等比数列前N项和的性质

法三：∵{an}为等比数列，
∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列． 即7，S4－7,91－S4成等比数列， ∴(S4－7)2＝7(91－S4)． 解得S4＝28或－21.
∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2
＝(a1＋a2)(1＋q2)＝7(1＋q2)＞0， ∴S4＝28.
q
S偶 S奇
170 2 85
ห้องสมุดไป่ตู้
Sn S偶 S奇 170 85 255
由等比数列前 n项和公式得：
1 2 255 1-2
n
n8
等差数列前n项和的性质： ① 数列 {an }是等比数列

S n Aq - A( A 0)
n
② an 为等比数列 S k , S 2k S k , S3k S 2k 也成等比数列。
[解 ]
法一：∵S2＝7，S6＝91，易知q≠1，
a11＋q＝7， ∴a11－q6 ＝91. 1 － q a11＋q1－q1＋q2＋q4 ∴ ＝91. 1－ q ∴q4＋q2－12＝0.∴q2＝3. a11－q4 ∴S4＝ ＝a1(1＋q)(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28. 1－ q ∴S4＝28.
前20项和S20＝30，求S30.
【 思 路 点 拨 】 法 二 法 一 ： 设公比为q ：
→ 根据条件列方程组 → 解出q → 代入求S30 根据题意S10，S20－S10，S30－S20成等比数列 → S10＝10，S20＝30 → S30
【解】
法一：设公比为 q，则 ① ②
a11－q10 ＝10 1－q 20 a 1 － q 1 1－q ＝30
这个形式和等比 数列等价吗？ 相反 数
n
等比数列前n项和的性质一：
数列 {an }是等比数列
S n Aq - A ( A 0, q 1, q 0)
1 、若等比数列 {an }的前n项和S n 4n a，求a的值。
提示：
S n Aq - A( A 0)
n
系数和常数互为相反数
2.5.2等比数列的前n项和的性质
1、等比数列前n项和公式:
na1 S n a1 (1 q n ) 1-q
q 1，
na1 或 S n a1 an q q 1。 1-q
q 1 ， q 1。
2、数学思想：分类讨论，整体代入法。 3、两个求和方法： (1)分组转化求和法； (2)错位相减求和法；
a 1
1 、若等比数列 {an }的前n项和S n 3n1 2a，求a的值。
1 1 1 n 化简到： S n 3 2a 2a 0 a 3 3 6
我们知道，等差数列有这样的性质：
如果an 为等差数列 ，则S k , S 2k S k , S3k S 2k 也成等差数列。
新的等差数列首项为 S k，公差为k d。
2
那么，在等比数列中，也有类似的性质吗？
怎么证 明？
等比数列前n项和的性质二：
如果an 为等比数列 ，则S k , S 2k S k , S3k S 2k 也成等比数列
新等比数列首项为 S k，公比为q k 。
例2
已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，
解： a1an
a2 an1 128
又有a1 an 66
两式联立解得：
a1 2 a1 64 或 a n 64 a n 2 显然，q 1。
例3、等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，求 S 4.
[提示] 本题应用等比数列的性质求S4更简捷．
法二：设数列{an}的公比为q， ∵S2＝7，S6＝91，
a1＋a2＝7， ∴ a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝91. a1＋a2＝7， ∴ 2 4 7 ＋ 7 q ＋ 7 q ＝91.
∴q4＋q2－12＝0.∴q2＝3. a11－q4 ∴S4＝ ＝a1(1＋q)(1＋q2)＝7(1＋3)＝28. 1－ q
1 、数列1 ，a，a ， ，a ， 的前n项和为( D ) n 1 1 an n 1 1 a 1 a A. B. D.以上均不正确 C . 1 a 1 a 1 a
2
n1
2.求和a -1 a - 2 ...... a - n
2 n




a1 n a1 a1 a1q n Sn q Sn 1-q 1-q 1-q a1 令A 0 则：S n Aqn - A 1-q
260
。
S6 2、等比数列 {an }的前n项和为S n，若 3， S3 S9 求 的值。 S6
3、任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项 和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是（ D）
A. X Z 2Y B.Y Y Z Z Z X
C.Y XZ
解： 令S奇 a1 a3 a99 60
S偶 a2 a4 a100
S偶 1 由等比数列前 n项和性质知： q S奇 3
则S100 S奇 S偶
S偶 20
即：S100 S偶 S奇 80
5、已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇 数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？ 提示：
② 得 1＋q10＝3，∴q10＝2， ①
a1 10 1 q
a11－q30 ∴S30＝ ＝70. 1－q 法二：∵S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列， 又 S10＝10，S20＝30， 30－102 ∴S30－S20＝S30－30＝ ， 10 即 S30＝70.
1、等比数列 {an }的前n项和为S n，若S10 20， S 20 80，则S30
且新等比数列首项为 S k，公比为q k 。
an 共有2n项，则： ③ 若等比数列
S偶 S奇 q
如果 a 为公比为 q 的等比数列 ， 对 m 、 p N 有： ④ n
Sm p Sm q S p
m
书上第62页，习题2.5 B组，第2题、第5题。
5、在等比数列 {an }中，a1 an 66 ，a2 an1 128 ， 前n项和S n 126 ，求n及公比q。
2
D.Y Y X X Z X
等比数列前n项和的性质三：
an 共有2n项，则： 若等比数列
S偶 S奇 q
怎么证 明？
等比数列前n项和的性质四：
如果an 为公比为 q的等比数列 ，对m、p N 有：
Sm p Sm q S p
m
1 4、若等比数列 {an }的公比为 ，且a1 a3 a99 60, 3 则{an }的前100项和为 80 。