第十二章动能定理习题解答

图12-45
动能定理
(1)
对式(1)求导
曲柄OA，定轴转动微分方程
12–26图12-46所示的三棱柱A沿三棱柱B的光滑斜面滑动，A和B的质量各为m1与m2，三棱柱B的斜面与水平面成 角。如开始时物体系静止，不计摩擦。试求运动时三棱柱B的加速度。
图12-46
动量守恒
，开始静止，
有
(1)
对时间求导
(2)
图12-30
动能定理
12–9图12-31所示链条传运机，链条与水平线的夹角为 ，在链轮B上作用一力偶矩为M的力偶，传运机从静止开始运动。已知被提升重物A的质量为m1，链轮B、C的半径均为r，质量均为m2，且可看成均质圆柱。试求传运机链条的速度，以其位移s表示。不计链条的质量。
图12-31
动能定理
12–10如图12-32所示，质量为m1的直杆AB可以自由地在固定铅垂套管中移动，杆的下端搁在质量为m2、倾角为 的光滑的楔块C上，楔块又放在光滑的水平面上。由于杆的压力，楔块向水平向右方向运动，因而杆下降，试求两物体的加速度。
图12-27
12–6椭圆规尺在水平面内由曲柄带动，设曲柄和椭圆规尺都是均质细杆，其质量分别为m1和2m1，且OC=AC=BC=l，如图12-28所示。滑块A和B的质量都等于m2。如作用在曲柄上的力偶矩为M，不计摩擦，试求曲柄的角加速度。
图12-28
动能定理
12–7曲柄导杆机构在水平面内，曲柄OA上作用有一力偶矩为M的常力偶，如图12-29所示。若初始瞬时系统处于静止，且∠AOB= ，试问当曲柄转过一圈后，获得多大的角速度？设曲柄质量为m1，长为r且为均质细杆；导杆质量为m2；导杆与滑道间的摩擦力可认为等于常值F，不计滑块A的质量。
12–28均质杆AB的质量为m=4kg，其两端悬挂在两条平行绳上，杆处在水平位置，如图12-48所示。设其中一绳突然断了，试求此瞬时另一绳的张力F。
图12-48
刚体平面运动微分方程
(1)
(2)
联立式(1)、(2)求得
12–29均质细杆OA可绕水平轴O转动，另一端有一均质圆盘，圆盘可绕A在铅直面内自由旋转，如图12-49所示。已知杆OA长为l，质量为m1；圆盘半径为R，质量为m2。不计摩擦，初始瞬时杆OA水平，杆和圆盘静止。试求杆与水平线成 角的瞬时，杆的角速度和角加速度。
图12-44
动能定理
定轴转动微分方程
或
质心运动定理
12–25图12-45所示为放在水平面内的曲柄滑道机构。曲柄OA长为l,质量为m1，视为的匀质直杆。丁字形滑道连杆BCD的质量为m2，对称于x轴。在曲柄上施加有一力偶，其力偶矩为M。设开始时 0=0°， =0，试求当曲柄与x轴夹角为 时，曲柄的角速度、角加速度及滑块A对槽面的压力。摩擦和滑块质量均不计。
图12-35
(1)
动能定理
ห้องสมุดไป่ตู้(2)
动能定理
12–14在图12-36所示的系统中，物块M和滑轮A、B的质量均为m，且滑轮可视为均质圆盘，弹簧的刚度系数为k，不计轴承摩擦，绳与轮之间无滑动。当物块M离地面的距离为h时，系统处于平衡。现在给物块M以向下的初速度v0，使它恰能到达地面，试求物块M的初速度v0。
图12-34
动能定理
12–13如图12-35所示，均质直杆AB重100N，长AB=200mm，两端分别用铰链与滑块A、B连接，滑块A与一刚度系数为k=2N/mm的弹簧相连，杆与水平线的夹角为 ，当 =0o时弹簧为原长。摩擦与滑块A、B的质量均不计。试求：（1）杆自 =0°处无初速地释放时，弹簧的最大伸长量。（2）杆在 =60°处无初速地释放时，在 =30°时杆的角速度。
动能定理
对时间求导，注意
初瞬时( )，vA=0
故
12–12如图12-34所示，绳索的一端E固定，绕过动滑轮D与定滑轮C后，另一端与重物B连接。已知重物A和B的质量均为m1；滑轮C和D的质量均为m2，且均为均质圆盘，重物B与水平面间的动摩擦因数为 。如重物A开始时向下的速度为v0，试求重物A下落多大距离时，其速度将增加一倍？
图12-36
动能定理
12–15两均质直杆，长均为l，质量均为m，在B处用铰链连接，并可在图12-37所示的铅垂平面内运动，AB杆上作用有一力偶矩为M的常力偶。如在图示位置从静止释放，试求当A端碰到支座O时，A端的速度vA。
图12-37
杆AB任意 时
当 时
动能定理
12–16质点在变力 的作用下沿空间曲线运动，其矢径 ，试求力F的功率。
图12-40
动能定理
(1)
由(1)得
滑块B
12–21两个相同的滑轮，半径为R，质量为m，用绳缠绕连接如图12-41所示。两滑轮可视为均质圆盘。如系统由静止开始运动，试求滑轮质心C下落距离h时的速度及AB段绳子的拉力。
图12-41
滑轮O
滑轮C
因
故
动能定理
12–22如图12-42所示的均质细杆AB，长为l，质量为m，放在铅直面内，杆与水平面成角 ，杆的一端A靠在光滑的铅直墙上，另一端B放在光滑的水平地面上，然后杆由静止状态倒下。试求：（1）杆在任意位置时的角速度 和角加速度 ；（2）杆脱离墙时与水平面所成的夹角 。
习题
12–1一刚度系数为k的弹簧，放在倾角为 的斜面上。弹簧的上端固定，下端与质量为m的物块A相连，图12-23所示为其平衡位置。如使重物A从平衡位置向下沿斜面移动了距离s，不计摩擦力，试求作用于重物A上所有力的功的总和。
图12-23
12–2如图12-24所示，在半径为r的卷筒上，作用一力偶矩M=a +b 2，其中 为转角，a和b为常数。卷筒上的绳索拉动水平面上的重物B。设重物B的质量为m，它与水平面之间的滑动摩擦因数为 。不计绳索质量。当卷筒转过两圈时，试求作用于系统上所有力的功的总和。
图12-29
动能定理
12–8半径为R质量为m1的均质圆盘A放在水平面上，如图12-30所示。绳子的一端系在圆盘中心A，另一端绕过均质滑轮C后挂有重物B。已知滑轮C的半径为r，质量为m2；重物B质量为m3。绳子不可伸长，不计质量。圆盘作纯滚动，不计滚动摩擦。系统从静止开始运动，试求重物B下落的距离为h时，圆盘中心的速度和加速度。
图12-32
动能定理
12–11如图12-33所示，均质细杆长为l，质量为m1，上端B靠在光滑的墙下，下端A用铰链与圆柱的中心相连。圆柱质量为m2，半径为R，放在粗糙的地面上，自图示位置由静止开始滚动而不滑动。如杆与水平线的夹角 =45°，不计滚动摩擦，试求A点在初瞬时的加速度。
图12-33
分析任意位置
图12-49
圆盘任意位置
圆盘平动
动能定理
(1)
式(1)对时间求导
12–30图12-50所示三棱柱体ABC的质量为m1，放在光滑的水平面上，可以无摩擦地滑动。质量为m2的均质圆柱体O由静止沿斜面AB向下滚动而不滑动。如斜面的倾角为 ，试求三棱柱体的加速度。
图12-50
与习题12-26类似
动量守恒
，开始静止，
12–19均质直杆AB的质量m=1.5kg，长度l=0.9m，在图12-39所示水平位置时从静止释放，试求当杆AB经过铅垂位置时的角速度及支座A的反力。
图12-39
动能定理
定轴转动微分方程
质心运动定理
12–20如图12-40所示，已知均质圆柱A的半径为0.2m，质量为10kg，滑块B的质量为5kg，它与斜面间动摩擦因数 ，圆柱A只作纯滚动，系统由静止开始运动。试求A、B沿斜面向下运动10m时滑块B的速度和加速度，以及AB杆所受的力。不计AB杆的质量。
图12-43
(瞬时平动 ， )
动能定理
绳索OA运动到铅垂位置时， ，质心加速度沿铅垂方向。
以C点为基点，分析B点
以C点为基点，分析A点
向y方向
由平面运动方程
(1)
(2)
由(1)+(2)得
由(1)得
12–24如图12-44所示，均质杆OA重150N，可绕垂直于图面的光滑水平轴O转动。杆的A端连有刚度系数为k=0.5N/mm的弹簧。在图示位置时，弹簧的变形是100mm，杆的角速度 。试求杆转过90°时的角速度和角加速度以及轴O的反力。
图12-42
动能定理
动能定理
(1)
由式(1)对时间求导，注意 (设 与 同向，为逆时针)
质心运动定理
得
12–23如图12-43所示，均质杆AB质量为m，长2l，一端用长l的绳索OA拉住，另一端B放置在光滑地面上可沿地面滑动。开始时系统处于静止状态，绳索OA位于水平位置，O、B点在同一铅垂线上。试求当绳索OA运动到铅垂位置时，B点的速度 和绳索的拉力 以及地面的反力 。
图12-24
12–3均质杆OA长l，质量为m，绕着球形铰链O的铅垂轴以匀角速度 转动，如图12-25所示。如杆与铅垂轴的夹角为 ，试求杆的动能。
图12-25
12–4质量为m1的滑块A沿水平面以速度 移动，质量为m2的物块B沿滑块A以相对速度u滑下，如图12-26所示。试求系统的动能。
图12-26
12–5如图12-27所示，滑块A质量为m1，在滑道内滑动，其上铰接一均质直杆AB，杆AB长为l，质量为m2。当AB杆与铅垂线的夹角为 时，滑块A的速度为 ，杆AB的角速度为 。试求在该瞬时系统的动能。
有
(1)
对时间求导
(2)
动能定理
对时间求导
将上式除以 ，得
将式(1)、(2)代入上式，得
动能定理
对时间求导
将式(1)、(2)代入上式，得
12–27物A质量为m1，沿楔状物D的斜面下降，同时借绕过定滑轮C的绳使质量为m2的物体B上升，如图12-47所示。斜面与水平成 角，滑轮和绳的质量及一切摩擦均略去不计。试求楔状物D作用于地面凸出部分E的水平压力。
图12-47