成本最小化(范里安微观经济)

（1） （2）
w x w x w x w x
如果厂商总是选择成本最小的方法生产y单位的产量，
那么式（1）和（2）必定满足。这被称为成本最小化
弱公理（WACM）。

将式（2）左右两边乘以－1，加到式（1） 上，整理可得：
t 1 s 1 t 1 t 2 s 2 t 2
(w w ) x (w w ) x (w w ) x (w w ) x
2/ 3
y 是企业对要素1的条件需求。
2w 1 * * x1 由 x2 w2 2/ 3 1/ 3 2w 1 2w 1 w 2 * y 可知 x 2 y w2 w 2 2w 1
这是企业对要素2的条件需求。

* * x1 ( w 1 , w 2 , y ), x 2 ( w 1 , w 2 , y )
x1
* * x1 ( y ) x1 ( y) x* 1 ( y )
x* 1
几个例子
－完全替代 －完全互补 －柯布－道格拉斯技术
完全互补技术
y minx1 , x2
x x y
* 1 * 2
最小成本将是：
c(w1, w2 , y) w1 y w2 y
x2
4x1 = x2

w 2/ 3 2w 1/ 3 1 2 y, y . 2w 1 w 2
要素的条件需求曲线
x2
产量扩展曲线
y
y’’’
* * x1 ( y ) x1 ( y) x* 1 ( y )
y’’’ y’’ y’
y’’
y’
* 1 * 1 * * x2 x2 ( w1 , w2 , y )
长期成本函数为：
cs ( y) w1x1 (w1, w2 , y) w2 x2 (w1, w2 , y)
短期成本函数与长期成本函数的关系


短期成本最小问题实际上是在x2 = x2’的约 束条件下求长期成本最小。 长期成本函数可以写成：
柯布－道格拉斯技术
f ( x1, x2 ) Ax x
a 1
b 2
其成本函数为：
c(w1 , w2 , y) kw
a a b 1
w
b a b 2
y
1 a b
19.2 显示的成本最小化

假设有两组要素价格 (w , w )和(w , w )，
t 1 t 2 t 1 t 2 s 1 s 2
s 1
s 2
与此相关的厂商的选择为 ( x , x ) 和 ( x , x ) 假定上述两种选择都生产同样的产量y,如果 每种选择都属于成本最小化的选择，则有：
w x w x w x w x
t t 1 1 t t 2 2 t s 1 1 s s 1 1 s s 2 2 s t 1 1
t s 2 2 s t 2 2
4
4
完全替代技术
y( x1, x2 ) x1 x2
x2
若
w1 w2
，厂商只用要素2
c(w1, w2 , y) w2 y
x1
x2 若
w1 w2
，厂商只用要素1
c(w1, w2 , y) w1 y
x1
c( w1 , w2 , y ) min w1 y, w2 y
min w1, w2 y
* 1/ 3 2w 1 * y ( x1 ) x1 w2
w 1 x* 2 . (b) w 2 2x* 1
2/ 3
2w 1 w2
2/ 3
x* 1.
* 1/ 3 * 2/ 3 (a) y ( x1 ) ( x 2 )
2w 1 * * x1 . 由 (b)可知, x 2 w2
s x1 x1 ( w1 , w2 , x2 , y )
x2 x 2
这表明按任何既定的要素价格和产量选择厂商 所能雇佣的工人数量通常取决于工厂的规模。
cs ( y, x2 ) w1x1 (w1, w2 , x2 , y) w2 x2

长期要素需要函数为：
x x ( w1 , w2 , y )
不变的规模报酬和平均成本


在不变的规模报酬技术下，产量加倍， 要求所有的要素投入量也加倍。 总成本加倍。 AC（＝TC/y）保持不变。
规模报酬递减和平均成本


在递减的规模报酬技术下，产量加倍， 要求所有的要素投入量增加大于2倍。 总成本的增加超过2倍。 AC（＝TC/y）递增。
规模报酬递增和平均成本
长期成本
x2
长期产量扩展曲线
x 2 x 2 x 2
x1 x1 x1
y’’’ y’’ y’
x1
x2
长期产量扩展曲线
x 2 x 2 x 2
x1 x1 x1
y’’’ y’’ y’
c( y ) w 1x1 w 2x 2 c( y ) w 1x1 w 2x 2 c( y ) w 1x1 w 2x 2
求使其成本最小化的要素投入组合。
(x1*,x2*) 满足以下两个条件：
* 1/ 3 * 2/ 3 y ( x1 ) ( x 2 )
（a）
w1 y / x1 w2 y / x2
* 2 / 3 * 2 / 3 (1 / 3)( x1 ) (x2 ) 1/ 3 * 1/ 3 ( 2 / 3)( x* ) (x2 ) 1 * x2 . （ b） * 2x1
t 1 s 1 s 1 t 2 s 2 s 2
w1x1 w2x2 0
（3）
若
w2 0
，式（3）就变成：
w1x1 0
这表明要素1的有条件的要素需求曲线向下倾斜。
19.3 规模报酬和成本函数



厂商技术的规模报酬特性决定了平均成本 函数。 假设一个追求成本最小化的厂商初始产量 为y’。 问题：如果产量增加为2y’ ，厂商的平均 成本如何变化？
短期成本：
x 2 x 2 x 2
x1 x1 x1
y’’’ y’’ y’
x1
c s ( y ) c( y ) cs ( y ) c( y ) cs ( y ) c( y )
c(y’)
y’ 2y’
y
$
c(2y’)
c(y)
c(y’)
y’ 2y’ y
递增的规模报酬和总成本
$ c(2y’)
c(y’)
斜率 = c(2y’)/2y’ = AC(2y’). 斜率 = c(y’)/y’ = AC(y’).
y’
2y’
y
$ c(2y’)
c(y’)
c(y)
y’
2y’
y
不变的规模报酬和总成本
19、成本最小化
Cost Minimization
19.1 成本最小化 （Cost Minimization）
x1 ,x 2 0
s.t.
min w 1x1 w 2x 2
f ( x1 , x 2 ) y .
求解可得：
x x ( w1 , w2 , y )
* 1 * 2 * 1
百度文库
x x ( w1 , w2 , y )
c(2y’) =2c(y’)
$
c(y) 斜率 = c(2y’)/2y’ = 2c(y’)/2y’ = c(y’)/y’ AC(y’) = AC(2y’).
c(y’)
y’
2y’
y
19.4 长期成本和短期成本
Long-Run & Short-Run Total Costs


短期成本函数指在只有可变生产要素可 以调整的情况下，生产既定水平的产量 的最小成本； 长期成本函数表示在一切生产要素都可 调整的情况下，生产既定产量的最小成 本。
c( y) cs ( y, x2 ( y))
表示当所有要素都可变动时的最小成本，恰 好就是要素2固定在使长期成本最小化的水 平上时的最小成本。


如果厂商对要素2的长期选择恰好是x2’ ， 则生产产量y所需的长期总成本和短期总 成本相同。 如果厂商对要素2的长期选择不是x2’，则 在短期约束条件x2 = x2’将阻碍厂商达到 长期生产成本，从而导致生产相同的产 量y,厂商的短期生产成本大于长期生产成 本。
* w1 x 2 . (b) w 2 2x* 1
将其代入（a）可得：
* 1/ 3 2w 1 * y ( x1 ) x1 w2 2/ 3
2w 1 w2
2/ 3
x* 1.
w2 * x1 2w 1
2/ 3
y
* w2 x1 2w 1
所有成本相等的要素投入组合点的轨迹。
w1x1 w 2x 2 c
w1 c x1 . 经整理可得：x 2 w2 w2
斜 率： -w1/w2
纵截距：c/ w2
x2
Slopes = -w1/w2.
c” w1x1+w2x2
c’ w1x1+w2x2
c’ < c” x1

成本最小化问题可重新表述为：求出等 产量线上的某一点使之与尽最低的等成 本线相联系。
成本函数
* c( w 1 , w 2 , y ) w 1x1 ( w 1 , w 2 , y ) * w 2x 2 ( w 1 , w 2 , y ).
成本函数c(w1,w2,y)就是指当要素价格为 （w1,w2 ）时，生产y单位产量的最小成本。
等成本线（Iso-cost Lines）

长期成本函数

长期成本最小化问题：
x1 ,x 2 0
S.t .

min w 1x1 w 2x 2
f ( x1 , x 2 ) y .
短期成本最小化问题： min w 1x1 w 2x 2 x1 0
S.t .
f ( x1 , x 2 ) y.

要素1的短期要素需要函数为：
min{4x1,x2} y’
x1
x2
4x1 = x2
min{4x1,x2} y’
x1
x2
4x1 = x2
x 2* = y
min{4x1,x2} y’
x 1* = y/4
x1
* c( w 1 , w 2 , y ) w 1x1 ( w 1 , w 2 , y ) * w 2x 2 ( w 1 , w 2 , y ) y w1 w1 w 2y w 2 y.


在递增的规模报酬技术下，产量加倍， 要求所有的要素投入量小于2倍。 总成本的增加小于2倍。 AC（＝TC/y）递减。
AC(y) 规模报酬递减 规模报酬不变 规模报酬递增 y
递减的规模报酬和总成本
$
c(2y’) 斜率 = c(2y’)/2y’ = AC(2y’). 斜率 = c(y’)/y’ = AC(y’).
x2
等产量曲线 最优选择
等成本线
x 2* x 1*
斜率＝－w1/w2
f(x1,x2) y’ x1
最优条件：
MP( x , x ) w1 TRS MP2 ( x , x ) w2
* 1 * 1
* 2 1 * 2
柯布－道格拉斯生产函数
1/ 3 2/ 3 y f ( x , x ) x 已知 1 2 1 x2 .
* 1/ 3 * 2/ 3 y ( x (x2 ) (a) 1) 2w 1 * * x1 . 由 (b)可知, x 2 w2
w 1 x* 2 . (b) w 2 2x* 1
* 1/ 3 * 2/ 3 y ( x (x2 ) (a) 1) 2w 1 * * x1 . 由 (b)可知, x 2 w2 将其代入（a）可得：
x1
短期成本
x2
短期产量扩展曲线
x 2 x 2 x 2
x1 x1 x1
y’’’ y’’ y’
x1
短期成本
x2
短期产量扩展曲线 长期成本：
c( y ) w 1x1 w 2x 2 c( y ) w 1x1 w 2x 2 c( y ) w 1x1 w 2x 2
* 2
x x ( w1 , w2 , y )
* 1 * 2 * 1
，被称为
x x ( w1 , w2 , y )
* 2
有条件的要素需求函数或派生的要素需求
（conditional demands for inputs 1 and 2）。 注意：在计算成本时，应确保所有生产成本都已包括 在内，并且确保被计量的一切数据在时间标度上是可 比较的。