4.2- 偏导数的运算

第二节 偏导数

教学目的：(1) 理解多元函数偏导数的概念；

(2) 掌握偏导数和高阶偏导数的求法的四则运算法则和复合函 数的求导法则;

(3) 了解混合偏导数与求导次序无关的充分条件。

教学重点：偏导数和高阶偏导数的求法 教学难点：偏导数存在性的讨论 教学方法：讲练结合 教学时数：2课时

一、偏导数的定义及其计算

在研究一元函数时，从研究函数的变化率引入了导数的概念，对于多元函数同样需要讨论它的变化率。由于多元函数不止一个自变量，研究起来要复杂得多。但是，我们可考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，例如:

理想气体的体积：,T

V k

p

= 因此，我们引入下面的偏导数概念。 1、偏导数的定义

定义2.1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y ，而x 在0x 处有增量x ∆时，相应地函数有增量：),(),(0000y x f y x x f -∆+， 如果x

y x f y x x f x ∆-∆+→∆)

,(),(lim

00000

存在，则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对

x 的偏导数，记为

00(,)x y z x ∂∂，00(,)

x y f

x ∂∂，00(,)x z x y 或),(00y x f x .

即0000000

(,)(,)(,)lim

x x f x x y f x y f x y x

∆→+∆-=∆0

0d

(,)d x x f x y x ==。

同理可定义函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数，为

y

y x f y y x f y ∆-∆+→∆)

,(),(lim

00000

记为

00(,)x y z y ∂∂，

00(,)

x y f

y

∂∂，00(,)y z x y 或00(,)y f x y .

即00(,)y f x y 00000

(,)(,)lim

y f x y y f x y y ∆→+∆-=∆0

0d

(,)

d y y f x y y

==。

如果函数),(y x f z =在区域D 内任一点),(y x 处对x 的偏导数都存在，那么这个

偏导数就是x 、y 的函数，它就称为函数),(y x f z =对自变量x 的偏导函数，简称偏导数 记作

x z ∂∂，x

f

∂∂，x z 或),(y x f x . 同理可以定义函数),(y x f z =对自变量y 的偏导数，记作y z ∂∂，y

f ∂∂，y z 或),(y x f y . 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如),,(z y x f u =在),,(z y x 处

,)

,,(),,(lim

),,(0

x

z y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆

,)

,,(),,(lim

),,(0

y

z y x f z y y x f z y x f y y ∆-∆+=→∆

.)

,,(),,(lim

),,(0

z

z y x f z z y x f z y x f z z ∆-∆+=→∆

2、计算：

从偏导数的定义可以看出，计算多元函数的偏导数并不需要新的方法，若对某一个自变量求导，只需将其他自变量常数，用一元函数微分法即可。于是，一元函数的求导公式和求导法则都可以移植到多元函数的偏导数的计算上来。

例1：求 2

2

3y xy x z ++=在点)2,1(处的偏导数． 解法一：

=∂∂x

z

;32y x + =∂∂y z .23y x + (1,2)

z x ∂∴

=∂ ,82312=⨯+⨯

(1,2)z

y ∂=∂ 72213=⨯+⨯ 解法二：2

y z

=264x x =++，

(1,2)z

x

∂∂(26)1x x =+=8=

1

x z

=213,

y y =++(1,2)

z

y ∂∂2

(32)

y y ==+7=

这里我们要知道，有时，“先求偏导函数再代值求某点的偏导数”不一定简便。如下例

例2：2(,,)()arctan ln(1),xyz

f x y z xe

x y x yz =+++求

(1,0,1)

.f

x

∂∂

解:(,0,1)x f x 0,x x x =+⋅=(1,0,1)

1.f x

∂∴

=∂

例3 已知理想气体的状态方程RT pV =（R 为常数），求证：

1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂p

T T V V p . 证明：⇒=

V RT p ;2V RT V p -=∂∂⇒=p RT V ;p R T V =∂∂⇒=R

pV

T ;R V p T =∂∂ =∂∂⋅∂∂⋅∂∂p T T V V p 2V RT -p R ⋅ R

V

⋅pV RT -== 1.- 有关偏导数的几点说明： 1、 偏导数

x

u

∂∂是一个整体记号，不能拆分; 2、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；

,(,)(0,0),(0,0).x y z f x y f f ==

例如求

解：x

x f x x 0

|0|lim

)0,0(0

-⋅=→=0).0,0(y f = 例4：设22

(,)(0,0)(,),0(,)(0,0)

xy x y x y f x y x y ⎧≠⎪

+=⎨⎪=⎩

求(,)f x y 的偏导数。

解：,)0,0(),(时当≠y x 22222)(2)(),(y x xy x y x y y x f x +⋅-+= ,)()

(2

22

22y x x y y +-= 22222)(2)(),(y x xy y y x x y x f y +⋅-+= ,)

()

(222

22y x y x x +-= ,)0,0(),(时当=y x 按定义可知

x

f x f f x x ∆-∆=→∆)0,0()0,(lim

)0,0(0

,00

lim 0=∆=→∆x x y f y f f y y ∆-∆=→∆)0,0(),0(lim

)0,0(0

,00lim 0=∆=→∆y

y