高等代数线性变换的运算

它满足

α, 当 α ∈ U,
PU(α) = 0, 当 α ∈ W.
(1)
满足 (1) 式的 V 上的线性变换是唯一的.
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投影变换
证 由于 V = U ⊕ W，因此 α 表示成 U 的一个向量与 W 的一个 向量之和的方式唯一，从而 PU 是 V 到 V 的一个映射. 任取 V 中两个向量
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幂等变换
因此
P2U = PU, PUPW = PWPU = 0.
(2)
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幂等变换
因此
P2U = PU, PUPW = PWPU = 0.
(2)
类似地有 P2W = PW.
投影变换
定理 设 V 是数域 P 上的一个线性空间，U, W 是 V 的两个子空间，且
V=U⊕W
任取 α ∈ V，设 α = α1 + α2，其中 α1 ∈ U，α2 ∈ W. 令
PU :V
−→V
α = α1 + α2 −→α1
则 PU 是 V 上的一个线性变换，称 PU 是平行于 W 在 U 上的投影，
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线性映射的乘法
命题 设 V, U, W 都是数域 P 上的线性空间，A 是 V 到 U 的一个线 性映射，B 是 U 到 W 的一个线性映射，则 BA 是 V 到 W 的 一个线性映射.
. . . .... .... .... . . . . .... .... ...影变换
定理告诉我们，如果线性空间 V 能分解成两个子空间的直和： V = U ⊕ W，那么 V 在子空间 U（或 W）上的投影 PU （或 PW）就是 V 上的一个线性变换，且 PU 满足 (1)，投影是非常 重要的一类线性变换. V 在子空间 U（或 W）上的投影 PU（或 PW）是 V 到 V 的一 个映射，根据映射的乘法，有 P2U (= PUPU)，PUPW，PWPU， P2W. 任取 α ∈ V，设 α = α1 + α2, α1 ∈ U, α2 ∈ W，则
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投影变换
如果 α ∈ U，则 α = α + 0，从而 PU(α) = α. 如果 α ∈ W，则 α = 0 + α，从而 PU(α) = 0. 设 V 上的线性变换 A 也满足 (1)，任取 α ∈ V，设 α = α1+ α2. 其中 α1 ∈ U, α2 ∈ W，则 A (α) = A (α1 + α2) = A (α1) + A (α2) = α1 + 0 = α1 = PU(α), 因此，A = PU.
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投影变换
定理告诉我们，如果线性空间 V 能分解成两个子空间的直和： V = U ⊕ W，那么 V 在子空间 U（或 W）上的投影 PU （或 PW）就是 V 上的一个线性变换，且 PU 满足 (1)，投影是非常 重要的一类线性变换. V 在子空间 U（或 W）上的投影 PU（或 PW）是 V 到 V 的一 个映射，根据映射的乘法，有 P2U (= PUPU)，PUPW，PWPU， P2W. 任取 α ∈ V，设 α = α1 + α2, α1 ∈ U, α2 ∈ W，则
证 显然 BA 是 V 到 W 的一个映射，任取 α, β ∈ V, k ∈ P，有
(BA )(α + β) = B(A (α + β)) = B(A (α) + A (β)) = B(A α) + B(A β) = (BA )α + (BA )β,
(BA )(kα) = B(A (kα)) = B(kA α) = k(B(A α)) = k((BA )α),
证 A 是 V 到 V′ 的可逆线性映射
⇔A 是 V 到 V′ 的同构映射 ⇒A −1 是 V′ 到 V 的同构映射 ⇒A −1 是 V′ 到 V 的可逆线性映射
= k((BA )α),
因此 BA 是 V 到 V′ 的一个线性映射.
由于映射的乘法适合结合律，不适合交换律，因此线性映射的乘
法也适合结合律，不适合交换律.
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线性变换的乘法不适合交换律
因此 PU 是 V 上的一个线性变换.
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投影变换
如果 α ∈ U，则 α = α + 0，从而 PU(α) = α.
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α = α1 + α2, β = β1 + β2, 其中 α1, β1 ∈ U，α2, β2 ∈ W. 则 α1 + β1 ∈ U，α2 + β2 ∈ W. 从而
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投影变换
证 由于 V = U ⊕ W，因此 α 表示成 U 的一个向量与 W 的一个 向量之和的方式唯一，从而 PU 是 V 到 V 的一个映射. 任取 V 中两个向量
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线性映射的乘法
命题 设 V, U, W 都是数域 P 上的线性空间，A 是 V 到 U 的一个线 性映射，B 是 U 到 W 的一个线性映射，则 BA 是 V 到 W 的 一个线性映射.
A (α) = A (α1 + α2) = A (α1) + A (α2) = α1 + 0 = α1 = PU(α),
因此，A = PU. 类似地，定义 PW(α) = α2，则 PW 也是 V 上的一个线性变换， 称它为平行于 U 在 W 上的投影.
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幂等变换
因此
P2U = PU, PUPW = PWPU = 0.
(2)
类似地有 P2W = PW. V 上的线性变换 A 如果满足 A 2 = A ，则称 A 是幂等变换.
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线性变换的乘法一般是不适合交换律. 例如，在实数域 R 上的线 性空间 R[x] 中，线性变换
D(f(x)) = f′(x), ∫x
L (f(x)) = f(t)dt
0
的乘积 DL = E ，但一般 L D ̸= E .
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P2U(α) = PU(PU(α)) = PU(α1) = α1 = PU(α), PUPW(α) = PU(PW(α)) = PU(α2) = 0,
PWPU(α) = PW(PU(α)) = PW(α1) = 0,
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投影变换
如果 α ∈ U，则 α = α + 0，从而 PU(α) = α. 如果 α ∈ W，则 α = 0 + α，从而 PU(α) = 0. 设 V 上的线性变换 A 也满足 (1)，任取 α ∈ V，设 α = α1+ α2. 其中 α1 ∈ U, α2 ∈ W，则
α = α1 + α2, β = β1 + β2,
其中 α1, β1 ∈ U，α2, β2 ∈ W. 则 α1 + β1 ∈ U，α2 + β2 ∈ W. 从而
PU(α + β) = PU[(α1 + β1) + (α2 + β2)] = α1 + β1 = PU(α) + PU(β),
PU(kα) = PU(kα1 + kβ1) = kα1 = kPU(α), ∀k ∈ P,
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幂等变换
因此
P2U = PU, PUPW = PWPU = 0.
(2)
类似地有 P2W = PW. V 上的线性变换 A 如果满足 A 2 = A ，则称 A 是幂等变换. V 上的两个线性变换 A , B 如果满足 A B = BA = O，则称 A 与 B 是正交的. 从 (2) 式知道，如果 V = U ⊕ W，则投影 PU, PW 都是幂等变换，而且 PU 与 PW 是正交的.
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投影变换
如果 α ∈ U，则 α = α + 0，从而 PU(α) = α. 如果 α ∈ W，则 α = 0 + α，从而 PU(α) = 0.
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投影变换
如果 α ∈ U，则 α = α + 0，从而 PU(α) = α. 如果 α ∈ W，则 α = 0 + α，从而 PU(α) = 0. 设 V 上的线性变换 A 也满足 (1)，任取 α ∈ V，设 α = α1+ α2. 其中 α1 ∈ U, α2 ∈ W，则
证 显然 BA 是 V 到 W 的一个映射，任取 α, β ∈ V, k ∈ P，有
(BA )(α + β) = B(A (α + β)) = B(A (α) + A (β))
= B(A α) + B(A β) = (BA )α + (BA )β, (BA )(kα) = B(A (kα)) = B(kA α) = k(B(A α))
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幂等变换
因此
P2U = PU, PUPW = PWPU = 0.
(2)
类似地有 P2W = PW. V 上的线性变换 A 如果满足 A 2 = A ，则称 A 是幂等变换. V 上的两个线性变换 A , B 如果满足 A B = BA = O，则称 A 与 B 是正交的. 从 (2) 式知道，如果 V = U ⊕ W，则投影 PU, PW 都是幂等变换，而且 PU 与 PW 是正交的. (2) 式表明，我们可以通过线性变换的运算来刻画线性变换的性 质. 下面我们就来研究线性映射的运算.
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可逆线性映射
命题 设 A 是线性空间 V 到 V′ 的一个线性映射，如果 A 可逆，则 A −1 是 V′ 到 V 的一个线性映射.
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可逆线性映射
命题 设 A 是线性空间 V 到 V′ 的一个线性映射，如果 A 可逆，则 A −1 是 V′ 到 V 的一个线性映射.
因此 BA 是 V 到 V′ 的一个线性映射.
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线性映射的乘法
命题 设 V, U, W 都是数域 P 上的线性空间，A 是 V 到 U 的一个线 性映射，B 是 U 到 W 的一个线性映射，则 BA 是 V 到 W 的 一个线性映射.
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投影变换
定理告诉我们，如果线性空间 V 能分解成两个子空间的直和： V = U ⊕ W，那么 V 在子空间 U（或 W）上的投影 PU （或 PW）就是 V 上的一个线性变换，且 PU 满足 (1)，投影是非常 重要的一类线性变换.
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