(精品)带电粒子在电磁场中周期性运动(新课难度较大)

带电粒子在电磁场中周期性运动
1、如图所示，在x轴上方有一匀强电场，场强大小为E，方向竖直向下．在x轴下方有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里．在x轴上有一点p，离原点距离为a．现有一带电量为+q，质量为m的粒子，不计重力，从0＜x＜a区间某点由静止开始释放后，能经过p点．试求：
（1）释放瞬间粒子的加速度；
（2）释放点的坐标x、y应满足的关系式？
2、如图所示，在NOQ范围内有垂直于纸面向里的匀强磁场I，在
MOQ范围内有垂直于纸面向外的匀强磁场II，M、O、N在一条直线上，∠MOQ=60°。

这两个区域磁场的磁感应强度大小均为B。

离子源中的离子（带电量为+q，质量为m）通过小孔O1进入极板间电压为U的加速电场区域（可认为初速度为
零），离子经电场加速后通过小孔O2射出，从接近O点
外进入磁场区域I。

离子进入磁场的速度垂直于磁场边
界MN，也垂直于磁场。

不计离子的重力。

（1）当加速电场极板电压U=U0，求离子进入磁场中做
圆周运动的半径R；
（2）在OQ有一点P，P点到O点距离为L，当加速电场
极板电压U取哪些值，才能保证离子通过P点。

3、
4、如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B、方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点O．O点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍．已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力．
（1）推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨道半径；
（2）求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角；
（3）沿磁场边界放置绝缘弹性挡板，使粒子与挡板碰撞后以原速率弹
回，且其电荷量保持不变．若从O点沿x轴正方向射入磁场的粒子速
度已减小为v/2，求该粒子第一次回到O点经历的时间．
5、如图所示，真空中分布着有界的匀强电场和两个均垂直于纸 面，但方向相反的匀强磁场，电场的宽度为L ，电场强度为E ， 磁场的磁感应强度都为B ，且右边磁场范围足够大．一带正电 粒子质量为m ，电荷量为q ，从A 点由静止释放经电场加速后进 入磁场，穿过中间磁场进入右边磁场后能按某一路径再返回A 点而重复上述过程，不计粒子重力，求： （1）粒子进入磁场的速率v ； （2）中间磁场的宽度d （3）求粒子从A 点出发到第 一次回到A 点所经历的时间t 。

7、如图a 所示，水平直线MN 下方有竖直向上的匀强电场，现 将一重力不计、比荷610/q
C kg m
=的正电荷置于电场中的O 点 由静止释放，经过
15
π×10—5s 后，电荷以v 0=1．5×l04m ／s 的速 度通过MN 强度B 按图b 所示规律周期性变化（图b 中磁场以垂直纸面向 外为正，以电荷第一次通过MN 时为t=0时刻）。

求：
（1 E （2）图b 中45
t π=
×10-5s 时刻电荷与O 点的水平距离 （3d= 68cm 处有一垂直于MN 的足够大的挡板， 求电荷从O 点出发运动到挡板所需的时间。

8、如图8－2－9甲所示，M 、N 为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d ，两板中央各有一个小孔O 、O ′且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示．有一群正离子在t ＝0时垂直于M 板从小孔O 射入磁场．已知正离子质量为m ，带电荷量为q ，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T 0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求： (1)磁感应强度B 0的大小；
(2)要使正离子从O ′孔垂直于N 板射出磁场，正离子射入 磁场时的速度v 0的可能值．
9、如图甲所示的坐标系中，第四限象内存在垂直于纸面向里的有界匀强磁场，x 方向的宽度
OA=203cm ，y 方向无限制，磁感应强度B 0=1×10-4
T 。

现有一比荷为
m
q =2×1011
C/kg 的正离子以某一速度从O
点射入磁场，α=60°，离子通过磁场后刚好从A 点射出。

（1）求离子进入磁场B 0的速度的大小； （2）离子进入磁场B 0后，某时刻再加一个同方向的匀强磁场，使离子做完整的圆周运动，
求所加磁场磁感应强度的最小值；
（3）离子进入磁场B 0后，再加一个如图乙所示的变化磁场（正方向与B 0方向相同，不考
虑磁场变化所产生的电场），求离子从O 点到A 点的总时间。

乙
甲
O
s)1012
/(
7-⨯π
t
B /(10-4T)
11
1
2
3 4 5 6 7 8
O
x
y α
×××× ×××× ××××
××××
A
B 0
1.
（20分）解：⑴电荷在电场中做匀加速直线运动，设其在电场中运动的时间为1t ，有： 10at v = ma Eq = 解得：C N qt mv E /102.731
⨯== ⑵当磁场垂直纸面向外时，电荷运动的半径： cm q B mv r 5101==
周期 s q B m T 511103
22-⨯==π
π 当磁场垂直纸面向里时，电荷运动的半径： cm q B mv r 3202==
周期 s q B m T 522105
22-⨯==π
π 故电荷从t=0时刻开始做周期性运动，其运动轨迹如图所示。

45
t π=
×10-5s 时刻电荷与O 点的水平距离：Δd=)(221r r -=4cm （4分） ⑶电荷从第一次通过MN 开始，其运动的周期为：s T 51054-⨯=π
根据电荷的运动情况可知，电荷到达档板前运动的完整周期数为15个，有： 电荷沿ON 运动的距离：s=15Δd=60cm （2分） 故最后8cm 的距离如图所示，有：
s d r r -=+αcos 11
解得：6.0cos =α 则ο53=α （4分） 故电荷运动的总时间：
s T T T t t 4
1111086.3360532115-⨯=-++=ο
ο总（4分）
2、相距2L 的AB 、CD 两直线间的区域存在着两个大小不同、方向相反的有界匀强电场，其中PT 上方的电场E 1的场强方向竖直向下，PT 下方的电场E 0的场强方向竖直向上，在电场左边界AB 上宽为L 的PQ 区域内，连续分布着电量为＋q 、质量为m 的粒子。

从某时刻起由Q 到P 点间的带电粒子，依次以相同的初速度v 0沿水平方向垂直射入匀强电场E 0中，若从Q 点射入的粒子，通过PT 上的某点R 进入匀强电场E 1后从CD 边上的M 点水平射出，其轨迹如图，若MT 两点的距离为L/2。

不计粒子的重力及它们间的相互作用。

试求： （1）电场强度E 0与E 1；
（2）在PQ 间还有许多水平射入电场的粒子通过电场后也能垂直CD 边水平射出，这些入射点到P 点的距离有什么规律？
（3）有一边长为a 、由光滑绝缘壁围成的正方形容器，在其边界正中央开有一小孔S ，将其置于CD 右侧，若从Q 点射入的粒子经AB 、CD 间的电场从S 孔水平射入容器中。

欲使粒子在容器中与器壁多次垂直碰撞后仍能从S 孔射出(粒子与绝缘壁碰撞时无能量和电量损失)，并返回Q 点，在容器中现加上一个如图所示的匀强磁场，粒子运动的半径小于a ，磁感应强度B 的大小还应满足什么条件？
（1）（6分）设粒子经PT 直线上的点R 由E 0电场进入E 1电场，由Q 到R 及R 到M 点的时间分别为t 1与t 2，到达R 时竖直速度为v y ，则：
由2
12s at =
、v at =及F qE ma ==得： 2201111122qE L a t t m
== ① （1分）
A C E 0
v 0
P
B
E 1 D
T 2L
Q
M
S R A
C E 0v 0
P
B
E 1
D
T 2L Q M S R
22122211222qE L a t t m
== ② （1分） 0112y qE qE
v t t m m == ③ （1分）
()0122v t t L += ④ （1分）
上述三式联立解得：102E E =,20098mv E qL =（1分）即2
194mv E qL
=（1分）。

(2)（6分）由E 1＝2E 0及③式可得t 1＝2t 2。

因沿PT 方向粒子做匀速运动，故P 、R 两点间的距离是R 、T 两点间距离的两倍。

即粒子在E 0电场做类平抛运动在PT 方向的位移是在E 1电场中的两倍。

设PQ 间到P 点距离为△y 的F 处射出的粒子通过电场后也沿水平方向，若粒子第一次达PT 直线用时△t ，水平位移为△x ，则
0x v t ∆=∆（1分） 20
1()2qE y t m
∆=
∆ （1分） 粒子在电场E 1中可能做类平抛运动后垂直CD 边射出电场，也可能做类斜抛运动后返回E 0电场，在E 0电场中做类平抛运动垂直CD 水平射出，或在E 0电场中做类斜抛运动再返回E 1电场。

若粒子从E 1电场垂直CD 射出电场，则 ()3122
x
n x L ∆+∆+
= （n ＝0、1、2、3、……）
（1分） 解之得：()()
2
200200114()2232121qE qE x L L
y m v m n v n ⎛⎫∆∆=== ⎪ ⎪++⎝⎭ （n ＝0、1、2、3、……） （1分）
若粒子从E 0电场垂直CD 射出电场，则
32k x L ∆= （k ＝1、2、3、……） （1分）
2
2002
00112()2234qE qE x L L y m v m kv k ⎛⎫∆∆=== ⎪
⎝⎭ （k ＝1、2、3、……）（1分）
即PF 间的距离为()
2
21
421L
L k
n +与
其中n ＝0、1、2、3、……，k ＝1、2、3、…… 或 322
x
n
L ∆= （n ＝1、2、3、……） （2分） 解之得：2
2002
00114()223qE qE x L L
y m v m nv n ⎛⎫∆∆=
== ⎪⎝⎭ （n ＝1、2、3、……） （2分）
即PF 间的距离为21
L n
（n = 1，2，3，……）
（3）（6分）欲使粒子仍能从S 孔处射出，粒子的运动轨迹可能是如图甲、乙所示的两种情况。

对图甲所示的情形，粒子运动的半径为R 1，则
10122(21)
a
R n n =
=+L L ，、、、 （1分）
又1
2
10R mv B qv = （1分）
解得：0
12(21)0123n mv B n qa
+=
=L ，、、、 （1分）
对图乙所示的情形，粒子运动的半径为R 2，则
2124a
R k k
=
=L L ，、、 （1分） 又2
2
20R mv B qv = （1分）
24,123kmv B k qa
=
=L 、、 （1分） 综合B 1、B 2得：0
2,123Nmv B N qa
==L 、、
或122a
R N
=
=L L ，N 、、 （2分） 又2
2
20R mv B qv = （2分）
22,123Nmv B N qa
=
=L 、、 （2分）
S
乙
甲
S。