现代控制理论第二章

一: 基本概念

1：系统：所谓系统，是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定功能的整体。

2：静态系统：对于任意时刻t，系统的输出惟一地取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。

3：动态系统：对于任意时刻t，系统的输出不仅与t时刻的输入有关，而且与t时刻以前的累积有关（这种累积在t0（t0＜t））

4：状态变量:是构成系统状态的变量，是指能完全描述系统行为的最小变量组中的每个变量。

5：系统变量：输入变量、状态变量、输出变量统称为系统变量。6：状态方程：是描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）。

7：输出方程：是描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间关系的代数方程。

8：状态：动态系统的状态是完全地描述动态系统运动状况的信息，系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为状态。例如，由做直线运动的质点所构成的系统，它的状态就是质点的位置和速度。

9：状态向量：设系统的状态变量为x1(t),x2(t),………,x n(t),那么用它们作为分量所构成的向量就称为状态向量，记作

10：状态空间:以状态变量x 1(t),x 2(t),………,x n (t)为坐标轴构成的n 维空间称为状态空间。

11：状态轨迹：状态向量的端点在状态空间中的位置代表了某一特定时刻系统的状态。

二：状态方程形式：系统的状态方程表征了系统由输入引起的内部状态变化的规律。连续时间系统和离散时间系统状态方程的一般形式可分别表示为

和

式中，x(t)-连续时间系统的n 维状态向量；

x(k)-离散时间系统在k 时刻的的n 维状态向量； u(t)-连续时间系统的r 维输入（控制）向量； u(k)-离散时间系统在k 时刻的r 维输入向量； f[.]-n 维向量函数，f[.]=[f 1(.),f 2(.),…,f n (.)]T . 三：输出方程形式：连续时间系统和离散时间系统输出方程的一般形式可分别表示为

y(t)=g[x(t),u(t),t]

()()()12n x t x t .()..x t x t ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭[]

.

()(),(),x t f x t u t t =[]

(1)(),(),x k f x k u k k +=

和

y(k)=g[x(k),u(k),k]

式中，y(t)-连续时间系统的m 维输出向量；

y(k)-离散时间系统在k 时刻的m 维输出向量；

g[.]-m 维向量函数，g[.]=[g 1(.),g 2(.),…,g m (.)]T .其余定义同上。

四：一般形式及其各自的意义：

式中，矩阵A 便是了系统内部状态变量之间的联系，取决于被控系统的作用机理、结构和各项参数，称之为系统矩阵；输入矩阵B 表示各个输入变量如何控制状态变量，故称为控制矩阵；矩阵C 表示输出变量如何反映状态变量，称之为输出矩阵或观测矩阵；矩阵D 则表示输入队输出的直接作用，称之为直接传递矩阵。 2.3 状态空间表达式的建立

2.3.1 由系统的机理建立状态空间表达式 步骤：（1）选择状态变量

（2）利用电路基本理论原理，建立原始方程

（3）导出状态变量的一阶微分方程组 （4）导出状态方程和输出方程 （5）列写状态空间表达式

例子：如图所示电路，取电压源e 为输入变量，R 1上的电压为输出变

x Ax Bu y Cx Du ∙⎧⎪=+⎨=+⎪⎩

量，建立该电网络的状态空间表达式，电压和电流为关联参考方向。

e -

解：（1）选取状态变量

网络中只含有电容C 、电感L 两个独立储能元件，选电容端电压u c 、流经电感的电流i L 作为状态变量。 （2）利用电路基本定理列原始方程

回路I ：()0L

c L di R i i L

e dt ++= (1) 回路II ：1c L c du di

u R C L dt dt

+= (2)

将（2）代入（1）整理得：0L

R C i L e c L du di dt dt

++=（） （3）导出状态变量的一阶微分方程组

00L R C

L R e c L du di

i dt dt

+=-+ 1R C c L c du di

L u dt dt -=-

（4）导出状态方程和输出方程

将上式写成向量-矩阵形式的方程

00101001L L c c di L R C i R dt e du u L R C dt ⎡⎤

⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢

⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦

解之，得向量-矩阵形式的状态方程

110001101001L L c c di L R C i L R C R dt e du u L R C L R C dt --⎡⎤

⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

---⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦

=()()()()()()01

0101

0101001010111

L c R R R R R R L R R L R R L i e u R R R C R R C R R C -⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥+++⎡⎤⎢

⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢

⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦

输出方程为：

()()()10110

1010111

c R L C du R u R C R i u e dt R R R R R R ⎡⎤-==-+⎢⎥

+++⎣⎦ =0111010101

L c i R R R R e u R R R R R R ⎡⎤⎡⎤--+⎢

⎥⎢⎥

+++⎣⎦⎣⎦ （5）列写状态空间表达式

将状态方程和输出方程合起来即为状态空间表达式：

令1L x i =，2c x u =，u e =，1

R y u =，则可得状态空间表达式的一般

式，即

()()()()()()01010101011120201010110111201010111R R R R R R L R R L R R L x x u x

R x R R C R R C R R C x R R R R y u x R R R R R R ⎧-⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥+++⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎪⎢⎥⎢⎥⎨+++⎣⎦⎣⎦⎪

⎪⎡⎤⎡⎤-⎪=-+⎢⎥⎢⎥+++⎪⎣⎦⎣⎦⎩

2.3.2 由系统微分方程建立状态空间表达式 1、微分方程中输入函数不含导数项的情况

当单输入单输出线性定常连续系统的输入量中不含导数项时，描述该系统微分方程的一般形式为