3.4实数的运算
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➢ 课前热身
请快速口答下列各开方的结果。
1. 25 =5
2. 3 0.064 =0.4
3.
1 81
=1
9
5. 2 1 4
=3 2
7. (2)2 =2
4.3
1 27
ห้องสมุดไป่ตู้
= 1
3
6. ( 2 )2 =2
8. 3 (2)3 =－2
说一说 做一做
1. 16 3 0.064 = 4 + 0.4 = 4.4
1 2. 81 3
解：原式= 2 +（－1）× 3 + （－1）× 2
= 2 － 3－ 2
=－ 3
注意：如能化简，则应先化简，
≈ －1.732
最后按要求取近似值。
≈－1.73
归纳整理 ☞
注：有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用
1.交换律 ：加法 a+b=b+a 乘法 a×b=b×a 2.结合律： 加法（a+b)+c=a+(b+c)
27
=
1
9 ÷ (－ 3
)= 9 × (－ 3)= －27
思考①：这些题中含有什么特殊的运算？
开方 运算
②：你能求解吗？应先解什么，后解什么？
首先完成开方运算，就转化成了我们以前熟悉的有理数运算。
议一议
上面的运算与以前的有理数运算比较有何特别之处? 上面的运算中增加了开方运算
小试身手
注意： 2 ≈1.414
或多1个有效数字。
2、常见几个无理数的近似值
2 ≈1.414 3≈1.732
≈52.236
究
活
探
（1）
动
计算下面式子的结果：
4 9 与= 4 9
16 25 与= 16 25
你发现了什么相同的规律？能用 字母表示这种规律吗？
a b ab
1.不用近似值求下列运算。
① 2 50
原式= 2 50 100 = 10
（1） 2 12 3 2 （精确到 0.01 ）
3 ≈1.732
解：原式≈1.414+（－1）×（1.732+1.414）
＝ 1.414+ （－1）×3.146
＝ 1.414－3.146
＝ －1.732 ≈－1.73
1.无理数取近似值转化成有理数的运算.
2.运算中间取近似值时,需比预定精确 度多取1位,或多取1个有效数字.
环小数，因此， 2 的小数部分我们无法全部写出来，
于是小明用
2 来1表示
的2小数部分，你同
意小明的方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 2的整数 部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分。 请解答：
（1）π的整数部分为__3_，则它的小数部分是 π-3 ；
（2） 6 的整数部分是__2_,小数部分是__6___2_.
你发现有什 么规律？
3 4 0_._26_8__, 4 3 _0_.2_68___;
（２）利用上面规律，你能计算下题吗？
① 1 2 2 3 3 4 = 4 1 =1
② 1 2 2 3 3 4 ...... 2003 2004
2004 2005
= 2005 1
☞ 一起探究（3） 我们都知道 2 是无理数，而无理数是无限不循
A、25 25 9 C、5 20 4
81 的结果，下列四种运算，
B、5 4 9 5
D、 25 4
2、先化简，后计算 （1）3× 7 +2× 7 （结果保留3个有效数字） 7 ≈2.646
原式=5× 7≈13.2
(2)(2 × 5 +3× 5 -5 × 5 ) 5
原式=（2+3－5）× 5 ×
1
5 =0
(3) 11 (3 1 1) 11 5 27 2 6
原式=
11 (1 1 ) 6 5 3 2 11
=
16(1 1) 5 32
= 1 (2 3)
5
=－
1 5
典型例题
简便方法计算
18[ ( 1 )2 (1)2005 2 5] ( 5 ) (1 1 )
2
36 4
4
1、下列运算正确的是 （B ）
② 1 27 3
原式= 1 27 9 = 3
3
③ 0.1 0.001
原式= 0.1 0.001 0.0001 =0.01
☞ 一起探究（2）
（1）计算:（精确到0.001）
2 ≈1.414
1 2 0_.4_1_4_, 2 1 _0._4_14_;
3≈1.732
2 3 0_.3_1_8_, 3 2 _0._3_18_;
乘法（a×b）×c=a×（b×c）
3.分配律： a× (b+c)= a×b+ a×c 凑零、凑整、同号、同分母
实数混合运算的顺序：
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。如 果遇到括号， 则先进行括号里的运算。
括号 乘方开方 乘除 加减
先化简，后计算
3 2 2 2( 5 2) （保留3个有效数字）.
（3）已知 m 是 15 的整数部分，n 是 15 的小数部分。
计算 m－2×n 的值。
2.数轴上两点A，B分别表示实数 3 和
求A，B两点之间的距离。 若A，B分别表示 6 和 6 －1 呢？
3 1，
3、将一个体积是216cm3立方体木块锯成8个同样大小 的立方体小木块,每个小立方体的表面积是多少?
原式=11
(2)[ 5 (2)2 67
原式=32
4 5 ] ( 1 ) 9 14 42
感悟 反思
1.实数运算的顺序 括号 乘方开方 乘除 加减
2.有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用.
3.尽量先使用运算律简化算式,结果再用近似值计算. 尽 量避免中间运算取近似值.
注意事项: 1、运算中无理数取值比题目要求的精确度 多 1位
A、 24 22 20 20 20 1
B、 22 1 1 4 4 1 2 1
3 3 2
36
C、 24 152 15 16 15 1
D、 24 32 23 16 17 1
2、先化简，后计算：
(1) 5 6 52 24 ( 11)2 (1)2003 5
（ 5≈2.236）
题后反思: ☞
1、观察式子中有哪些运算，明确运算顺序； 2、考虑能否使用运算律化简算式； 3、尽量先化简，后计算。 4、按要求取近似值(运算中多取1位或多1个有效字)。 5、注意：数和根式相乘，“×”通常省略．如：
3 2 可以写成 3 2
1、计算 5 20 52
正确的是 （ B ）
4. 0.256 (3 43 )7
5.已知 a 是 19 的整数部分，b是 19 的小数部分， 求：2a－b
收获和体会
请快速口答下列各开方的结果。
1. 25 =5
2. 3 0.064 =0.4
3.
1 81
=1
9
5. 2 1 4
=3 2
7. (2)2 =2
4.3
1 27
ห้องสมุดไป่ตู้
= 1
3
6. ( 2 )2 =2
8. 3 (2)3 =－2
说一说 做一做
1. 16 3 0.064 = 4 + 0.4 = 4.4
1 2. 81 3
解：原式= 2 +（－1）× 3 + （－1）× 2
= 2 － 3－ 2
=－ 3
注意：如能化简，则应先化简，
≈ －1.732
最后按要求取近似值。
≈－1.73
归纳整理 ☞
注：有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用
1.交换律 ：加法 a+b=b+a 乘法 a×b=b×a 2.结合律： 加法（a+b)+c=a+(b+c)
27
=
1
9 ÷ (－ 3
)= 9 × (－ 3)= －27
思考①：这些题中含有什么特殊的运算？
开方 运算
②：你能求解吗？应先解什么，后解什么？
首先完成开方运算，就转化成了我们以前熟悉的有理数运算。
议一议
上面的运算与以前的有理数运算比较有何特别之处? 上面的运算中增加了开方运算
小试身手
注意： 2 ≈1.414
或多1个有效数字。
2、常见几个无理数的近似值
2 ≈1.414 3≈1.732
≈52.236
究
活
探
（1）
动
计算下面式子的结果：
4 9 与= 4 9
16 25 与= 16 25
你发现了什么相同的规律？能用 字母表示这种规律吗？
a b ab
1.不用近似值求下列运算。
① 2 50
原式= 2 50 100 = 10
（1） 2 12 3 2 （精确到 0.01 ）
3 ≈1.732
解：原式≈1.414+（－1）×（1.732+1.414）
＝ 1.414+ （－1）×3.146
＝ 1.414－3.146
＝ －1.732 ≈－1.73
1.无理数取近似值转化成有理数的运算.
2.运算中间取近似值时,需比预定精确 度多取1位,或多取1个有效数字.
环小数，因此， 2 的小数部分我们无法全部写出来，
于是小明用
2 来1表示
的2小数部分，你同
意小明的方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 2的整数 部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分。 请解答：
（1）π的整数部分为__3_，则它的小数部分是 π-3 ；
（2） 6 的整数部分是__2_,小数部分是__6___2_.
你发现有什 么规律？
3 4 0_._26_8__, 4 3 _0_.2_68___;
（２）利用上面规律，你能计算下题吗？
① 1 2 2 3 3 4 = 4 1 =1
② 1 2 2 3 3 4 ...... 2003 2004
2004 2005
= 2005 1
☞ 一起探究（3） 我们都知道 2 是无理数，而无理数是无限不循
A、25 25 9 C、5 20 4
81 的结果，下列四种运算，
B、5 4 9 5
D、 25 4
2、先化简，后计算 （1）3× 7 +2× 7 （结果保留3个有效数字） 7 ≈2.646
原式=5× 7≈13.2
(2)(2 × 5 +3× 5 -5 × 5 ) 5
原式=（2+3－5）× 5 ×
1
5 =0
(3) 11 (3 1 1) 11 5 27 2 6
原式=
11 (1 1 ) 6 5 3 2 11
=
16(1 1) 5 32
= 1 (2 3)
5
=－
1 5
典型例题
简便方法计算
18[ ( 1 )2 (1)2005 2 5] ( 5 ) (1 1 )
2
36 4
4
1、下列运算正确的是 （B ）
② 1 27 3
原式= 1 27 9 = 3
3
③ 0.1 0.001
原式= 0.1 0.001 0.0001 =0.01
☞ 一起探究（2）
（1）计算:（精确到0.001）
2 ≈1.414
1 2 0_.4_1_4_, 2 1 _0._4_14_;
3≈1.732
2 3 0_.3_1_8_, 3 2 _0._3_18_;
乘法（a×b）×c=a×（b×c）
3.分配律： a× (b+c)= a×b+ a×c 凑零、凑整、同号、同分母
实数混合运算的顺序：
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。如 果遇到括号， 则先进行括号里的运算。
括号 乘方开方 乘除 加减
先化简，后计算
3 2 2 2( 5 2) （保留3个有效数字）.
（3）已知 m 是 15 的整数部分，n 是 15 的小数部分。
计算 m－2×n 的值。
2.数轴上两点A，B分别表示实数 3 和
求A，B两点之间的距离。 若A，B分别表示 6 和 6 －1 呢？
3 1，
3、将一个体积是216cm3立方体木块锯成8个同样大小 的立方体小木块,每个小立方体的表面积是多少?
原式=11
(2)[ 5 (2)2 67
原式=32
4 5 ] ( 1 ) 9 14 42
感悟 反思
1.实数运算的顺序 括号 乘方开方 乘除 加减
2.有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用.
3.尽量先使用运算律简化算式,结果再用近似值计算. 尽 量避免中间运算取近似值.
注意事项: 1、运算中无理数取值比题目要求的精确度 多 1位
A、 24 22 20 20 20 1
B、 22 1 1 4 4 1 2 1
3 3 2
36
C、 24 152 15 16 15 1
D、 24 32 23 16 17 1
2、先化简，后计算：
(1) 5 6 52 24 ( 11)2 (1)2003 5
（ 5≈2.236）
题后反思: ☞
1、观察式子中有哪些运算，明确运算顺序； 2、考虑能否使用运算律化简算式； 3、尽量先化简，后计算。 4、按要求取近似值(运算中多取1位或多1个有效字)。 5、注意：数和根式相乘，“×”通常省略．如：
3 2 可以写成 3 2
1、计算 5 20 52
正确的是 （ B ）
4. 0.256 (3 43 )7
5.已知 a 是 19 的整数部分，b是 19 的小数部分， 求：2a－b
收获和体会