设计来改变系统极点分布，以达到稳定的目的。
具体而言，就是通过设计控制策略，将系统极点分布移动到左半平面，从而保证系统稳定。
在实际控制系统中，线性系统的稳定性分析和控制设计是非常重要的。
通过研究系统的传递函数和极点分布，可以确定合适的控制器类型和参数，从而提高系统的稳定性和性能。
总的来说，线性系统的稳定性分析是控制系统设计中必不可少的一个环节。
通过合理的控制器设计和稳定性分析，可以提高控制系统的鲁棒性和稳定性，实现系统的优化控制。
自动控制原理课件：线性系统的稳定性和稳态特性分析
上述系统在干扰作用消失后，能够恢复到 原始的平衡状态，或者说系统的零输入响应具 有收敛性质，则系统为稳定的。
由此可得到线性系统稳定的充分必要条件: 系统特征方程的所有根（系统的所有闭环极点），均位于复数s平面的左半部．
系统给定误差传递函数为
Er (s) R(s)
1 1 G(s)
1
1 K (0.5s 1)
s(s 1)(3s 1)
Er
(s)
s(s
s(s 1)(3s 1) 1)(3s 1) K (0.5s
1)
R(s)
esr
lim
s0
sEr
(s)
lim s
s0
s(s 1)(3s 1)
1
s(s 1)(3s 1) K(0.5s 1) s
3.3 劳斯稳定判据 线性系统稳定与否，取决于特征根的实部是否均为负值（复数s平面
的左半部）．但是求解高阶系统的特征方程是相当困难的．而劳斯判据，
避免解特征方程，只需对特征方程的系数进行代数运算，就可以判断系统
的稳定性，因此这种数据又称为代数稳定判据．
１．劳斯判据 将系统的特征方程写成如下标准形式
下面要讨论系统跟踪输入信号的精确度或抑制干扰信号的能 力．
这里讨论的稳态误差仅限于由系统结构、参数及输入信号的不 同而导致的稳态误差，不包含由于具体元件的灵敏性、温湿度影响所 带来的误差问题。
控制系统的输入包含给定输入和扰动量， 对应的控制系统的稳态误差也分为两类：
给定稳态误差
扰动稳态误差
Er (s) R(s) B(s) R(s) Er (s)Gc (s)Go (s)H(s)
3.5线性系统稳定性分析
列劳斯表如下: D(s) s4 3s3 3s2 2s K 0
s4
1
s3
3
3K 20
s2 7/3
K
s1 2 9K
7
s0 K
根据劳斯判据, 系统稳定必须满足：K 0,2 9K 0 7
因此, 使系统闭环稳定的K的取值范围为 0 K 14 9
在这种情况下，利用全为零行的上一行的系数，可 组成一个辅助方程，并用这个辅助方程导数的系数取 代全零行各项，最后用劳斯判据加以判断。由辅助方 程可以求出绝对值相等符号相异的特征根。
例题：一个控制系统的特征方程为
D(s) s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0
列劳斯表 S6 S5 S4 S3
1 1 0
2
a1 a0
a3 1 a2 2
5＝3 10 7 0 3
2、劳斯稳定判据
(1)系统稳定的必要条件是特征方程的所有系数 ai>0均大于零。 ①不缺项。 ②系数同号。
它是系统稳定的必要条件，也就是说，只能用来 判断系统的不稳定而不能用来判别稳定。
(2)劳斯判据：线性系统稳定的充要条件是劳斯 表中第一列所有项系数均大于零，第一列系数变
根据特征方程系数判定系统稳定性
1、赫尔维茨稳定判据
D(s) 2s2 8s 12 0
（1）必要条件：ai>0（ ①不缺项， ②系数同号）。若不满 足ai>0，则系统是不稳定的。若满足，则需进一步判断。
判定以下系统的稳定性
D(s) s3 8s 12 0
D(s) s5 6s 4 9s3 2s 2 8s 12 0 不稳定
s4
1
s3
3
实验六线性系统的稳定性分析
实验六 线性系统的稳定性分析一、实验目的1．研究增益K 对系统稳定性的影响。
2．研究时间常数T 对系统稳定性的影响。
二、实验设备1. 信号与系统实验（二） 2．虚拟示波器 三、实验原理本实验是研究三阶系统的稳定性与参数K 和T 的关系。
图6-1为实验系统的方块图。
它的闭环传递函数为K1)S 1)(T S S(T T KR(s)C(s)213+++=图6－1 三阶系统方块图系统的特征方程为T 1T 2T 3S 3+T 3（T 1+T 2）S 2+T 3S+K ＝0 （1）1.令T 1＝0.2S ，T 2＝0.1S ，T 3＝0.5S ，则上式改写为S 3+15S 2+50S+100K ＝0应用Routh 稳定数据，求得该系统的临界稳定增益K ＝7.5。
这就意味着当K>7.5时，系统为不稳定，输出响应呈发散状态；K<7.5，系统稳定，输出响应最终能趋于某一定值；K ＝7.5时，系统的输出响应呈等幅振荡。
2．若令，K ＝7.5，T1＝0.2S ，T3＝0.5S ，改变时间常数T2的大小，观测它对系统稳定性的影响。
由式（1）得0.1T 2S 3+0.5（0.2+T 2）S 2+0.5S+7.5＝0排Routh 表： S 3 0.1T 2 0.5 0 S 2 0.5（0.2+T 2） 7.5 0S 1 )T 0.5(0.20.75T )T 0.25(0.2222+-+S 0 7.5 若要系统稳定必须满足 T 2>00.25(0.2+T 2)-0.75T 2>0，解得 T 2<0.11s即 0<T 2<0.11s 时系统才能稳定。
四、实验内容及步骤：1．按K ＝10，T1＝0.2S ，T2＝0.05S 和T3＝0.5S 的要求，设计相应的实验电路图。
观察并记录该系统的单位阶跃响应曲线。
2．T1＝0.2S ，T2＝0.1S ，T3＝0.5S ，观察并记录K 分别为5、7.5和K ＝10三种情况下的单位阶跃响应曲线。
线性系统的稳定性分析与判据
线性系统的稳定性分析与判据稳定性是线性系统分析中的重要概念，它描述了系统在输入和干扰下的响应是否趋于有界。
稳定性分析和判据在控制工程、通信工程等领域具有广泛的应用。
本文将介绍线性系统稳定性的基本概念、分析方法和判据。
一、线性系统稳定性的基本概念线性系统由一组线性方程表示，可用状态空间模型描述。
在进行稳定性分析之前，我们先来了解一些基本概念。
1. 输入与输出：线性系统接收一个或多个输入信号，并产生相应的输出信号。
输入和输出可以是连续的信号或离散的序列。
2. 状态：系统的状态是指能够完全描述系统行为的一组变量。
状态可以是连续的或离散的，通常用向量表示。
3. 零状态响应与完全响应：零状态响应是指系统在无外部输入的情况下的输出。
完全响应是指系统在有外部输入的情况下的输出。
4. 稳定性：一个线性系统是稳定的，当且仅当其任何有界的输入所产生的响应也是有界的。
如果系统输出在有界输入下有界，我们称系统是BIBO（Bounded-Input, Bounded-Output）稳定的。
二、系统稳定性的分析方法稳定性分析主要通过判定系统的特征值来实现。
系统的特征值决定着系统的响应特性，在稳定性分析中起着关键作用。
1. 特征值分析：特征值是描述系统动态特性的重要指标。
对于连续系统，特征值是状态方程的解的指数项；对于离散系统，特征值是状态方程的解的系数。
通过计算特征值，可以判断系统的稳定性。
2. 极点分析：极点是特征值的实部和虚部共同确定的。
稳定系统的特征值的实部都小于零，不稳定系统至少有一个特征值的实部大于零。
3. 频域分析：稳定性分析还可以通过频域方法进行。
常见的频域分析方法包括幅频响应法和相频响应法。
通过分析系统的频率特性，我们可以得到系统的稳定性信息。
三、线性系统稳定性的判据除了特征值分析和频域分析，我们还可以利用一些判据来判断系统的稳定性。
1. Nyquist准则：Nyquist准则是常用的稳定性判据之一。
通过计算系统的传递函数在复平面上的闭合轨迹，可以判断系统的稳定性。
线性系统稳定性分析
线性系统的时域分析法>>线性系统的稳定性分析
注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结
构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极
点有关，与零点无关。
对于一阶系统，a1s
系统是稳定的。
a0
0,
s
a0 a1
,
只要
a0 , a1 都大于零，
对于二阶系统，a2s2 a1s a0 0, s1,2 a1
g1
线性系统的时域分析法>>线性系统的稳定性分析
以下各项的计算式为：
an an2
b1
an1 an3 an1an2 anan3
an1aΒιβλιοθήκη 1an an4b2
an1 an5 an1an4 anan5
an1
an1
an an6
b3
an1 an7 an1an6 anan7
an1
an1
s
例：P70 稳定程度应用
线性系统的时域分析法>>线性系统的稳定性分析
[例]：系统的特征方程为： s5 2s4 s3 3s2 4s 5 0
s5 1
1
s4 2
3
s 3 0.5 1.5
s2 9
5
s1 32 0
9
s0 5
0
4
5
0 -1 3 0（ 2）
0
0
1
0
0（
9 32
）
0
劳斯阵第一列有负数， 系统是不稳定的。其 符号变化两次，表示 有两个极点在s的右半 平面。
a12 4a2a0 2a2
只有 a0 , a1, a2 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）
线性系统的稳定性分析ppt
03
时域仿真法
利用计算机仿真技术，对线性时变系统进行时域仿真。通过观察系统状
态变量的时域响应曲线，判断系统的稳定性。若系统状态变量最终趋于
零或稳定在某个固定值附近，则系统稳定。
PART 05
线性系统稳定性优化与控 制
系统稳定性优化方法
频域分析法
通过频率响应函数判断系 统稳定性，采用频域校正 方法如超前、滞后校正优 化系统性能。
根轨迹法
利用根轨迹图分析系统稳 定性，通过调整开环增益 或引入附加零点、极点改 善系统性能。
状态空间法
基于状态空间模型分析系 统稳定性，采用状态反馈 或输出反馈控制策略进行 系统优化。
控制器设计与实现
PID控制器
根据系统性能指标设计PID控制器 参数，实现闭环控制并优化系统 稳定性。
最优控制器
应用最优控制理论设计控制器，如 线性二次型调节器（LQR）或线性 二次型高斯控制（LQG），以实现 系统性能最优。
根轨迹法
01
02
03
根轨迹绘制
根据系统开环传递函数的 零点和极点，绘制根轨迹 图。
根轨迹分析
通过观察根轨迹的走向、 交点和与虚轴的相对位置， 判断系统在不同参数下的 稳定性。
根轨迹与系统性能
通过分析根轨迹与系统性 能指标（如超调量、调节 时间等）的关系，进一步 评估和优化系统性能。
PART 04
PART 03
线性时不变系统稳定性分 析方法
时域分析法
初始状态响应法
01
通过分析系统对初始状态的响应来判断稳定性，如系统的零输
入响应是否趋于零。
脉冲响应法
02
利用系统的脉冲响应函数，观察系统对脉冲输入的响应是否收
线性系统的稳定性分析与控制
线性系统的稳定性分析与控制线性系统的稳定性是控制理论中的重要概念，对于系统设计和控制算法的选择具有重要的指导意义。
本文将对线性系统的稳定性分析与控制进行探讨，并介绍一些常用的稳定性分析方法和控制策略。
一、线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性可以通过系统的特征方程来进行判断。
特征方程是描述系统动态行为的一个重要方程，其形式为 sI-A=0，其中s是复变量，I是单位矩阵，A是系统的状态矩阵。
1.定态响应法定态响应法是一种简单直观的稳定性分析方法。
通过对特征方程的根进行判断，可以得到系统的稳定性信息。
如果特征方程的所有根都具有负的实部，即根的实部小于零，那么系统是稳定的；如果特征方程存在根具有正的实部，那么系统是不稳定的。
2.奇异值分析法奇异值分析法是一种基于矩阵理论的稳定性分析方法。
通过计算系统的奇异值，可以得到系统的稳定性信息。
如果系统的奇异值都小于1，那么系统是稳定的；如果系统的奇异值存在大于1的值，那么系统是不稳定的。
3.频域分析法频域分析法是一种基于信号频谱的稳定性分析方法。
通过对系统的传递函数进行频谱分析，可以得到系统的稳定性信息。
如果系统的传递函数在整个频率范围内都满足 Nyquist 准则，即曲线不绕过点 (-1,0)，那么系统是稳定的；如果系统的传递函数在某些频率点满足 Nyquist 准则，即曲线绕过点 (-1,0)，那么系统是不稳定的。
二、线性系统的控制策略线性系统的控制旨在通过选择合适的控制策略来改变系统的动态特性，使系统满足设计要求。
1.比例控制器比例控制器是一种简单的控制策略，通过调整比例增益，使系统的输出与期望值之间保持一定的比例关系。
比例控制器可以用于稳定系统的稳态误差，并改善系统的响应速度。
然而，比例控制器无法消除系统的超调和振荡。
2.积分控制器积分控制器是一种通过积分操作来减小系统稳态误差的控制策略。
积分控制器可以消除系统的稳态误差，但会增加系统的响应时间。
同时，在实际应用中需要注意积分饱和现象的出现。
线性系统稳定性分析
线性系统稳定性分析1.系统的稳定性：（1） 外部稳定：又称输出稳定，就是系统在干扰取消后，在一定时间内其输出会恢复到原来的稳定输出。
输出稳定有时描述为系统的BIBO 稳定，即有限的系统输入只能产生有限的系统输出。
（2） 内部稳定：主要针对系统内部状态，反映的是系统内部状态受干扰信号的影响情况。
当干扰信号取消后，若系统的内部状态会在一定时间内恢复到原来的平衡状态，则称系统状态稳定。
经典控制论中，研究对象都是高阶微分方程或传递函数描述的单输入单输出（SISO ）系统，反映的仅仅是输入与输出的关系，不涉及系统的内部状态，因此经典控制论只讨论系统的输出稳定问题。
对于系统内部状态稳定问题，经典控制论中的方法就不好发挥作用了，需要用到Lyapunov 稳定性理论。
2.平衡状态：设控制系统齐次状态方程为：0.0(,)()|t t X f X t X t X ===，其中，()X t 为系统的n 维状态向量，f 是有关状态向量X 以及时间t 的n 维矢量函数，f 不一定是线性定常的。
如果对所有的t ，状态e X 总满足：(,)0e f X t =，则称e X 为系统的平衡状态。
对于一般控制系统，可能没有，也可能有一个或多个平衡状态。
系统的状态稳定性是针对系统的平衡状态的，当系统有多个平衡状态时，需要对每个平衡状态分别进行讨论。
3. Lyapunov 稳定性分析（1）Lyapunov 稳定性定义设一般控制系统的解为：00()(;,)X t t X t =Φ，它是与初始时间0t 及初始状态0X 有关的，体现系统状态从00(,)t X 出发的一条状态轨迹。
设e X 为系统的一个平衡点，如果给定一个以e X 为球心，0(,)t δε为半径的n 维球域()S δ，使得从()S δ球域出发的任意一条系统状态轨迹00(;,)t X t Φ在0t t ≥的所有时间内都不会跑出()S ε球域，则称系统的平衡状态e X 是Lyapunov 稳定的。
第7章线性系统的稳定性分析
(b)外加扰动
(c)系统稳定
(d)系统不稳定
临界稳定：扰动消失后，如果系统的输出与原始 平衡状态之间存在恒定偏差，或输出维持等幅振 荡，则系统处于临界稳定状态。
稳定
临界稳定
不稳定
说明： （1）在经典控制论中，将临界稳定视为不稳定。 原因： ①在进行系统分析时，所依赖的模型通常是简化或 线性化； ②实际系统参数的时变特性； ③系统必须具备一定的稳定裕量。
t o
则系统（渐近）稳定。
b1s m 1 bm 1s bm
(s p ) [s (
i i 1 j k 1
k
n
1
j
j j )][s ( j j j )]
令xi(t)=0，此时在扰动输入n(t)作用下系统的闭 环传递函数为：
X ( s) G2 ( s ) N ( s) o 2 N ( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
b0 s m b1s m 1 bm 1s bm a0 s n a1s n 1 an 1s an
a0
b0 s m b1s m1 bm1s bm
(s p ) [s (
i i 1 j k 1
k
n
j
j j )][s ( j j j )]
假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号 δ(t)的作用，此时系统的输出为单位脉冲响应。这相当 于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题。 显然，当t→∞时，如果 lim x t 0
在控制工程中，一般取a0为正值。如果a0为负值， 则可在特征方程的两边同乘以-1使a0变成正值。则上述结 论可以归纳为：要使全部特征根s1、s2、…、sn都具有负 实部，则特征方程的各项系数a0、a1、a2、…、an均必须 为正值，即
(完整word版)线性系统的稳定性分析
第三章 线性系统的稳定性分析3.1 概述如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。
否则，系统不稳定。
一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。
因此，稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。
对于线性系统而言，其响应总可以分解为零状态响应和零输入响应，因而人们习惯分别讨论这两种响应的稳定性，从而外部稳定性和内部稳定性的概念。
应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。
然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。
李雅普诺夫(A.M. Lyapunov)稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。
本章首先介绍外部稳定性和内部稳定性的概念及其相互关系，然后介绍李雅普诺夫稳定性的概念及其判别方法，最后介绍线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析。
虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov 稳定性分析方法具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。
技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。
在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。
3.2 外部稳定性与内部稳定性3.2.1 外部稳定：考虑一个线性因果系统，如果对一个有界输入u （t ），即满足条件：1()u t k ≤<∞的输入u （t ），所产生的输出y （t ）也是有界的，即使得下式成立：2()y t k ≤<∞则称此因果系统是外部稳定的，即BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定。
注意：在讨论外部稳定性的时候，我们必须要假定系统的初始条件为零，只有在这种假定下面，系统的输入—输出描述才是唯一的和有意义的。
系统外部稳定的判定准则系统的BIBO 稳定性可根据脉冲响应矩阵或者传递函数矩阵来进行判别。
a) 时变情况的判定准则对于零初始条件的线性时变系统，设(,)G t τ为脉冲响应矩阵，则系统BIBO 稳定的充要条件是，存在一个有限常数k ，使对于一切0[,),(,)t t G t τ∈∞的每一个元0(,)(1,2,.......;1,2,.....)(,)ij tij t g t i q j p g t d k τττ==≤<∞⎰有即，(,)G t τ是绝对可积的。
线性系统的时域与频域稳定性分析研究
线性系统的时域与频域稳定性分析研究一、线性系统的定义及时域稳定性分析线性系统是指系统的输出与输入之间存在线性关系的系统，可以表示为y(t)=Ax(t)，其中A为系统的矩阵，x(t)为输入信号，y(t)为输出信号。
时域稳定性是指系统在时域的响应是否具有稳定性，即系统长时间内是否会趋于平衡状态。
对于线性系统而言，只需要分析系统的特征方程即可进行稳定性分析。
通过特征方程的根，判断系统的稳定性，具体的方法有如下两种：1. 系统稳定的充要条件是其特征方程的所有根都是复平面的左半部分，即实部小于零。
2. 如果特征方程的根中存在于虚轴上的根，那么对于系统的稳定性分析需要进行更为详细的分析。
二、线性系统的频域稳定性分析方法由于傅里叶变换的普遍性，线性系统的频域稳定性更加普遍。
频域稳定性是指系统对于所有输入信号都具有稳定性。
通常情况下，我们使用拉普拉斯变换来分析系统的频域稳定性。
对于系统输入信号X(s)，系统输出信号Y(s)，系统传递函数为H(s)，则系统的稳定性可以通过传递函数的零点和极点来分析。
通常情况下，稳定系统的传递函数H(s)的所有极点都在复平面的左半部分。
三、线性系统的稳定性分析实例为了更好地说明线性系统稳定性分析的具体方法，我们在此举一个实例来说明。
假设我们现在有一个系统，其传递函数为：H(s)=s+3 / s^2+5s+6我们需要分析该系统在时域和频域中的稳定性。
（1）时域稳定性分析由于该系统的特征方程为s^2+5s+6=0，其特征方程的根为-2,-3，均为负实数，因此该系统为时域稳定的。
（2）频域稳定性分析该系统传递函数的分母为(s+2)(s+3)，因此其极点分别为-2,-3。
由于这些极点均位于左半部分，因此该系统为频域稳定的。
四、结论线性系统的稳定性是系统分析和控制中的基础问题。
通过以上实例和方法的介绍，我们可以清晰地了解线性系统的时域与频域稳定性分析的基本步骤，这对于我们理解和掌握系统分析和控制具有重要的意义。
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6
若存在一个常数L，使得对任何 t I, x, y W都有
f (x ,t ) f (y ,t ) L x y
则称 f 在 W 上I 满足Lipschitz条件。这个定义可以推
广到W为任意有限n维空间的情形。
注：满足Lipschitz 条件可保证微分方程解的存在性和 唯一性。
第七章 线性系统的稳定性分析
参考书 1. 高为炳编著： 运动稳定性基础，高等教育出
版社, 1987 年5月
2. 黄琳： 稳定性理论，北京大学出版社, 1992 年 7月
3. 秦元勋、王慕秋、王联： 运动稳定性理论与应用, 科学出版社, 1980年
4. 王柔怀、伍卓群编： 常微分方程讲义, 人民教育出版社, 1978年5月
3. 解的存在性、唯一性及对初值的连续依赖性
定理1（存在性及唯一性定理）：对于微分方程 x& f (x ,t )
若 f (x,t) 在 WI 域内连续且满足Lipschitz 条件，则对 任意的初始条件
x(x0, t0)WI，
总存在常数a>0，使得有唯一解
x=x(t, t0, x0)
在[t0a, t0+a]上存在、对t 连续 ，且满足初始条件 x(t0)=x0。
问题：当初值变动时，对应的解如何变动？在应用上 的意义是：初值通常是用实验方法求得的，实验测得 的数据不可能绝对准确，若微小的误差会引起对应解 的巨大变动，那么所求的初值问题解的实用价值就很 小。
2. Lipschitz条件：
x& f (x ,t ),x (t 0 ) x 0 , t (t1,t 2 ) (, ) (t1,t 2 ) : I,x W R
的解,称为被扰运动，记为x (t ) x (t ,t0,x0 )。
由于平衡状态和被扰运动均为微分方程
x& f (t ,x )的解。由此可导出扰动向量
y (t ) : x xe
应服从微分方程
dd dt y dt (x xe ) f (x,t ) f (y xe ,t ) :G (y,t )
的一个解，即 f (xe ,t) 0的解。 例：考虑微分方程x& A(t)x，显然xe 0是它的 一个解并且是它的一个平衡状态。
2. 简化的平衡状态
在初始时刻 t0 时,干扰引起的状态向量 x0 与平 衡状态 xe 之差
y0 x0 xe
称为初始扰动向量。由 x0 所决定的运动过程是 x& f (x ,t )
0, 0, 使得当 x (t0) (t0) 时,有
x(t, t0, x(t0)) (t, t0, (t0)) ,
a≤t≤b , a≤ t0 ≤b
以上定理说明：若在初始时刻x (t0)和 (t0) 十分接 近，则在定义域[a, b]内的解x (t)和 (t) 也会十分
稳定性所要研究的是解的渐近性质，即当解x(t) 在t时的性状。故总假定在[t0, ) 上解是存在的。
定理2（解对初值的连续依赖性）：在定理1的条 件下，若f (x,t) 在域内连续且满足Lipschitz 条件，
则微分方程的解 x(t, t0,x0) 作为t, t0, x0的函数在它
的存在范围内是连续的, 即
此外，我们知道，描述系统的数学模型， 绝大部分都是近似的，这或者是由于量测误差， 或者是为使问题简化，而不得不忽略某些次要 因素。近似的数学模型能否如实反映实际的运 动，在某种意义上说，也是稳定性问题。
预备知识: 微分方程解的存在性及唯一性条件、
解对初值的连续依赖性。
1. 微分方程解的表示。考虑微分方程：
其中x为 n 维向量，F(x, t)为 n 维的函数向量。这时 方程（7-1）有解x=0 (满足x(t0)= 0) ，称为（7-1） 的显然解或零解。
8. Desoer, C.A. and Vidyasagar, M., Feedback systems: Input-output properties, New York: Academic Press, 1975.
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任何一个实际系统总是在各种偶然和持续 的干扰下运动或工作的。显然，我们首先要考 虑的问题是，当系统承受这种干扰之后，能否 稳妥地保持预定的运动轨迹或者工作状态，这 就是稳定性。
称为关于平衡状态xe的扰动方程，即 y&G (y,t )
其中，G (y,t )满足G (0,t ) 0。这是因为
G (0,t ) f (xe时变、非线性、多 变量系统时，我们总假定它的微分方程
满足
x& F(x,t) F(0, t)=0
(7-1) (7-2)
x& f (x ,t ) x (t 0 ) x 0
(E)
其解 x(t) 是自变量 t 的函数，而t0, x0 变动时对应的 解也随着变动，故它应该是自变量 t 与初值 t0、x0 的 函数, 可记为
x(t, t0,x0) 例如
x& x x x (t ,t 0 ,x 0 ) et t0 x (t 0 ) et t0x 0
5. 黄琳：稳定性与鲁棒性的理论基础,科学出版社， 2003年2月
6. LaSalle, J. P., Stability by Lyapunov direct method, New York: Academic Press, 1961.
7. Hahn, W., Stability of motion, New York, SpringerVerlag, 1967.
接近。
§7-1 李雅普诺夫稳定性
李雅普诺夫稳定性的概念是微分方程解对初 值的连续依赖性这一概念在无穷时间区间上的推 广和发展。因此下面讨论时均假定所研究方程的 解在无穷区间[t0, )满足存在和唯一性条件。
一、平衡状态的稳定性
1.平衡状态
考虑系统： x& f (x ,t ), x Rn
若随着时间t 的变化，状态 x=xe保持不变（即恒为 常数），则称这个状态为系统的平衡状态。由于平 衡状态也是系统的一个状态，故它是上述微分方程