类比思想在中学数学中的应用

数学专业毕业论文

类比思想在中学数学中的应用

类比思想在中学数学中的应用

前言

大数学家拉普拉斯曾经说过：“在数学的王国里，发现真理的主要工具就是归纳和类比。”[]1所谓类比法，是通过对两个研究对象的比较，根据它们某些方面（属性、关系、特征、形式等）的相同或相类似之处，推出它们在其它方面也可能相同或相类似的一种推理方法。类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想以至形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊的推理方法．利用类比法，可使我们的思维能力、观察能力得到良好的锻炼。

中学数学中的概念，公式，性质以及在解题中类比思想无处不在，通过类比可以探索出很多新的知识、方法，寻求出与众不同的解题思路，探索数学规律。由于类比是从特殊到特殊的一种猜测、推理，从一个已知的领域去探索另一个领域，而这正符合学生的好奇、去了解陌生世界的心理。这样可以极大地激发出学生的兴趣，让学生去主动地探索、研究新的知识。

除此之外，类比就是一种大胆的合理的推理，它是创新的一种手段。因为有了类比，在研究一个问题时，学生将跳出一定的框架，不受现有知识的约束，根据其中的思想方法、表现形式等去利用其他的知识、方法来大胆提出设想、来找到具有创新性的解题方法。[]2

伟大的德国古典哲学家康德也曾经说过：每当理智缺乏可靠论证的思路时，

类比，这个方法往往能指引我们前进在数学教学中，类比作为一种信息转移的桥梁，不仅是一种良好的学习方法，能使学生巩固旧知识掌握新知识；而且是一种理智的解题策略，能使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题形象化。[]3

古语云：授人以鱼，只供一饭；授人以渔，则终身受用无穷。学知识，更要学方法。类比思想是富于创造性的一种方法,它既是一种逻辑方法，也是一种科学研究的方法，是最重要的数学思想方法之一，在中学学数学中有着广泛的应用。[]4下面我将分四部分：第一部分总结了类比思想在数学概念中体现；第二部分归纳了类比思想在数学公式中体现；第三部分阐述了类比思想在数学性质中体现；第四部分结合例题分析了类比思想在数学解题中体现。接下来将具体论述这四个部分。

一、类比思想在中学数学概念中的体现

数学教育家波利亚说：“类比就是一种相似。”把两个数学对象进行比较，找出它们相似的地方，从而推出这两个数学对象的其它一些属性也有类似的地方，这在教学中关于概念、性质的教学是最常用的方法。

（一）类比思想在中学几何概念中的体现

数学中的许多概念之间有类似的地方,在新概念的提出、新知识的讲授过程中,运用类比方法,一方面可以让学生更好地理解新概念的内涵与外延,使学生更容易接受新知识, 其次也有利于掌握新旧知识间的区别和联系, 有利于知识的迁移, 更为重要的是可以让学生体会和学习类比思想方法, 培养学生的创新能力。[]5众所

周知，平面几何的基本构成元素是点和直线，而立体几何的基本构成元素是点、直线和平面。通过建立如下对应关系：平面内的点对应到空间中的点或直线，平面内的直线对应到空间中的直线或平面，那么把平面几何某些定理中的点换作直线，或把线换作平面，就可以帮助学生“发现”一类相似的立体几何定理。

1. 平面几何与立体几何在概念上的类比如：

（1）平面角是由一个交点与两条直线组成；

二面角是由一条直线与两个平面组成。

（2）平面上，到直线l的距离相等的点的集合是与直线平行且等距的两条直线12,l l；

空间中，到直线l的距离相等的点的集合是直的圆形曲面；

空间中，到平面α的距离相等的点的集合是与平面α平行的两个平面,βγ。

（3）平面上，到两定点的距离的和等于一个常数（大于两定点间的距离）的点的集合是椭圆；空间中，到两定点的距离的和等于一个常数（大于两定点间的距离）的点的集合是椭圆面；

平面上，到两定点的距离的差等于一个常数（小于两定点间的距离）的点的集合是双曲线；空间中，到两定点的距离的差等于一个常数（小于两定点间的距离）的点的集合是双曲面；

在平面，到定直线与定点的距离相等的点的距离相等的点的集合是一条抛物线；空间中，到定平面与定点的距离相等的点的距离相等的点的集合是一个抛物线面。

（二） 类比思想在中学数列概念中的体现 1. 数列中的等差和等比的概念也是类比关系:

(1)等差数列，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差；

(2)等比数列，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个（非零）常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。

二、类比思想在中学公式中的体现

在数学教学中，我们还看到，存在着并列关系的两个数学对象，它们之间无论是教学内容和教材处理都很相似，如等差数列和等比数列在内容上是完全平行的，包括定义 性质 通项公式等，两个数的等差（等比）中项 两种数列在函数角度下的解释等，因此在等比数列的教学中，采用类比的方法，对等差数列的概念公式和性质进行探索，归纳，类比，促进学生主动获得等比数列的知识它们的性质，重要结论有许多可类比的地方。 （一）类比思想在中学几何公式中的体现 1. 面积公式的类比：

三角形面积公式：ah S 21

=

， 三棱锥体积公式：Sh V 3

1

=；

梯形的面积公式：h b a S )(21

+=

； 棱台的体积公式：h S S S S V )(3

1

2211++=；

2. 平面内的一般三角形与空间中的四面体公式类比：

中,,a b c 分别为角

3. 平面几何与立体几何的类比：

立体几何与平面几何是前后衔接的两门相近科学，不少相关定理既有联系又有区别，立体几何的某些定理又可以溯源于平面几何中的某些定理因此立体几何的教学中可以由平面几何的知识类比引入的例子很多例如：

（1）平面上，在中ABC ∆,角A 、B 、C a 、b 、c 则cos cos a B b A c +=。如图： cos cos a B b A c +=；（如图1）

空间中，四面体P ABC -,面PAB 、

B

A

C

a

c

b