第1节 抽样方法

第1节抽样方法

考试要求 1.理解随机抽样的必要性和重要性；2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题.

知识梳理

1.简单随机抽样

(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.

(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.

（3）应用范围：总体中的个体数较少.

2.系统抽样

(1)定义：系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本.这种抽样方法有时也叫等距抽样或机械抽样.

(2)系统抽样的操作步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.

①先将总体的N个个体编号；

②确定分段间隔k，对编号进行分段，当N

n(n是样本容量)是整数时，取k＝

N

n(否则，

先剔除一些个体)；

③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；

④按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，……，依次进行下去，直到获取整个样本. （3）应用范围：总体中的个体数较多.

3.分层抽样

(1)定义：在抽样时，将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本，这种抽样方法叫作分层抽样，有时也称为类型抽样.

(2)应用范围：当总体是由差异明显的若干类型组成时，往往选用分层抽样.

[常用结论与微点提醒]

1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.

2.系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍.

3.分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.

诊断自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.()

(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.()

(3)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.()

(4)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平.()

答案(1)×(2)√(3)×(4)×

2.(老教材必修3P5讲解引申改编)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问

题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( )

A.总体

B.个体

C.样本的容量

D.从总体中抽取的一个样本

解析 由题目条件知，5 000名居民的阅读时间的全体是总体；其中每1名居民的阅读时间是个体；从5 000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.

答案 A

3.(老教材必修3P12例3改编)一个公司共有N 名员工，下设一些部门，要采用等比例分层抽样的方法从全体员工中抽取样本容量为n 的样本，已知某部门有m 名员工，那么从该部门抽取的员工人数是________.

解析 每个个体被抽到的概率是n N ，

设这个部门抽取了x 个员工，

则x m ＝n N ，∴x ＝nm N .

答案 nm N

4.(2020·吉安一模)总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为( ) 附：第6行至第9行的随机数表如下：

2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950

3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732

2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620

7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125

A.3

B.16

C.38

D.20

解析 按随机数表法，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，超出00～49及重复的不选，则编号依次为33，16，20，38，

49，32，…，则选出的第3个个体的编号为20，故选D.

答案 D

5.(2019·兰州二模)某学校为响应“平安出行”号召，拟从2 019名学生中选取50名学生加入“交通志愿者”，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法剔除19名学生，剩下的2 000名再按照系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率()

A.不全相等

B.均不相等

C.都相等，且为1

40 D.都相等，且为

50 2 019

解析先用简单随机抽样方法剔除19名学生，剩下的2 000名再按照系统抽样的

方法抽取，则每名学生入选的概率相等，且为p＝50

2 019

，故选D.

答案 D

6.(2018·全国Ⅲ卷)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________.

解析因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样，才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价.

答案分层抽样

考点一简单随机抽样及其应用

【例1】(1)下面的抽样方法是简单随机抽样的是()

A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖

B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格

C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见

D.用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验

(2)假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________(下面摘取了随机数表第7行至第9行).

解析(1)A，B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C不是简单随机抽样，因为总体中的个体有明显的层次；D是简单随机抽样.故选D. (2)由随机数表知，前4个样本的个体编号分别是331，572，455，068.

答案(1)D(2)068

规律方法 1.简单随机抽样需满足：(1)被抽取的样本总体的个体数有限；(2)逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取.

2.简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况).

【训练1】(1)总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()

A.08

B.07

C.02

D.01

(2)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性()

A.与第n次有关，第一次可能性最大

B.与第n次有关，第一次可能性最小

C.与第n次无关，与抽取的第n个样本有关

D.与第n次无关，每次可能性相等

解析(1)从第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08，02，14，07，01，所以第5个个体编号为01.

(2)∵在简单随机抽样中，每个个体被抽到可能性都相等，与第n次无关，∴D正确.

答案(1)D(2)D

考点二系统抽样及其应用

【例2】(1)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为()

A.50

B.40

C.25

D.20

(2)将高一·九班参加社会实践编号为1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是________.

解析(1)由系统抽样的定义知，分段间隔为1 000

40

＝25.

(2)根据系统抽样的概念，所抽取的4个样本的编号应成等差数列，因为这组数中的间距应为41－29＝12，所以所求的编号为5＋12＝17.

答案(1)C(2)17

规律方法 1.如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k＝N

n

，否则，

可随机地从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样，特别注意，每个个体

被抽到的机会均是n

N.

2.系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码.

【训练2】(1)(2019·全国Ⅰ卷)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进

行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()

A.8号学生

B.200号学生

C.616号学生

D.815号学生

(2)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：

若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________.

解析(1)根据题意，系统抽样是等距抽样，

＝10.

所以抽样间隔为1 000

100

因为46除以10余6，所以抽到的号码都是除以10余6的数，结合选项知应为616.故选C.

(2)依题意，可将编号为1～35号的35个数据分成7组，每组有5个数据，从每组中抽取一人.

成绩在区间[139，151]上共有20个数据，分在4个小组内，每组抽取1人，共抽取4人.

答案(1)C(2)4

考点三分层抽样及其应用多维探究

角度1求某层入样的个体数

【例3－1】(2019·郴州二模)已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为()

A.240，18

B.200，20

C.240，20

D.200，18

解析样本容量n＝(250＋150＋400)×30%＝240，抽取的户主对四居室满意的人数为150×30%×40%＝18.

答案 A

规律方法 1.分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠.

2.求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算.

角度2求总体或样本容量

【例3－2】(1)(2020·东北三省四校联考)某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于()

A.12

B.18

C.24

D.36

(2)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.

解析(1)根据分层抽样方法知

n

960＋480

＝24

960

，解得n＝36.

(2)由题设，抽样比为

80

4 800

＝1

60.

设甲设备生产的产品为x件，则x

60

＝50，∴x＝3 000. 故乙设备生产的产品总数为4 800－3 000＝1 800.

答案(1)D(2)1 800

规律方法 1.已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算.

2.进行分层抽样的相关计算时，常用到的两个关系

(1)

样本容量n

总体的个数N

＝

该层抽取的个体数

该层的个体数

；

(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.

【训练3】(1)(角度1)(2020·河南名校联考)《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出________钱(所得结果四舍五入，保留整数).

(2)(角度1)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人).

这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________.

(3)(角度2)(2020·长沙模拟)某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：

现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢”的男性青年观众中抽取了6人，则n＝()

A.12

B.16

C.24

D.32

解析(1)按照钱的多少按比例出钱，所以丙应该出钱为

180

560＋350＋180

×100＝

18 000

1 090≈17.

(2)由分层抽样得

12

45＋15

＝30

120＋a

，解得a＝30.

(3)由分层抽样的性质得6

30

＝n

30＋30＋10＋50

，解得n＝24.故选C.

答案(1)17(2)30(3)C

A级基础巩固

一、选择题

1.(2020·永州模拟)现从已编号(1～50)的50位同学中随机抽取5位以了解他们的数学学习状况，用选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5位同学的编号可能是()

A.5，10，15，20，25

B.3，13，23，33，43

C.1，2，3，4，5

D.2，10，18，26，34

解析抽样间隔为50

5

＝10，只有选项B合题意.

答案 B

2.(2019·长春一模)完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.宜采用的抽样方法依次是()

A.①简单随机抽样，②系统抽样

B.①分层抽样，②简单随机抽样

C.①系统抽样，②分层抽样

D.①②都用分层抽样

答案 B

3.在一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()

A.p1＝p2＜p3

B.p2＝p3＜p1

C.p1＝p3＜p2

D.p1＝p2＝p3

解析由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，故选D.

答案 D

4.从30个个体(编号为00～29)中抽取10个样本，现给出某随机数表的第11行到第15行(见下表)，如果某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第一个数并且由此数向右读，则选取的前4个的号码分别为()

9264 4607 2021 3920 7766 3817 3256 1640

5858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 7814

2889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 3815

5131 8186 3709 4521 6665 5325 5383 2702

9055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 4488

A.76，63，17，00

B.16，00，02，30

C.17，00，02，25

D.17，00，02，07

解析在随机数表中，将处于00～29的号码选出，满足要求的前4个号码为17，00，02，07.故选D.

答案 D

5.下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为()

①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.

②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.

③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.

④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.

A.0

B.1

C.2

D.3

解析①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样.因为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样.因为不是等可能抽样.故选A.

答案 A

6.某中学400名教师的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名教师作样本，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取()

A.40人

B.200人

C.20人

D.10人

解析由图知，40岁以下年龄段的人数为400×50%＝200，若采用分层抽样应抽

取200×40

400

＝20(人).

答案 C

7.(一题多解)某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()

A.100

B.150

C.200

D.250

解析法一由题意可得

70

n－70

＝3 500

1 500

，解得n＝100.

法二由题意，抽样比为

70

3 500

＝1

50

，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，故n＝

5 000×1

50

＝100.

答案 A

8.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是()

A.1

10，

1

10 B.

3

10，

1

5

C.1

5，

3

10 D.

3

10，

3

10

解析在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，

故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为1

10

，故选A.

答案 A

二、填空题

9.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件.

解析因为样本容量n＝60，样本总体N＝200＋400＋300＋100＝1 000，所以抽

取比例为n

N ＝60

1 000

＝3

50.

因此应从丙种型号的产品中抽取300×3

50

＝18(件).

答案18

10.将参加英语口语测试的1 000名学生编号为000，001，002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000，001，002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个样本编号为________.

解析由题意可知，第一组随机抽取的编号为015，分段间隔数k＝N

n

＝1 000

50

＝20，

由题意知抽出的这些号码是以15为首项，20为公差的等差数列，则抽取的第35个样本编号为15＋(35－1)×20＝695.

答案695

11.某商场有四类食品，食品类别和种数见下表：

本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为________.

解析 因为总体的个数为40＋10＋30＋20＝100，所以根据分层抽样的定义可知，

抽取的植物油类食品种数为20100×10＝2，抽取的果蔬类食品种数为20100×20＝4，

所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为2＋4＝6.

答案 6

12.(2019·湖北重点中学模拟)某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为________. 解析 系统抽样的抽取间隔为305＝6.设抽到的最小编号为x ，则x ＋(6＋x )＋(12＋

x )＋(18＋x )＋(24＋x )＝75，所以x ＝3.

答案 3

B 级 能力提升 13.从一群游戏的小孩中抽出k 人，一人一个苹果，让他们返回继续游戏，一段时间后，再从中任取m 人，发现其中有n 人曾分过苹果，则可估计这群小孩共有( )

A.k ·n m 人

B.k ·m n 人

C.(k ＋m －n )人

D.(k ＋m ＋n )人

解析 设这群小孩共有x 人，则k x ＝n m ，解得x ＝km n .

答案 B

14.某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多13人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6人对户外运动持“喜欢”

态度，有2人对户外运动持“不喜欢”态度，有3人对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的人数有()

A.26

B.39

C.78

D.13

解析设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x，2x，3x，由题意可得3x－2x＝13，x＝13，∴持“喜欢”态度的有6x＝78(人).

答案 C

15.某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会.如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数减少1人，在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除2个个体，则n＝________.

解析总体容量为6＋12＋18＝36，

当样本容量为n时，由题意知，系统抽样的间隔为36

n ，分层抽样的比例是n

36

，抽

取的工程师人数为n

36×6＝n

6

，技术员人数为n

36×12＝

n

3

，技工人数为n

36×18＝

n

2

，

所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6，12，18.

当样本容量为(n－1)时，总体容量剔除以后是34人，系统抽样的间隔为34

n－1

，因

为34

n－1

必须是整数，

所以n只能取18，即样本容量n＝18.

答案18

16.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为________.

解析由系统抽样的特点，知抽取号码的间隔为960

32

＝30，抽取的号码依次为9，

39，69，…，939，落入区间[451，750]的有459，489，…，729，这些数构成首

项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋(n－1)×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人.

答案10

C级创新猜想

17.(多填题)一个总体中有90个个体，随机编号0，1，2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1，2，3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定：如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组(k≥2)中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则k的值为________，在第8组中抽取的号码是________.

解析由题意知m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.

答案876