2012年安徽省数学高考理科压轴题的探究

这道 安徽 省 的高 考 压 轴 题 考 查 了 函数 、 列 、 数 不等式 等有关知识 ， 合性 大、 巧性 强、 综 技 内蕴 深
厚 ， 一道 既 考 知 识 又 考 能力 的 好 试 题． 题 的 ２ 是 本
假 设 当 ／＝ｋ时 ， ７ ， 结论 成立 ， 即
ａｋ＋】＞ ａｋ ・
评注
（ ） 理 中 条件 “ １定 函数 Ｙ＝
） 增 函 为
数 ” 可 缺少 ， 不 否则 数 列 ｛ 不单 调 （ ｎ｝ 易证 ） ． （ ） 充 分性 的证 明 中可 看 出 ： ０ ∈Ａ ２从 当 时 ，
）＜ 的解 集 分别 为 Ａ ，。Ａ ， 。Ａ ， 则
ｎ 必须 满 足 口 也 ∈Ａ （ １ ２ ３ ， 即 当 ∈Ａ ，， ）亦 ； 时 ）∈ Ａ 不容 忽 视．
，
（） ； １略
（） ２ 求使 不 等式 ０ ＜０＋ ３成 立 的 Ｃ的取 值 ＜
范 围．
＋∞） 单 调 递 增 ， ｆ（ 上 且 ）∈ （ ，＋ 。 （ ， ３ 。） ３
（０ ０年 全 国数 学 高考理科 试 题 ） ２１
分析 由题 意知 数列 ｛ 的 “ 函数 ” ｏ｝ 原 为
第１ ０期
胡云浩 ： ０ ２年安徽省数 学高考理科压轴题 的探 究 ２１
・３ ７・
２ ２ 安 徽 省 数 学 高 考 理 科 压 轴 题 的 探 究 １ 年 ０
●胡云 浩
１ 试 题探 究
（ 砀山中学 安徽砀山 ２５０ ） ３３０
证 明 （ ） 必要 性） 因为 ｛ 为递 增 数 列 ， １（ ２ １｝
因为 口 ＝１ ０ ０ ＋ ＜ ， 以 １ ， ＜ ｌ ３ 所
Ⅱ ∈［ ，） １３ ．
由定理 １知 ∈［ ， ） 为厂 ）－￣ （ ０ １３ 应 （ － 一 １＞ ＞ ） －
数 ｎ均 有 口 ＜ａ ． ， 故初 始 项 口 的取 值范 围 为 （ ０，
１或（ ， ） ３ ＋∞） ．
当 。 ∈（ １ 时 。 ０，） ）＝ １（ 。 ３ 在 （ １ ￣￣ － ＋ ） ０ ） ｐ ／
，
递 ， Ｅ３）（ ）足 理 的 增且 （， ｏ 满 定 ２ 条 ） １ ，
件 ； 。 ∈（ ， 当 ３ ＋∞ ） ，（ 时 ）＝ １（ ＋３ 在 （ ） ３
（） ； １略
（ ） 对 一切 ｎ∈Ｎ＋ 有 口 ＋ 求 ｎ ２若 都 ＞０ ， 的取 值范 围． （０９年 安徽 省数 学高考 理科试 题 ） ２０
是＜ ｛ ｏｃ ． ≤
评 注 由于 数 列 的该 性 质 是 由 函数 的性 质 递 推 给 出的 ， 因此 标 准答 案对 于充 分性 的证 明是 用 数 学归 纳法 给 出 的 ， 也恰 好 体 现 了 “ 推 ” 色． 这 递 特 后
定 理 １ 已知数 列 ｛ 的 “ 函数 ” ） 口｝ 原 Ｙ＝ 在 区 间 Ａ上 为增 函数 ， ． 口 ＥＡ 如果 ）＞ ）＝ ，
由此可 知 ， 于 任 意 正 整 数 ／ 都 有 Ⅱ ＋ 对 ／ ， ， ＞０ ， 即
｛ 为递 增 数 列． 口｝
（） （） ２ 和 ３ 同理 可证．
列 的充 分必 要 条件 是 ｃ ０ ＜． （） ２ 由第 （ ） 题 ， ｃ＞ ． 厂 １小 知 ０ 由Ｉ ）＞ 得 （ ，
Ｅ（一 ， ） ．
当＜ ）ｃ 在 ∈ ，上 调 ２ｃ 时 ＝ ÷ ［３ 单 递 ≤ 一 １）
增 ， 当 ∈［ ， ） ， 且 １３ 时
，） — ∈ －ｃ ）［ ） （＝ ［ Ｉ－ １ ｃ１ Ｃ ，÷ ＇ ３
，
。 ＜成 的 的 值 围 （ 】 ３立 ｃ取 范 为２ ． ＋ ，
例 ３ 首 项 为 正 数 的 数 列 ｛ 满 足 ｎ＋ ０｝ ＝ １（ ２ ３ 即
０ｃ丢 ＜ ． ≤
此时 ＿ ）∈［ ， ］ ０ ） 满 足定 理 １的 条 件． 厂 （ ｃ ， ， 由定 理 １ ｛ ｝ 单调 递 增 数 列 的充 分 必 要 条 件 知 是
２＞ ｃ
．
） 的解集分别为 Ａ ，。 则 ＜ Ａ ，
（ ）０ ｝ １ ｛ 为递增数列 的充分必要条件是 ｏ ｆ 。 Ａ； Ｅ ｌ
（ ）口 ｝ ２ ｛ 为常数数列 的充分必要条件是 ｏ ｃ 。 Ａ； （ ）ｎ ｝ ３ ｛ 为递减数列 的充分必要条件是 ａ ｃ Ａ．
例 ４ 数 列 ｛ 满 足 口 ＝ １ 。｝ 解 集 的子集 ， 即为 ｇ ）＝ 一 ＋１＜０解 集 的子 （
集 。 而 从
，
若 对 任 意
正整数 ｎ均 有 ０ ＜０ ， ｎ 的取值 范 围． 求 ，
第１ ０期
王伯龙 ： 一道 中 国香 港 数 学 奥 林 匹 克 几 何 赛 题 的 三 角证 法
・
３ ・ ８ ｃ＜０ ．
中 学教 研 （ 学 ） 数
ｆ １ ｇ（ ）＜０；
从 ｌ 向
当 ｃ ０时 √ ）＝ 一 ＋ ＋ｃ在 ∈（一∞ ， ］ ＜ ０ 上
【 （ ） ０ ｇ２ ≤ ，
即 ２＜ｃ ． ≤
单 调递 增 ， 当 Ｅ（一∞ ，］ ， 且 Ｅ ０时 ， ）＝ 一 ＋ ＋ ∈（一∞ ，］ （一∞ ，］ （ ｃ ｃ ０ 满 足定 理 １的条件． 由定理 １知 ｛ ｝ 是单 调递 减数
）：。 ． 一
＋∞ ） 也满 足定理 ２的条 件． 由定理 ２知 当 口 ∈（ １ 或 （ ， ０， ） ３ ＋∞ ） ， 列 时 数
｛ 为递增 数 列 ， 当 ｏ ｎ｝ 即 ∈（ ，） （ ， ０ １ 或 ３ ＋∞ ） ， 时
由 口＋ ＝ １（ ２ ３ 得到 的数列 ｛ 对任意正整 。 。 ＋ ） 口｝
即
０ ＋ ＝ １＋ ）＞ ２ ２ １
）＝口＋ ， １
口 ＋ ＞口 ＋． ２ １
此类问题 的命制思路 ， 并给出求解通法．
为行 文 方便 ， 约定 ： 数 列 ｛ 由初始 值 ａ 若 ０｝ 与 递 推 式 ｎ ＝ ｎ ） 出 ， 称 函数 Ｙ＝ （ 为数列 给 则 ， ） ｛ 的 “ 函数 ” ０｝ 原 ．
面 的试 题 都具 有 这 种特 征 ， 不再 赘述 ． 将 例 ２ 已知数 列 ｛ 中 ， ，川 ＝ ８ ｛ ８ ＝１ 。 ｃ— １
．
分析
由题意知数列 ｛ 的“ 函数” ｏ｝ 原 为
）＝ １（ ２＋ ） ３
．
当 ＞ ０时 ， 厂 ）＞ 得 ∈（ ， ）ｕ（ ， 。 ． 由 （ ０１ ３ ＋。 ）
思路 ， 可谓 是 ５道姊 妹题 ， 是 同根生． 比于 充 真 原 相
夫， 明晰其来龙去脉 ， 揭示其本质特征， 找到其通性
由定 理 ２知 ， 当 。∈（ ， ） ， 列 ｛ ｝ 递 １２ 时 数 为
由定 理 ２知 ｎ Ｅ（一∞ ，） ， 列 ｛ 为 递 １时 数 口｝
增 数 列 ， 当 ａ ∈（一。 １ 时 ， 口 ＋ 即 １ ｏ， ） 由 ｎｔ 得
增列 当 ∈，ｅ ＝ 到 数， （）由 竿 的 即 。１Ｈ ２ ， 害得
个 小题 一 证 一 求 ， 与 数 列 单 调 性 的充 要 条 件 有 都 关 ． 于考查 数 列 单 调 性 的 问 题 ， 对 近年 来 的高 考 试
当 ｎ＝ｋ＋１时 ，
题 与竞赛题多有 出现 ， 目 而 前流行的解法都是就题
论 题 ， 有 给 出通 法 ． 文 将 从 函数 的观 点 来 揭 示 没 本
（） ０ ｝ １ ｛ 为递增数列的充分必要条件是 。 ｃ Ａ；
（） ％ ｝ ２ ｛ 为常数数列的充分必要条件是 口 ｃ 。 Ａ； （）口 ｝ 减数列的充分必要条件是 口 ｃ ： ３ ｛ 为递 Ａ． 结论 较浅 显 ， 读者 自行 证 明． 请 定理 ２ 已知数 列 ｛ 的“ 函数 ” ） ａ｝ 原 Ｙ＝ 在 区 间 Ａ上 为增 函数 ， Ｅ ． 果 厂 ）＞ Ⅱ Ａ如 （ ）＝ ， Ｘ
当 ∈（一∞ ， ） ， 一１ 时
）＝ ４一
十 ｌ
单 调 递 增 且
）∈（ ＋∞） 此 时 ｆ ）甓（一∞ ， ） 满 足 ４， ， （ 一１ 不
当 ∈（ ，）ｖ， ） １２ Ｈ ｆ ｊ （ ＇
单 调递 增且 ）∈（ ， １ 定 理 ２的条件 ； 当 ∈（ ， ） ，（ １２ 时 厂 ）＝ ４一 单
・３ ・ ９
（ ０ ８年 山 东 省 高 中数 学 竞 赛 预 赛 试 题 ） ２０
＝
４一
．
分析
由题 意知 数列 ｛ 的 “ 函数 ” ｏ｝ 原 为 由－ ）＞ 得 厂 （ ， ） ・
∈（ ， ） １ ２ ｕ（一。 一１ ． 。， ）
由Ｊ ）＞ 得 ｒ （ ， ∈（ ， ） （一∞ ， ） １２ 或 １．
口ｃ １ １ Ａ．
（） ｃ ２ 求 的取值范 围， 使数列 ｛ ｝ 是单调递增
数列．
（ 分 性 ） 用 数 学 归纳 法． 充 （０２年 安徽 省数 学 高考理科 试题 ） ２１ 当 ｎ＝１时 ， 因为 口 ∈Ａ ， 以 所
， ０ ）＞ １ （１ １， ２
即 ０＞ １ ２ ０．
２ 定 理应 用
例 １ 见 文 首．
分析
（） １ 由题 意 ， 数列 ｛ ｝ 原 函数 ” 知 的“ 为
）＝一 ＋ ＋ ． ｃ
因为 ＝ ０且 ｛ ｝ 调递减 ， 以 单 所 ∈（一∞ ，］ ０． 由定 理 １ 知 ∈（一∞ ，］ ， ０ 是 ）＞ 解 集 的子 集． 由厂 ）＞ 得 （ ，
数列 ｛ ｝ 任 意正 整 数 ｒ均 有 ＜ 对 ｔ ，
。
． 故初 始 项
到的数列 ｛ 对任意正整数 ｎ ０｝ 均有 。 ＜ 故初 口
始项 ０ 的取值 范 围为 （ 。，） 一。 １ ．
的取值范围为 （ ，） １２ ．
以上 ５道 高 考与 预赛 题具 有相 同 的背景 、 制 命
例 若于始 由川 竿孑 ∈ 斥 教辅 市 场 、 量 繁 多 的模 拟 试 题 ， 考试 题 是其 ５ 对初项。 ＝若（ ， 数 高
Ｎ） 产生 的无 穷 数列 ｛ ｝ 对 任 意正 整数 凡均 有 ， ＜ ， 求 的取值范围．
（０ １年上 海 市数 学 高考试题 ） ２０ 分析 由题 意知 数列 ｛ ｝ “ 函数 ” 的 原 为 中 的“ 品 ” 因此 ， 舍 得在 高 考 试题 研究 上 下 功 精 ． 要
一
例 １ 数列 ｛ 满足 ＝ ， 。 Ｘ｝ ０ ＋ ＝
ｃ ｎ∈Ｎ ） （ ．
＋ ＋
所以
ａｎ＋１ ） ０ｎ ，
（ ） 明： ｝ １证 ｛ 是单 调 递 减 数 列 的充 分 必 要 条 件 是 ｃ＜ ； ０
即 则
因此 ’
口 ）＞ａ ， ０ｃ １ Ａ，
满 足 定 理 １的 条 件．由 定 理 １知 使 不 等 式 ｏ ＜
由 ＝０和 定 理 １知 ， 使 ｛ ｝ 调 递 增 ， 需 要 单 只 ∈［ ， ） 函数 ） ［ ， ） 单调 递增 即可． ０ 且 在 ０ 上
因为 函数 ）：－． ＋ －， ＋。的对 称 轴 为 ： １ ２
＋∞ ）此 时 ） 全在 （ ，） ， ， 不 １２ 内 因此 不满 足定 理
调递增 且 ）∈（ ， ） （ ， ） 足 定 理 ２的条 １２ １２ 满
２的条件 ； Ｅ（一∞ ，） 当 １ 时
）
单 调递 增
件．
且 ）∈（ ， ） （一∞ ，） ０ １ １ 满足 定 理 ２的条 件 ．