SnS-第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析(1)
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t0
f (t) cosn0tdt
➢正弦分量
bn
2 T
t0 T
t0
f (t)sin n0tdt
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
18
3.1.1 三角形式的傅里叶级数
➢狄里赫利条件
❖在一个周期内有有限个间断点 ❖在一个周期内有有限个极值点 ❖在一个周期内能量有限即绝对可积
t0 T f (t) 2 dt
时域 实部 虚部 变换域 变换域 偶对称 奇对称 时域
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
3
第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢引言 ➢连续周期信号的傅里叶级数表示 ➢练习一
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
4
第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢连续非周期信号的傅里叶变换 ➢练习二
信号与系统 第3章第1次课
38
3.1.4.1 周期矩形脉冲信号
➢三角形式的傅里叶级数
f (t)
E
T
2E
T
Sa n0
n1 2
cosn0t
➢复指数形式的傅里叶级数
f (t) E
Sa n0 e jn0t
T n 2
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
39
3.1.4.1 周期矩形脉冲信号
F0
a0 2
c0 2
Fn
Fn
e jn
1 2 (an
jbn )
Fn
F e jn n
1 2 (an
jbn )
引入了负频率
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
23
3.1.2 指数形式的傅里叶级数
➢两种傅氏级数的系数间的关系(续)
F0
a0 2
c0 2
Fn
Fn
e jn
1 2 (an
jbn )
➢一般表达式
f
(t)
a0 2
an
n1
cos n0t
bn
n1
sin n0t
直流 分量
基波分量 n =1
0
2
T
谐波分量 n>1
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
17
3.1.1 三角形式的傅里叶级数
➢直流分量 ➢余弦分量
a0 1 t0 T f (t)dt
2 T t0
an
2 T
t0 T
32
3.1.3 波形对称性与谐波特性
➢奇谐函数的傅氏级数
❖奇谐函数的偶次谐波的系数为0
an bn 0 (n为偶数)
an
4 T
T
02
f (t) cos n0tdt
bn
4 T
T
02
f
(t) sin n0tdt
(n为奇数 )
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
33
3.1.3 波形对称性与谐波特性
2021年2月22日星期一
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7
第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢连续时间LTI系统的频域求解 ➢练习五
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
8
3.0 引言
➢傅里叶生平
❖1768年3月21日生于法国 ❖1807年提出“任何周期信
号都可用正弦函数级数表 示” ❖拉格朗日反对发表 ❖1822年首次发表在“热的 分析理论”中 ❖1829年狄里赫利第一个给 出收敛条件
n
Fn
Fn
an 2
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
27
3.1.3 波形对称性与谐波特性
➢偶函数实例：周期三角函数
f (t) E
... -2T
-T T O
2
TT
2
... 2T t
f
(t)
E 2
4E
2
cos0t
1 32
cos30t
1 52
cos50t
2021年2月22日星期一
❖各谱线的幅度按包络线 Sa 变化。
过零点为 2m
➢三角形式的傅里叶级数 ➢指数形式的傅里叶级数 ➢周期信号的波形对称性与谐波特性的
关系
➢典型周期信号的傅里叶级数 ➢关于傅里叶级数的有关结论 ➢周期信号的频谱及其特点
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
Back 15
3.1.1 三角形式的傅里叶级数
➢三角函数在区间(t0, t0+T)内相互正交
➢表达式的推导
❖由前知
f
(t)
a0 2
an
n1
cos n0t
bn
n1
sin n0t
❖由欧拉公式得
f (t) Fne jn0t
n
❖其中
Fn
1 T
t0 T t0
f (t)e jn0tdt
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信号与系统 第3章第1次课
22
3.1.2 指数形式的傅里叶级数
➢两种傅氏级数的系数间的关系
信号与系统 第3章第1次课
29
3.1.3 波形对称性与谐波特性
➢奇函数实例：周期锯齿波
f (t)
E
...
-T T
2
OT
T
2
2T
t ...
-E
f
(t)
2E
sin
0t
1 2
sin
20t
1 sin 3
30t
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
30
3.1.3 波形对称性与谐波特性
12
3.1 连续周期信号的傅里叶级数表示
➢函数的正交分解
❖不完备分解
f (t) c1g1(t) c2g2 (t) cn gn (t)
❖完备分解 f (t) c1g1(t) c2g2(t) cn gn (t)
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信号与系统 第3章第1次课
13
3.1 连续周期信号的傅里叶级数表示
➢周期矩形脉冲信号 ➢周期锯齿脉冲信号 ➢周期三角脉冲信号 ➢周期半波余弦信号 ➢周期全波余弦信号
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信号与系统 第3章第1次课
Back 37
3.1.4.1 周期矩形脉冲信号
➢信号波形
f (t) E
...
-T
O
T
2
2
➢主值周期表达式
...
2T
t
f1(t
)
E
u
t
2
u
t
2
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信号与系统 第3章第1次课
Back 25
3.1.3 波形对称性与谐波特性
➢三种对称性
❖偶对称
f (t) f (t)
❖奇对称 ❖奇谐函数:半周期奇对称 ❖任意周期函数有:
f (t) f (t)
f (t) f t nT 2
f
(t)
a0 2
an
n1
cos n0t
bn
n1
sin n0t
1 2
cne
百度文库jn
Fn
1 2
(an
jbn )
1 2
cne jn
Im -bn
Fn
Fn
1 2
cn
Fn
n
n
arctan
bn an
Fn Fn 2 ReFn an
j(Fn Fn ) j2 ImFn bn
n F-n
bn
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信号与系统 第3章第1次课
cn
an Re dn
➢几种系数的关系
a0 c0 d0 cn dn an2 bn2
an cn cosn dn sinn
tan n
an bn
tan n
bn an
bn cn sinn dn cosn
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信号与系统 第3章第1次课
Back 21
3.1.2 指数形式的傅里叶级数
➢复指数函数集 e jn0t (n Z) 是完备正交集
信号与系统
——多媒体教学课件 (第三章 Part 1)
主要内容
➢傅里叶级数和傅里叶级数的性质 ➢傅里叶变换和傅里叶变换的性质 ➢周期信号和非周期信号的频谱分析 ➢卷积定理和连续时间LTI系统的频
域分析
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
2
概述
➢时域与变换域转换的对应关系
时域 连续 离散 变换域 变换域 非周期 周期 时域
10
3.0 引言
➢时域分析
❖基本信号：单位冲激信号δ(t)
➢频域分析
❖基本信号：正余弦信号sint或虚指数
信号 ejt
❖傅里叶变换，自变量为 j
➢复频域分析
❖基本信号：复指数信号 est
❖拉氏变换, 自变量为 s = +j
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信号与系统 第3章第1次课
Back 11
3.1 连续周期信号的傅里叶级数表示
信号与系统 第3章第1次课
28
3.1.3 波形对称性与谐波特性
➢周期奇函数：只含正弦项
❖三角表示式
o其中bn是实数
an 0
f (t) bn sin n0t
n1
bn
4 T
T
02
f
(t)sin n0tdt
❖指数表示式
o其中Fn是纯虚数
f (t) Fne jn0t
n
Fn
Fn
bn 2
j
2021年2月22日星期一
➢奇谐函数
f (t) f t T 2
❖沿时间轴移半个周期
❖ 上下反转
❖ 波形不变
❖半周期反对称
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信号与系统 第3章第1次课
31
3.1.3 波形对称性与谐波特性
➢奇谐函数的示例波形
f (t) E
...
-T T
O
2
TT
2
-E
...
2T
t
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
2021年2月22日星期一
偶函数项 奇函数项
信号与系统 第3章第1次课
26
3.1.3 波形对称性与谐波特性
➢周期偶函数：只含直流和余弦项
❖三角表示式
o其中an是实数
f
(t)
a0 2
an
n1
cos n0t
an
4 T
T
02
f
(t) cosn0tdt
❖复指数表示式
bn 0
o其中Fn是实数
f (t) Fne jn0t
➢三角函数完备正交函数集
❖三角函数是基本函数
❖建立了时间与频率两个基本物理量之 间的联系
❖三角函数是简谐信号，简谐信号容易 产生、传输、处理
❖三角函数信号通过线性时不变系统后， 仍为同频三角函数信号，仅幅度和相位 有变化，计算更方便
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14
3.1 连续周期信号的傅里叶级数表示
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9
3.0 引言
➢傅里叶的两个最主要的贡献
❖“周期信号都可表示为成谐波关系的 正弦信号的加权和” ——傅里叶的第一个主要论点
❖“非周期信号都可用正弦信号的加权 积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
5
第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢傅里叶变换的性质 ➢连续周期信号的傅里叶变换 ➢练习三
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信号与系统 第3章第1次课
6
第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢卷积定理 ➢连续LTI系统的频率响应与理想滤波
器 ➢练习四
t0
t0
T
cos
n0t
sin
m0tdt
0
t0
t0
T
cos
n0t
cos
m0tdt
T0 2
mn mn
t0
t0
T
sin
n0t
sin
m0tdt
T0 2
mn mn
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
16
3.1.1 三角形式的傅里叶级数
➢完三备角正函交数函集数{co集sn0t, sinn0t|n=0, 1, 2, …}是
➢频谱
...
4π
...
4π
2021年2月22日星期一
2π
2π
|Fn|
c2 c0 c1
2
2
c3
2
-20 O 0 0 2 π
n
O
2π
-
信号与系统 第3章第1次课
...
4π
...
4π
40
3.1.4.1 周期矩形脉冲信号
➢频谱特点
❖离散频谱，谱线间隔为基波频率ω0， 脉冲周期T越大，谱线越密。
❖各分量的大小正比于脉冲幅度E和脉 冲宽度τ ，反比于信号周期T。
➢函数的正交性
t2 t1 t2 t1
g1(t)g2 (t)dt gi2 (t)dt ki
0
i 1, 2
➢正交函数集
t2
t1 t2
t1
g
2 i
(t
)dt
ki
gi (t)g j (t)dt
0
i 1, 2, , n i, j 1, 2, , n, 且i j
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信号与系统 第3章第1次课
➢偶谐函数
f (t) f t T 2
❖沿时间轴移半个周期
❖波形不变
❖半周期对称
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信号与系统 第3章第1次课
34
3.1.3 波形对称性与谐波特性
➢偶谐函数的示例波形
... T
f (t) E
T O
T
2
2
...
T
t
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
35
3.1.3 波形对称性与谐波特性
➢偶谐函数的傅氏级数
❖偶谐函数的奇次谐波的系数为0
an bn 0 (n为奇数)
an
4 T
T
02
f (t) cos n0tdt
bn
4 T
T
02
f (t) sin n0tdt
(n为偶数 )
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
Back 36
3.1.4 典型周期信号的傅里叶级数
t0
❖一般周期信号都满足这些条件
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信号与系统 第3章第1次课
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3.1.1 三角形式的傅里叶级数
➢周期信号的三角函数正交集表示
f
(t)
c0 2
cn
n1
cosn0t
n
f
(t)
d0 2
dn
n1
sin(n0t
n )
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
20
3.1.1 三角形式的傅里叶级数
24
3.1.2 指数形式的傅里叶级数
➢复指数傅里叶级数的特点
❖引入了负频率变量，没有物理意义， 只是数学推导
❖ cn是实数，Fn 一般是复数 ❖ 当 Fn 是实数时，可用Fn的正负表示0
和π相位， 幅度谱和相位谱合一
Fn
2
e jn0t
Fn 2
e jn0t
Fn
cos
n0t n
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f (t) cosn0tdt
➢正弦分量
bn
2 T
t0 T
t0
f (t)sin n0tdt
2021年2月22日星期一
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3.1.1 三角形式的傅里叶级数
➢狄里赫利条件
❖在一个周期内有有限个间断点 ❖在一个周期内有有限个极值点 ❖在一个周期内能量有限即绝对可积
t0 T f (t) 2 dt
时域 实部 虚部 变换域 变换域 偶对称 奇对称 时域
2021年2月22日星期一
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第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢引言 ➢连续周期信号的傅里叶级数表示 ➢练习一
2021年2月22日星期一
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4
第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢连续非周期信号的傅里叶变换 ➢练习二
信号与系统 第3章第1次课
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3.1.4.1 周期矩形脉冲信号
➢三角形式的傅里叶级数
f (t)
E
T
2E
T
Sa n0
n1 2
cosn0t
➢复指数形式的傅里叶级数
f (t) E
Sa n0 e jn0t
T n 2
2021年2月22日星期一
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3.1.4.1 周期矩形脉冲信号
F0
a0 2
c0 2
Fn
Fn
e jn
1 2 (an
jbn )
Fn
F e jn n
1 2 (an
jbn )
引入了负频率
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3.1.2 指数形式的傅里叶级数
➢两种傅氏级数的系数间的关系(续)
F0
a0 2
c0 2
Fn
Fn
e jn
1 2 (an
jbn )
➢一般表达式
f
(t)
a0 2
an
n1
cos n0t
bn
n1
sin n0t
直流 分量
基波分量 n =1
0
2
T
谐波分量 n>1
2021年2月22日星期一
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3.1.1 三角形式的傅里叶级数
➢直流分量 ➢余弦分量
a0 1 t0 T f (t)dt
2 T t0
an
2 T
t0 T
32
3.1.3 波形对称性与谐波特性
➢奇谐函数的傅氏级数
❖奇谐函数的偶次谐波的系数为0
an bn 0 (n为偶数)
an
4 T
T
02
f (t) cos n0tdt
bn
4 T
T
02
f
(t) sin n0tdt
(n为奇数 )
2021年2月22日星期一
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3.1.3 波形对称性与谐波特性
2021年2月22日星期一
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第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢连续时间LTI系统的频域求解 ➢练习五
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
8
3.0 引言
➢傅里叶生平
❖1768年3月21日生于法国 ❖1807年提出“任何周期信
号都可用正弦函数级数表 示” ❖拉格朗日反对发表 ❖1822年首次发表在“热的 分析理论”中 ❖1829年狄里赫利第一个给 出收敛条件
n
Fn
Fn
an 2
2021年2月22日星期一
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3.1.3 波形对称性与谐波特性
➢偶函数实例：周期三角函数
f (t) E
... -2T
-T T O
2
TT
2
... 2T t
f
(t)
E 2
4E
2
cos0t
1 32
cos30t
1 52
cos50t
2021年2月22日星期一
❖各谱线的幅度按包络线 Sa 变化。
过零点为 2m
➢三角形式的傅里叶级数 ➢指数形式的傅里叶级数 ➢周期信号的波形对称性与谐波特性的
关系
➢典型周期信号的傅里叶级数 ➢关于傅里叶级数的有关结论 ➢周期信号的频谱及其特点
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
Back 15
3.1.1 三角形式的傅里叶级数
➢三角函数在区间(t0, t0+T)内相互正交
➢表达式的推导
❖由前知
f
(t)
a0 2
an
n1
cos n0t
bn
n1
sin n0t
❖由欧拉公式得
f (t) Fne jn0t
n
❖其中
Fn
1 T
t0 T t0
f (t)e jn0tdt
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
22
3.1.2 指数形式的傅里叶级数
➢两种傅氏级数的系数间的关系
信号与系统 第3章第1次课
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3.1.3 波形对称性与谐波特性
➢奇函数实例：周期锯齿波
f (t)
E
...
-T T
2
OT
T
2
2T
t ...
-E
f
(t)
2E
sin
0t
1 2
sin
20t
1 sin 3
30t
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
30
3.1.3 波形对称性与谐波特性
12
3.1 连续周期信号的傅里叶级数表示
➢函数的正交分解
❖不完备分解
f (t) c1g1(t) c2g2 (t) cn gn (t)
❖完备分解 f (t) c1g1(t) c2g2(t) cn gn (t)
2021年2月22日星期一
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3.1 连续周期信号的傅里叶级数表示
➢周期矩形脉冲信号 ➢周期锯齿脉冲信号 ➢周期三角脉冲信号 ➢周期半波余弦信号 ➢周期全波余弦信号
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
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3.1.4.1 周期矩形脉冲信号
➢信号波形
f (t) E
...
-T
O
T
2
2
➢主值周期表达式
...
2T
t
f1(t
)
E
u
t
2
u
t
2
2021年2月22日星期一
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3.1.3 波形对称性与谐波特性
➢三种对称性
❖偶对称
f (t) f (t)
❖奇对称 ❖奇谐函数:半周期奇对称 ❖任意周期函数有:
f (t) f (t)
f (t) f t nT 2
f
(t)
a0 2
an
n1
cos n0t
bn
n1
sin n0t
1 2
cne
百度文库jn
Fn
1 2
(an
jbn )
1 2
cne jn
Im -bn
Fn
Fn
1 2
cn
Fn
n
n
arctan
bn an
Fn Fn 2 ReFn an
j(Fn Fn ) j2 ImFn bn
n F-n
bn
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
cn
an Re dn
➢几种系数的关系
a0 c0 d0 cn dn an2 bn2
an cn cosn dn sinn
tan n
an bn
tan n
bn an
bn cn sinn dn cosn
2021年2月22日星期一
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Back 21
3.1.2 指数形式的傅里叶级数
➢复指数函数集 e jn0t (n Z) 是完备正交集
信号与系统
——多媒体教学课件 (第三章 Part 1)
主要内容
➢傅里叶级数和傅里叶级数的性质 ➢傅里叶变换和傅里叶变换的性质 ➢周期信号和非周期信号的频谱分析 ➢卷积定理和连续时间LTI系统的频
域分析
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
2
概述
➢时域与变换域转换的对应关系
时域 连续 离散 变换域 变换域 非周期 周期 时域
10
3.0 引言
➢时域分析
❖基本信号：单位冲激信号δ(t)
➢频域分析
❖基本信号：正余弦信号sint或虚指数
信号 ejt
❖傅里叶变换，自变量为 j
➢复频域分析
❖基本信号：复指数信号 est
❖拉氏变换, 自变量为 s = +j
2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
Back 11
3.1 连续周期信号的傅里叶级数表示
信号与系统 第3章第1次课
28
3.1.3 波形对称性与谐波特性
➢周期奇函数：只含正弦项
❖三角表示式
o其中bn是实数
an 0
f (t) bn sin n0t
n1
bn
4 T
T
02
f
(t)sin n0tdt
❖指数表示式
o其中Fn是纯虚数
f (t) Fne jn0t
n
Fn
Fn
bn 2
j
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➢奇谐函数
f (t) f t T 2
❖沿时间轴移半个周期
❖ 上下反转
❖ 波形不变
❖半周期反对称
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31
3.1.3 波形对称性与谐波特性
➢奇谐函数的示例波形
f (t) E
...
-T T
O
2
TT
2
-E
...
2T
t
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2021年2月22日星期一
偶函数项 奇函数项
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26
3.1.3 波形对称性与谐波特性
➢周期偶函数：只含直流和余弦项
❖三角表示式
o其中an是实数
f
(t)
a0 2
an
n1
cos n0t
an
4 T
T
02
f
(t) cosn0tdt
❖复指数表示式
bn 0
o其中Fn是实数
f (t) Fne jn0t
➢三角函数完备正交函数集
❖三角函数是基本函数
❖建立了时间与频率两个基本物理量之 间的联系
❖三角函数是简谐信号，简谐信号容易 产生、传输、处理
❖三角函数信号通过线性时不变系统后， 仍为同频三角函数信号，仅幅度和相位 有变化，计算更方便
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14
3.1 连续周期信号的傅里叶级数表示
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3.0 引言
➢傅里叶的两个最主要的贡献
❖“周期信号都可表示为成谐波关系的 正弦信号的加权和” ——傅里叶的第一个主要论点
❖“非周期信号都可用正弦信号的加权 积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
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2021年2月22日星期一
信号与系统 第3章第1次课
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第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢傅里叶变换的性质 ➢连续周期信号的傅里叶变换 ➢练习三
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第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢卷积定理 ➢连续LTI系统的频率响应与理想滤波
器 ➢练习四
t0
t0
T
cos
n0t
sin
m0tdt
0
t0
t0
T
cos
n0t
cos
m0tdt
T0 2
mn mn
t0
t0
T
sin
n0t
sin
m0tdt
T0 2
mn mn
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3.1.1 三角形式的傅里叶级数
➢完三备角正函交数函集数{co集sn0t, sinn0t|n=0, 1, 2, …}是
➢频谱
...
4π
...
4π
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2π
2π
|Fn|
c2 c0 c1
2
2
c3
2
-20 O 0 0 2 π
n
O
2π
-
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...
4π
...
4π
40
3.1.4.1 周期矩形脉冲信号
➢频谱特点
❖离散频谱，谱线间隔为基波频率ω0， 脉冲周期T越大，谱线越密。
❖各分量的大小正比于脉冲幅度E和脉 冲宽度τ ，反比于信号周期T。
➢函数的正交性
t2 t1 t2 t1
g1(t)g2 (t)dt gi2 (t)dt ki
0
i 1, 2
➢正交函数集
t2
t1 t2
t1
g
2 i
(t
)dt
ki
gi (t)g j (t)dt
0
i 1, 2, , n i, j 1, 2, , n, 且i j
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➢偶谐函数
f (t) f t T 2
❖沿时间轴移半个周期
❖波形不变
❖半周期对称
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3.1.3 波形对称性与谐波特性
➢偶谐函数的示例波形
... T
f (t) E
T O
T
2
2
...
T
t
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3.1.3 波形对称性与谐波特性
➢偶谐函数的傅氏级数
❖偶谐函数的奇次谐波的系数为0
an bn 0 (n为奇数)
an
4 T
T
02
f (t) cos n0tdt
bn
4 T
T
02
f (t) sin n0tdt
(n为偶数 )
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3.1.4 典型周期信号的傅里叶级数
t0
❖一般周期信号都满足这些条件
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3.1.1 三角形式的傅里叶级数
➢周期信号的三角函数正交集表示
f
(t)
c0 2
cn
n1
cosn0t
n
f
(t)
d0 2
dn
n1
sin(n0t
n )
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3.1.1 三角形式的傅里叶级数
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3.1.2 指数形式的傅里叶级数
➢复指数傅里叶级数的特点
❖引入了负频率变量，没有物理意义， 只是数学推导
❖ cn是实数，Fn 一般是复数 ❖ 当 Fn 是实数时，可用Fn的正负表示0
和π相位， 幅度谱和相位谱合一
Fn
2
e jn0t
Fn 2
e jn0t
Fn
cos
n0t n
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