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1(4)-无穷小与无穷大

当x x0 时, u× 为无穷小.
M
8
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小; 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小; 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 1 1 2 当x 0时, x si n , x arctan x x 都是无穷小.
9
二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大. 1 当x 0时, 函数 , cot x 是无穷大; x 2 当x 时,函数x , x 3 是无穷大.
均是无穷小！
( 1)n 当n 时, 数列{ } n 无穷小是指在某个过程中函数变化的趋势.
3
定义1 0, 0 ( X 0), 当 0 | x x0 | (| x | X ), 恒有 | f ( x ) | 则称f ( x)当x x0 ( x ) 时的无穷小 ,
x
特殊情形:
x x0 ( x )
lim f ( x ) (或 )
正无穷大,负无穷大．
11
注
(1) 无穷大是变量;
( 2) lim f ( x ) , 极限不存在.
x x0
(3) 无穷大与无界函数的区别: 无穷大一定是无界函数,
无界函数未必是某个过程的无穷大.
15
∗ 两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大;
∗ 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; ∗ 有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之积
∗
仍为无穷大; 用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.
x
6
四、小结
无穷小的概念; 无穷小与函数极限的关系; 无穷小的运算; 无穷大的概念;
7
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证设函数u在U ( x0 , 1 )内有界, M 0, 1 0, 当 0 | x x0 | 1 , 有 | u | M . 又设是当x x0时的无穷小,

§2.3 无穷小与无穷大

例1
1 解因为x , ， sin x 1 ，且 lim 0 x x
1 求 lim sin x x x
.
1 故 lim sin x 0 x x
.
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由性质2可以推出下面结论：推论1 推论2 常数与无穷小的乘积为无穷小. 有限个无穷小的乘积为无穷小.

无穷大。 1 定理2 在某极限过程中，若f x 为无穷大量，则 f ( x) 为无穷小量；反之，若f x 为无穷小量，且f x 0， 1 则为无穷大量. f ( x)
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定理2表明无穷小和无穷大类似于倒数的关系
利用无穷小和无穷的这种倒数关系可以求一些极限
2.3.3 无穷大 f x 无限地增大，则称定义2 如果在某极限过程中，
函数为该极限过程的无穷大量，简称无穷大.
若lim f x ，则称f x 为该极限过程中的正无穷大，若 lim f x ，则称f x 为该极限过程中的无穷大，
目录上一页下Βιβλιοθήκη 页退出1 例3 求 lim . x 1 x 1
.
解
因为lim
x 1

1 x 1 0，所以 lim =. x 1 x 1

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§2.3 无穷小与无穷大
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2.3.1 无穷小 2.3.2 无穷小的性质 2.3.3 无穷大
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2.3.1 无穷小定义1 若lim x 0，则称 x 为该极限过程中的一个无穷小量.简称无穷小.
例如 lim sin x 0，所以函数 sin x是x 0时的无穷小，

1-4 无穷小与无穷大

5
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二、无穷大
无穷大的定义如果当x→a 时, |f(x)|无限增大, 那么称函数f(x) 为当 x→a时的无穷大, 记为
lim f ( x) = ∞. [形式记法,实际上极限不存在]
x →a
无穷大的精确定义
x→x0
lim f (x)=∞ ⇔∀M>0, ∃δ >0, 当0<|x−x0|<δ 时,有|f(x)|>M.
1 所以当 x →0 时,函数 y = ln x ⋅ sin 不是无穷大. x
+
17
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作业
习题1−4 (P41): 3. 6. 7.
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的铅直渐近线.
1 x −1
x→x0
y=
1
铅直渐近线
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铅直渐近线
如果 lim f (x)=∞ , 则称直线x= x0 是函数 y=f(x)的图形
的铅直渐近线. 水平渐近线水平渐近线. 如果 lim f (x) =A, 则直线 y =A 称为函数 y =f(x)的图形的 →∞
x
x→x0
水平渐近线
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x 的渐近线. 例3 求曲线 y = x +1 x 1 解因为 lim y = lim = lim(1 − ) = 1, x →∞ x →∞ x + 1 x →∞ x +1
x 所以曲线 y = 的水平渐近线为 y =1. x +1 1 x +1 因为 lim = lim = 0, lim y = ∞, x →−1 x →−1 y x →−1 x

第四节无穷小与无穷大

f (2nπ ) = 2 nπ → ∞ (当 n → ∞ )
但所以
f ( π + nπ ) = 0 2
y
y = x cos x
x → ∞ 时 , f ( x) 不是无穷大 !
o
x
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1 例 . 证明 lim =∞ x →1 x − 1 1 1 证: 任给正数 M , 要使 > M , 即 x −1 < , M x −1 1 只要取 δ = , 则对满足 0 < x − 1 < δ 的一切 x , 有 M 1 y 1 >M y= x −1 x −1 1 = ∞. 所以 lim o 1 x x →1 x − 1
x → x0
f ( x) = A + α , 其中α 为 x → x0
时的无穷小量 .
∀ε > 0 , ∃δ > 0 , 当 0 < x − x0 < δ 时,有 f ( x) − A < ε
α = f ( x) − A
x → x0
lim α = 0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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( lim f ( x) = ∞ )
x →∞
若在定义中将 ①式改为 f ( x) > M ( f ( x) < − M ) , 则记作 lim f ( x) = +∞ ( lim f ( x) = − ∞)
x → x0 ( x →∞ ) x → x0 ( x →∞ )
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注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 f ( x) = x cos x , x ∈ (−∞ , + ∞ )

四节无穷小与无穷大

0, 2
0,使得当0
x
x0
时
2
恒有 . M
取 min{1 , 2 }, 则当 0 x x0 时, 恒有 u u M ,
M 当x x0时, u 为无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限旳变量与无穷小旳乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小旳乘积是无穷小.
第五节极限运算法则
一、极限运算法则二、例题
一、极限运算法则
1、无穷小旳运算性质:
定理1 在同一过程中,有限个无穷小旳代数和仍是无穷小.
证设及是当x 时的两个无穷小,
0, N1 0, N 2 0,使得
当
x
N
时恒有
1
; 2
当
x
N
时恒有
2
; 2
取 N max{N1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有 ,
令u x a
lim 3 u2
u0
0．
33 a2
思索题
在某个过程中，若 f ( x) 有极限，g( x) 无极限，那么f ( x) g( x)是否有极限？为
何？
思索题解答
没有极限．
假设 f ( x) g( x) 有极限， f ( x)有极限，
由极限运算法则可知：
g( x) f ( x) g( x) f ( x) 必有极限，
于是 f ( x) A ，因为 lim 0,所以 0, 0, x x0
使当0 x x0 时，有 f ( x) A , 故 lim f ( x) A.
x x0
二、无穷大
定义 2 设函数 f ( x)在 x0某一去心邻域内有定义（或 x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数
(消去零因子法)

无穷小与无穷大的关系PPT优选版

三、证明 y1 函 si数 n 1在区(0间 ,1]上无,但界当 xx
x0时,这个函数不. 是无穷大
练习题答案
一、1、0； 2、limf(x)C；三、无穷的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
x x
无穷小与无穷大的关系
一、无穷小
1、定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正数 ( 或正数X ), 使得对于适合不等式
0 x x0 (或 x X )的一切x ,对应的函数值
f (x)都满足不等式 f (x) ,
那末称函数 f (x) 当x x0 (或x )时为无穷小,
x1 极限为零的变量称为无穷小.
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
y 1 x1
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
1 1 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 只要 x1 , 取 , 两个定义;四个定理;三个推论. M M 三、无穷小与无穷大的关系
两个定义;四个定理;三个推论.
两个定义;四个定理;三个推论.
意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
M0,0,使得 0x 当 x0时
恒f有 (x)1, M

无穷小与无穷大(22)

24
定理在某一极限过程中
若 f (x) 是一个无穷大, 则 1 为无穷小 . f (x)
若 f (x) 是一个无穷小且 f (x) 0, 则 1 为无穷大 . f (x)
请自己根据定义自已进行证明. 25
3.无穷大的运算性质
若 lim f (x) , 则 lim | f (x) | .
例3
求
lim
x0
x3 x2
4
.
解由于 lim x3 0 , ( 无穷小量 ) x 0
lim(x2 4) 4 ,
x 0
故
lim
x0
x3 x2
4
0
.
( 极限不为零 )
17
二. 无穷大
1.无穷大的定义请点击 2.无穷大与无穷小的关系
3.无穷大的运算性质
18
1.无穷大的定义
定义 M 0, 若 X 0, 当 | x | X 时, 有 | f (x) | M
(x x0 ) .
取
| a |, 2
则
0
0,
当
0 |
x
x0
| 0 时,
有
| f (x) a | | a | ,
2
故 | a | | f (x) | | a | 2
1 2 f (x) | a |
x U(x0,0 ) ,
即 x x0
时,
1 f (x)
有界 .
故 lim (x) 0 .
g(x) |
1 x2
1,
f1(x) x (x ) , f2(x) x3 (x ) ,
而
f1(x)
g(x)
x
1 x2
1 x
0

高数无穷小无穷大

4 只要取 δ = , 则对满足 M
所以说明: 说明若为曲线则直线 x =x0 的铅直渐近线 . 渐近线
9
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 定理在自变量的同一变化过程中, 若若
1 为无穷大, 则为无穷小 ; f (x) 1 为无穷大. . 为无穷小, 且 f (x) ≠ 0, 则 f (x) (x (自证)
第四节无穷小与无穷大
一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系
第一章
1
一、无穷小
定义1 定义 . 若为
(或 →∞) x
时 , 函数记为
则称函数
(或 →∞) x lim f (x) = 0
x→x0
时的无穷小 . 无穷小
lim f (x) = 0
x→ ∞
∀ε > 0,
当时, 有
6
二、无穷大定义2 任给定义 . 若任给 M > 0 , 总存在一切满足不等式 (正数 X ) , 使对正数 ① 则称函数当
( x > X ) 的 x , 总有
( x →∞) 时为无穷大, 记作
( lim f (x) = ∞ )
x→ ∞
若在定义中将 ①式改为则记作
x→x0 ( x→ ) ∞
∃δ > 0, (X > 0),
0< x −x0 <δ ( x > X)
2
例如 : 函数函数当函数当时为无穷小; 时为无穷小; 当时为无穷小.
3
定义1. 定义若则称函数为
(或
x →∞) 时 , 函数
(或
则
x →∞) 时的无穷小 . 无穷小
以外任何很小的常数很小的常数都说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为当显然 C 只能是 0 !

第五节无穷小与无穷大

分析：M 0, x0 , yx0 M .
M 0, 取x0 M 1 , yx0 M 1 cosM 1 M 1 M
若函数 y x cos x当 x 时为无穷大，
由定义，对 M 0, X 0,当 x X时，均有 yx M .
但是，对M 0，X 0, 若取x0
yx0
故：
x1 x 2 1
(3)分子、分母极限都为零。（消除致零因子）
例5 求 lim x 2 x 2 x1 x 2 1
解
lim
x2
x
2
(x lim
1)( x
2)
lim
x
2
3
.
x1 x 2 1
x1 ( x 1)( x 1) x1 x 1 2
21
附：多项式除法
消去致零因子，即进行除式为（x - a) 的多项式除法
x
x
无穷小的倒数是无穷大
19
有理分式的极限：
有理分式: P x Q x
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
a0 , b0 0
1.当x
x
时有理分式的极限：
0
(1)分母的极限不为零:
例3
Px Qx
a0 xn b0 x m
X 0, 使得当x X时,恒有 f x 成立, 则称f x当
当x 是的无穷小量.记为:lim f x 0. x
1
同样可以定义:
当x x0 0, x x0 0, x , x 时的无穷小.
如: lim x3 27 0, x3 27当x 3时为无穷小.
x3
lim
x
1 x
M
所以，u是当 x x0时的无穷小。

无穷小与无穷大可编辑全文

绝对值 f ( x) 无限增大，就称f ( x)是该变化过
程中的无穷大，并记作（以x x0为例）
lim f ( x) 或
x x0
f ( x) ( x x0 ).
例如, 当x 0时, y 1 是无穷大. x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则
可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无
穷小代换，而不会改变原式的极限．
例４求 lim ( x 1)sin x . x0 arcsin x
解当x 0时, sin x ~ x, ar多;
察
各极
lim sin x 1, x0 x
sin x与x大致相同;
限（ 0 型）lxim0
0
x 2 sin x2
1 x
lim sin
x0
1 x
不存在.
不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
定义2: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果 lim 0，就说是比高阶的无穷小,
lim 1 0, x x
函数 1 是当x 时的无穷小. x
lim (1)n 0, (1)n 是当n 时的无穷小.
n n
n
注意（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.
2、无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
lim sin x 1， x0 x

2.3无穷小无穷大

若 lim k C 0 , 则称是关于的 k 阶无穷小; 若 lim 1, 则称是的等价无穷小, 记作 ~ 或 ~
12
例如 , 当
x0 时
x 3 o( 6 x 2 ) ; sin x ～ x ; tan x ～ x arcsin x ～x
又如，
1 cos x lim 2 x 0 x
故时
2 x 2 sin 2 lim 2 x 0 4( x ) 2
1 2
是关于 x 的二阶无穷小, 且
1 cos
1 x2 x～ 2
13
例2. 证明: 当
证:
时,
～
n 1 n 1 n2 ( a b ) a b ( a b ) a b
～
～
21
内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
22
4. 无穷小的比较
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 0
是的高阶无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小是的 k 阶无穷小
第6节无穷小与无穷大
一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大若
(或x )
时 , 函数
则称函数
为
(或x )
例如 :
时的无穷小 .
函数函数
当
时为无穷小;
当
函数
时为无穷小;
当时为无穷小.
2
定义. 若
(或
x ) 时 , 函数
(或
则
则称函数
23
n
n
～
14

无穷小与无穷大的关系

推论1 在同一过程中有极限的变量与无穷小的乘推论在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 积是无穷小推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论常数与无穷小的乘积是无穷小推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论有限个无穷小的乘积也是无穷小
1 2 1 例如,当x → 0时, x sin , x arctan 都是无穷小 x x
一,填空题: 填空题:
练习题
凡无穷小量皆以________为极限. ________为极限 1, 凡无穷小量皆以________为极限.
2,在 __________ 条件下, 直线 y = c 是函数 y = f ( x ) 的水平渐近线 .
3,lim f ( x ) = A _______ f ( x ) = A + α ,
0
则有 lim α( x ) = 0,
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小关于无穷大的讨论都可归结为关于无穷小的讨论. 的讨论
四,小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1,主要内容: 两个定义四个定理三个推论 ,主要内容两个定义;四个定理三个推论. 四个定理;三个推论 2,几点注意: ,几点注意
2,无穷小与函数极限的关系: ,无穷小与函数极限的关系
定理 1
x → x0

无穷小和无穷大

2.不要把无穷小和一种很小旳数相混同（0除外）无穷小：（函数旳绝对值）无限变小
➢无穷小与函数极限旳关系
➢定理：函数f(x)在某过程中以A为极限旳充要条件是：
函数f(x)能够表达为A与该过程中旳无穷小之和.
即：lim f (x) A f (x) A
为同一过程中旳无穷小
一、无穷小
（一）无穷小旳概念（二）无穷小旳性质（三）无穷小旳比较
一、无穷小
（一）无穷小旳概念（二）无穷小旳性质（三）无穷小旳比较
➢性质1 同一过程中旳有限个无穷小之和仍为该过程中旳无穷小.
➢性质2 某过程中旳有界函数与该过程中旳无穷小之积仍为该过程中旳无穷小.
➢推论1 常量与某过程中旳无穷小之积仍为该过程中旳无穷小.
➢推论2 同一过程中旳有限个无穷小之积仍为该过程中旳无穷小.
➢推论3 某过程中旳无穷小旳正整多次乘幂仍为该过程中旳无穷小.
一、无穷小
（一）无穷小旳概念（二）无穷小旳性质（三）无穷小旳比较
一、无穷小
（一）无穷小旳概念（二）无穷小旳性质（三）无穷小旳比较
同一过程中旳两个无穷小之和、差、积仍为该过程中旳无穷小.
➢问题同一过程中旳两个无穷小之商是否
二、无穷大
（一）无穷大旳概念（二）无穷大旳性质（三）无穷大旳比较
➢性质1 同一过程中旳有界函数与无穷大之和仍为该过程中旳无穷大.
➢性质2 某过程中旳有限个无穷大旳乘积仍为该过程中旳无穷大.
二、无穷大
（一）无穷大旳概念（二）无穷大旳性质（三）无穷大旳比较
二、无穷大
（一）无穷大旳概念（二）无穷大旳性质（三）无穷大旳比较
那么称函数f(x)为该过程中旳无穷小.

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61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。 ——刘向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好的教师是幸福，不如说好的教师是不幸。 ——海贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦。——杰纳勒尔·乔治·S·巴顿
无穷小与无穷大的关系
16、自己选择的路、跪着也要把它走完。 17、一般情况下)不想三年以后的事，只想现在的事。现在有成就，以后才能更辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须充满光明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。
谢ห้องสมุดไป่ตู้！