高中数学必修五 数列通项公式常见求法

求数列通项公式的方法

1. 叠加法

)(1n f a a n n +=+，且)()2()1(n f f f +++ 比较好求.

【例题】数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．若则32b =-，

1012b =，则8a = .

★练习 已知数列{}n a 满足112

11

,2n n a a a n n

+==++，求数列{}n a 的通项公式. 2. 叠乘法

n n a n f a )(1=+，且)()2()1(n f f f ⋅⋅⋅ 比较好求.

【例题】在数列｛n a ｝中，1a =1, (n +1)·

1+n a =n ·n a ，则{}n a 的通项公式为 . ★练习 在数列｛n a ｝中，1a =1, 1+n a =2n ·

n a ，则{}n a 的通项公式为 . 3. 待定系数法

(1)a n =qa n -1 +p (q 、p 为常数,q ≠1且p ≠0），可化为a n +λ=q (a n -1 +λ).构造出一个以q 为公比的等比数列{a n +λ}，然后化简用待定系数法求λ，从而求出n a .

(2)对于1()(n n a qa f n q +=+其中为常数)这种形式,一般我们讨论两种情况：

①当f (n )为多项式时，可化为()()11+n n a g n q a g n +++=⎡⎤⎣⎦的形式来求通项，其中g (n )是f (n )的齐次式.

【例题】设数列{}n a 中，111,321n n a a a n +==++，求{}n a 的通项公式.

★练习 设数列{}n a 中，2

111,2n n a a a n n +==++，求{}n a 的通项公式.

②当f (n )为指数幂即递推公式为1(n n n a qa r p q r p +=+⋅、、为常数)，可两边同时除以1n p +化为11n n n n a a q r

p p p p ++=⋅+的形式，可以求出数列n n a p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

的通项公式，从而求出n a .

【例题】设数列{}n a 中，111,42n

n n a a a +==+，求{}n a 的通项公式.

★练习 设数列{}n a 中，111,323n

n n a a a +==+⋅，求{}n a 的通项公式.

4. 倒数法

1

1n n n a a ka b

--=

+，可以两边取倒数；n n n n a a a a -=⋅--11，可以两边同时除以1-n n a a .

【例题】已知数列{}n a 满足：1

111,31

n n n a a a a --==+，求{}n a 的通项公式.

★练习 在数列{n a }中，3

1

1=a ， n n n n a a a a -=⋅--11，求数列{n a }的通项公式. 5. 对数法

1(p n n a qa q p +=、为常数)，两边分别取对数，进行降次.

【例题】已知数列{}n a 满足：13,a =2

1n n a a +=，求{}n a 的通项公式. ★练习 已知数列{}n a 满足：12,a =2

12n n n a a a +=+，求{}n a 的通项公式.

6. 特征方程法

(1)a n +2=A a n +1 +B a n (A 、B 是常数），特征方程为x 2-A x -B=0,

①当方程有两个相异的实根p 、q 时，有：12n n

n a c p c q =⋅+⋅，其中c 1与c 2由12a a 和确定； ②当方程有两个相同的实根p 时，有12()n

n a c n c p =⋅+，其中c 1与c 2由12a a 和确定. 【例题】已知数列{}n a 满足*

12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求{}n a 的通项公式.

★练习 已知数列{}n a 满足a 1=2，a 2=3，n n n a a a -=++122，求{}n a 的通项公式.

(2) 1n n n a a b a c a d +⋅+=

⋅+（a 、b 、c 、d 为常数），特征方程为ax b

x cx d

+=+，

①当方程有两个相异的实根p 、q 时，数列n n a p a q ⎧⎫-⎨⎬

-⎩⎭

是以11a p a q --为首项，a cp

a cq --为公比的等比数列；

②当方程有两个相同的实根p 时，数列1n a p ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭

是以

11a p -为首项，2c

a d +为公差的等差数列.

【例题】已知数列{}n a 满足1112

2,(2)21

n n n a a a n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a ．