2014同济大学数理方程期末考试试卷

2014同济大学数理方程期末考试试卷

230)()0xx yy u x y u ++=一、（分）

（1判断方程的类型。

3,0()2,0x f x x >⎛⎫ ⎪<⎝⎭

(2)求函数=的广义导数。 201((1))(),0(3)(0),()d du x f x x l Green dx dx u u u l u ⎛⎫-+=<< ⎪ ⎪ ⎪==⎝⎭

写出边值问题的函数所满足的方程和边值条件。0,0,0(4)(,0),(,0)0,0(0,)0,0tt xx x t u u x t u x e u x x u t t -=>>⎛⎫ ⎪==> ⎪ ⎪=>⎝⎭

求解下列半无界问题（直接用公式）

()cos ,0,0(5)(,0)(,0)0,0(0,)0,0tt xx t u u f x t x t u x u x x u t t ωπ-=<<>⎛⎫ ⎪==> ⎪ ⎪=>⎝⎭

考虑下列强迫弦振动方程的边值问题：，

上述强迫弦振动问题是否发生共振？若发生共振，给出共振的条件。

cos 0,,0(,0)tan ,t x u t u x t u x x x -⋅=-∞<<∞>⎛⎫ ⎪=-∞<<∞⎝⎭

二（10分）、用特征线方法求解下列问题。

22(,)0,01,t 0(,0)(1),01(0,t)(1,t)0,t 0t xx u x y u a u x u x x x x u u ⎛⎫-=<<> ⎪=-<< ⎪ ⎪==>⎝⎭三（20分）、求的解。

{}222(,,z),inB (),(,,)|1,0,|(,,)B u f x y P B x y z x y z z u x y z ϕ+++∂⎛⎫-∆==++<> ⎪ ⎪=⎝⎭

四（15分）、(1)()(2)()B B P Green Green P +∂表示的边界。

求问题所对应的函数。

用函数写出问题解的表达式。

20,,0(,0)(),t xx u a u cu x R t u x x x R δ⎛⎫-+=∈> ⎪=∈⎝⎭

五（15分）、 （提示，先用变量代换化为标准方程再求解）

()(,)(,),0,

|(,)xx xy yy u u u c x y u f x y x l u x y ϕ∂Ω--++=<<⎛⎫ ⎪=⎝⎭

六（10分）、证明(,),(,)(),(,)()(,)0.

(,)0,(,)f x y c x y C x y C c x y f x y u x y ϕ∈Ω∈Ω≥<Ω是已知函数且证明：当时在上的非负最大值必在边界上达到。