数学教案(直线与圆的相切及相离关系)

教学简案

2、直线与圆的位置关系（3）

相交、相离

预备知识

平面几何中圆的相关知识

确定圆的几何要素

直线和圆的位置关系

重点

圆的方程及其求法

判定直线和圆的位置关系

难点

根据已知条件求圆的方程

判断直线和圆的位置关系

学习要求

熟练掌握圆心在原点和圆心不在原点的圆的方程的求法

会准确判断方程是否表示圆

掌握根据已知条件求圆的方程的方法

能根据给定直线和圆的相关条件，判断直线与圆的位置关系

一、 复习旧知

已知圆()()()22

2:0C x a y b r r -+-=>，直线:0L Ax By C ++=。

位置关系的判定：

判定方法1：联立方程组()()2220x a y b r Ax By C ⎧-+-=⎪⎨++=⎪⎩，得到关于x （或y ）的方程

（1）0∆>⇔相交；（2）0∆=⇔相切；（3）0∆<⇔相离。

判定方法2： 若圆心(),a b 到直线L 的距离为d ，

（1）d r <⇔相交；（2）d r =⇔相切；（3）d r >⇔相离。

二、新课讲授

1、弦长公式：若L 与C 交于A 、B 两点，求∣AB ∣

方法1：利用弦心距与半径求弦长；

方法2：利用弦长公式求弦长：211AB x x k =-+1211AB y y k =-+

2、弦中点问题：若L 与C 交于P 、Q 两点，P 、Q 的中点为M

1) 若已知圆方程与M ，求直线的方程。

2) 若已知圆方程与直线L 的斜率，求M 的轨迹。

3) 若已知圆方程，又知直线L 过定点(m ，n)，求M 的轨迹。

三、例题讲解

例1、判断直线()():11210L m x m y m ++-+-=与圆22:9O x y +=的位置关系。 例2、求圆221x y +=上的点到直线3425x y +=的距离的最大最小值

例3、求圆心在点()2,1-，且在直线10x y --=上截得的弦长为22的圆的方程。 例4、过点()1,2P -的直线l 与圆22230x y y +--=交于A 、B 两点，若使AB 最小，求直线l 的方程。

例5、若点()2,1P -为圆()2

2125x y -+=的弦AB 的中点，求直线AB 的方程。

四、练习

1. 已知对于圆()2211x y +-=上任一点(),P x y ，不等式0x y m ++≥恒成立，求

实数m 的取值范围。

2. 若圆22450x y x +--=上的点到直线340x y k -+=距离的最大值是4，求k

3. 设a +b+1=0 , 试求:22222+--+b a b a 的最小值

4. 已知实数满足：0142

2=+-+y y x （1）求y -2x 的取值范围；（2）求x y 的取值范围。

5. 求圆()22222sin 2cos cos 00x y ax by a a R a +-α-α-α=∈≠且在x 轴上截得

的弦长。

6. 已知圆C 的圆心在直线l 1：x-y-1=0上，与直线l 2：4x+3y+14=0相切，且截

直线l 3：3x+4y+10=0所得直线的弦长为6，求圆C 的方程。

7. 已知点P 是圆224x y +=上一动点，定点()4,0Q ，求线段PQ 中点的轨迹方

程。()22416039x y y ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝

⎭ 五、小结

位置关系

示意图象 代数方法 几何方法 (d 表示式见(3)) 方程组(1) 方程(2)判别式 相交

二解 ∆>0 d

一解 ∆=0 d =r 相离 无解 ∆<0 d >r

六、作业

• C l 1(相交) l 2(相切) l 3(相离)