常微分方程试题库试卷库2

常微分方程期终考试试卷(1)
一、 填空题（3０％）
1、方程
(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是( )。

有只含y 的积分因子的充要条件是_＿_____＿______。

２、______＿______称为黎卡提方程，它有积分因子＿_＿__＿_＿____＿_。

３、____＿＿＿_＿_______＿_称为伯努利方程,它有积分因子____＿＿___。

４、若12(),(),,()
n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件
是____＿______＿＿＿__＿____＿____。

5、形如＿＿___＿_____＿＿__＿_＿_的方程称为欧拉方程。

6、若()t φ和()t ψ都是
'
()x A t x =的基解矩阵,则()t φ和()t ψ具有的关系是____＿__＿_____＿＿__＿__＿____＿__＿。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为___＿__＿＿＿时,零解是稳定的,对应的奇点称为_＿＿____＿___。

二、计算题（6０%）
1、
3
()0ydx x y dy -+=
２、sin cos2x x t t ''+=-
３、若
2114A ⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求exp Ａt
４、32(
)480dy dy
xy y dx dx
-+=
5、求方程2
dy
x y dx =+经过（０，０)的第三次近
似解
6.求1,5
dx dy
x y x y dt dt =--+=--的奇点，并判断奇点的类型及稳定性.
三、证明题（1０%）
1、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

常微分方程期终试卷(２)
一、填空题 30％
1、 形如_＿____＿__＿_＿的方程,称为变量分离方程，这里．)().(y x f ϕ分别为x ．y
的连续函数。

2、 形如＿_＿___＿__＿___的方程，称为伯努利方程,这里x x Q x P 为)().(的连续函
数.n ，可化为线性方程。

是常数。

引入变量变换-------≠1.0ﻩ 3、 如果存在常数
使得不等式
,0 L _____________对于所有
称为利普希兹常数。

都成立，（L R y x y x ∈),(),,21函数),(y x f 称为在Ｒ上关于y 满足利普希兹条件。

4、 形如＿__＿___＿＿_＿__－的方程,称为欧拉方程,这里是常数。

,,21a a
5、 设是的基解矩阵，是)()(t Ax x t ϕφ=')()(t f x t A x +='的某一解,则它的任一
解可表为)(t γ___________＿＿-。

一、计算题40%
１.求方程的通解。

26xy x y
dx dy -= 2.求程xy
e x y dx
dy =+的通解。

3．求方程t
e x x x 25'6''=++的隐式解。

４.求方程）的第三次近似解。

、通过点（002
y x dx
dy +=
二、证明题30%
1.试验证()t Φ=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡122t t t 是方程组x '=⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎣⎡-t t 2210
2
ｘ,x=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x ，在任何不包含原点的区间
a b t ≤≤上的基解矩阵。

2.设()t Φ为方程x '
=A ｘ(A 为ｎ⨯ｎ常数矩阵）的标准基解矩阵(即Φ(０)=E)，证明:
()t Φ1-Φ(t 0)=Φ（t- t 0)其中t 0为某一值.
常微分方程期终试卷（3)
一 ． 解下列方程（10％＊8=8０%)
２. dx dy =6x y -x 2y 3. '
y ＝22)12(-++y x y
4. x '
y =
2
2y x ++ｙ 6. {y －x （2
x +2
y ）}dx-xdy=０
8. 已知f(x)⎰
x
dt
t f 0)(=1,ｘ≠0，试求函数f （ｘ）的一般表达式。

二. 证明题(10％*2=20％）
９. 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中,如果M 、N 试同齐次函数，且ｘM ＋y Ｎ≠0,则
)(1
yN xM +是该方程的一个积分因子。

常微分方程期终试卷（4)
一、填空题
1、( ）称为变量分离方程,它有积分因子( )。

2、当( )时,方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程,或称全微分方程。

３、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件,如果( )。

４、对毕卡逼近序列，()
)()(1≤--x x k k ϕϕ。

５、解线性方程的常用方法有( )。

6、若)
,,2,1)((n i t X i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（ ）。

7、方程组x t A x )(='( )。

8、若)(t φ和)(t ψ都是x t A x )(='的基解矩阵，则)(t φ和)(t ψ具有关系:( ）。

9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部( ）时,零解是稳定的,对应的奇点称为( ）。

１０、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（ )时,零解是渐近稳定的,对应的奇点称为( )。

当( )时，零解是不稳定的,对应的奇点称为( ）。

11、若)(t φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x 的解( )。

二、计算题
求下列方程的通解。

1、1sin 4-=-x e dx dy
y 。

２、1
)(122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡
-dx dy y 。

３、求方程2
y x dx dy
+=通过)0,0(的第三次近似解。

求解下列常系数线性方程。

4、0=+'+''x x x 。

5、t
e x x =-'''。

试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性： 6、
5,!--=+--=y x dt dy
y x dt dx 。

三、证明题。

１、1、设)(t φ为方程Ax x ='（A 为n n ⨯常数矩阵）的标准基解矩阵(即))0(E =φ，证明
)(t φ)()(001
t t t -=-φφ其中0t 为某一值。

常微分方程期终考试试卷（5)
一． 填空题 (3０分)
1.)()(x Q y x P dx dy
+=称为一阶线性方程，它有积分因子 ⎰-dx
x P e )( ，其通解为 ___＿_
＿___ 。

2.函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件,如果 __＿_＿__ 。

3. 若)(x ϕ为毕卡逼近序列
{})(x n ϕ的极限，则有)()(x x n ϕϕ-≤______ 。

4．方程2
2y x dx dy
+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上,则经过点（0,０）的解的
存在区间是 _______ 。

５．函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _＿___＿_ 。

6．若),,2,1)((n i t x i
=为齐线性方程的一个基本解组，)(t x -
为非齐线性方程的一个特解,
则非齐线性方程的所有解可表为 ____＿__＿ 。

７．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵,则向量函数)(t ϕ= ＿_____＿是)
()('t f x t A x +=的满足初始条件
0)(0=t ϕ的解;向量函数)(t ϕ= _____
是)()('
t f x t A x +=的满足初始条件
ηϕ=)(0t 的解。

８．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,2
1 ，它们对应的特征值分别为
n λλλ ,,21,那么矩阵)(t Φ= __＿＿__ 是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩
阵。

9.满足 ＿__＿__＿ 的点
),(**y x ,称为驻定方程组。

二． 计算题 (６0分)
10．求方程
0)1(243
22=-+dy y x dx y x 的通解。

11．求方程0
=-+x e dx dy
dx dy
的通解。

1２．求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)1(22y y x dx
dy
1
,11:≤≤+y x R 的解的存在区间，并求第二次近似
解，给出在解的存在区间的误差估计。

13.求方程t t x x 3sin 9'
'=+的通解。

1４.试求方程组)('t f Ax x +=的解).(t ϕ
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1)(,3421,11)0(t e t f A ϕ 15．试求线性方程组52,1972+-=+-=y x dt dy y x dt dx 的奇点，并判断奇点的类型及稳定
性。

三.证明题 (10分）
1６．如果)(t ϕ是Ax x ='
满足初始条件η
ϕ=)(0t 的解，那么
[]ηϕ)(ex p )(0t t A t -=
常微分方程期终考试试卷（６)
三． 填空题 (共30分,9小题，10个空格,每格3分)。

1、 当＿_＿＿__＿___＿__＿_时，方程M(x,y)ｄｘ＋N(x,y)d ｙ＝0称为恰当方程,或称
全
微分方程。

2、＿＿_＿___＿__＿＿___＿称为齐次方程。

3、求dx
dy =f （x ，y)满足00)(y x =ϕ的解等价于求积分方程___＿__＿_____＿＿____＿＿的
连续解。

4、若函数f(x ，ｙ)在区域Ｇ内连续,且关于y 满足利普希兹条件,则方程),(y x f dx dy
=的解
y ＝
),,(00y x x ϕ作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是＿____＿＿___。

5、若)
(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是_＿＿
______＿__________＿＿_________＿___＿_＿__＿_。

6、方程组x t A x )(/
=的____＿____＿___＿___称之为x t A x )(/
=的一个基本解组。

7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/
的基解矩阵，则ex ｐＡt =＿_＿_____＿___。

８、满足_＿______＿__＿_＿_＿___的点(*
*,y x ），称为方程组的奇点。

9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部_____＿_＿时，零解是稳定 的，对应的奇点称为____＿_＿＿___。

二、计算题(共６小题，每题10分)。

1、求解方程:dx dy
＝
312
+++-y x y x 2、 2、解方程: (2x+2y-1)d ｘ＋(ｘ＋ｙ-2)dy ＝0
３、讨论方程23=dx dy 3
1y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,并求通过点（０，
０)的一切解 4、求解常系数线性方程：
t e x x x t cos 32///-=+-
5、试求方程组Ax x =/
的一个基解矩阵，并计算⎪⎪⎭⎫
⎝⎛3421,为其中A e At 6、试讨论方程组cy
dt dy by ax dt dx =+=, （1)的奇点类型,其中ａ，b,ｃ为常数，且
ac ≠0。

三、证明题（共一题，满分１0分)。

试证:如果
Ax x t =/
）是（ϕ满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么
=)(t ϕ[]
η)
(0t t A e -
常微分方程期终试卷（７) 一、选择题
１.n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是( )个.(A ）n (B)n -１ （C)n ＋1 (D ）n ＋２
2.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的( ）条件．
（A)充分 （B)必要 (C)充分必要 (Ｄ）必要非充分
3. 方程2
1d d y x y -=过点)1,2(π
共有( )个解．
(Ａ)一 (B ）无数 (C ）两 (Ｄ)三
4．方程
x
x y x y
+-=d d （ )奇解．
(A)有一个 (Ｂ）有两个 （C)无 (D)有无数个
5.方程y
x y
=d d 的奇解是( ).
（A ）x y = (B ）1=y (C ）1-=y （D)0=y
二、计算题
１.x '
y ＝2
2y x ++y 2.tgydx-ｃtyd ｙ=0 3. 0d d )2(=-+y x x y x
４. 1d d +=x y x y
5.0d )ln (d 3=++y x y x x y
三、求下列方程的通解或通积分
1.)
1(d d 2y x x y
y
-=
2. 2
)(d d x y x y x y -= 3． x
y x y
2e 3d d =+ 四.证明
１.设)(1x y ，)(2x y 是方程
0)()(=+'+''y x q y x p y
的解，且满足
)(01x y =)(02x y ＝0,0)(1≠x y ,这里)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，
),(0∞+-∞∈x .试证明：存在常数C 使得)(2x y =C )(1x y .
2．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中,已知)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续.求证：该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切.
常微分方程期终试卷(８)
一、 填空(每空3分）
1、 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。

2、函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件,如果 。

3、若)
(,),(),(21t x t x t x n 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件
是 。

4、形如 的方程称为欧拉方程。

５、若)(t Φ和)(t ψ都是x t A x )('=的基解矩阵,则)(t Φ和)(t ψ具有的关系： 。

6、若向量函数);(y t g 在域R 上 ，则方程组
0000),;(),;(y y t t y t g dt dy
==ϕ的解ϕ存在且惟一。

７、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部 ，零解是稳定的,对应的奇点称为 。

二、 求下列方程的解
1、
0)4()3(2
=---dy x y dx x y （６分) 2、
dx y x xdy ydx )(2
2+=- （8分） 3、 22)'2()1'(y y y -=- （8分) 4、 xy
e x y
dx dy =+ （８分） 5、 t
e x x x 25'6''=++ （6分)
6、
t x x 3sin 1
''=
+ (８分） 7、
'21''x x =
（8分） 三、
求方程组的奇点,并判断奇点的类型和稳定性（８分）
52,1972+-=+-=y x dt dy y x dt dx
常微分期中测试卷(2) 一 . 解下列方程(10％*８=８0%)
1. 1. ｘ'
y =2
2y x ++y 2. 2. ｔg ｙｄx －ctydy=0
3. 3． {ｙ-x(2x +2y ）｝dx －ｘdy=0
4. 4.
２x ｙlnyd ｘ+{2
x ＋2
y
2
1y +}dy=0
5. dx dy =６x y
－ｘ2y
6. '
y =22)12(
-++y x y
7. 已知f(x)⎰x dt
t f 0
)(=1，x ≠0，试求函数ｆ（x)的一般表达式。

8．一质量为m 质点作直线运动,从速度为零的时刻起,有一个和时间成正比(比例系数为1k ）
的力作用在它上面,此外质点又受到介质的阻力,这阻力和速度成正比（比例系数为
2k )。

试求此质点的速度与时间的关系。

二. 证明题(1０%*2=2０%)
1． 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。

2． 试证:在微分方程Mdx+Ｎdy=0中，如果Ｍ、N 试同齐次函数，且ｘM ＋yN ≠0,则)
(1
yN xM +是该方程的一个积分因子。

2
()()
()y
y y xM yN M x N y xM yN N M
M +-+++2
()()
()x x
x xM yN N x M y xM yN N
N M +-++-+常
常微分方程期终试卷（9)
一、填空题（每小题5分，本题共３0分)
1.方程x
x y x y
e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 . 2.方程04=+''y y 的基本解组是 ．
３.向量函数组
)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的_＿______＿＿___＿__条件
是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W .
４.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件． 5.n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．
6．向量函数组
)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它
们的朗斯基行列式0)(=x W ,I x ∈．
二、计算题(每小题8分,本题共40分）
求下列方程的通解
７. x
y x y
2e 3d d =+
８.
0)d (d )(3
223=+++y y y x x xy x 9.
0e =-'+'x y y １0.求方程x y y 5sin 5='-''的通解. 11．求下列方程组的通解．
⎪
⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+=+=y x t y y x t x
4d d d d
三、证明题(每小题15分，本题共3０分)
12．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证:它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数.
13.设)(x ϕ在区间),(∞+-∞上连续.试证明方程
y
x x y
sin )(d d ϕ= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞.
常
常微分方程期终试卷(10）
一、填空(30分)
1、)(x y g dx dy =称为齐次方程，)
()()(2x R y x Q y x P dx dy ++=称为黎卡提方程。

２、如果),(y x f 在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件,则方程)
,(y x f dx dy
=存在唯一的
解)(x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0上，连续且满足初始条件
00)(y x =ϕ，其中
),
min(M b
a h =，)
,(max ),(y x f M R y x ∈=。

3、若
)(t x i =i (1,2，……，)n 是齐线性方程的n 个解,)(t w 为其伏朗斯基行列式，则)
(t w 满足一阶线性方程0)()()(1'
=+t w t a t w 。

4、对逼卡逼近序列,k
k k k x x k ML x x )(!)()(01
1-≤---ϕϕ。

5、若)(t Φ和)(t ψ都是x t A x )('
=的基解矩阵，则)(t Φ和)(t ψ具有关系C t t )()(Φ=ψ。

6、方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只含x 的积分因子的充要条件是)
(x N x
N
y M ϕ=∂∂-∂∂。

有只含y 的积分因子的充要条件是)
(y M x
N
y M ϕ=-∂∂-∂∂。

7、方程
21
2-=y dx dy 经过)0,0(点的解在存在区间是),(+∞-∞。

二、 计算（6０分）
1、 求解方程
0)(4
2=++dx y x y xdy 。

解:所给微分方程可写成
0)(42=++dx y x ydx xdy 即有
0)(4
2=+dx y x xy d 上式两边同除以4
)(xy ，得 01
)()(24=+dx x xy xy d 由此可得方程的通解为 1
3
1)(31c x xy =--
即 3
33231y cx y x =+ )3(1c c -= 2、 求解方程3
22p p y +=
解:所给方程是关于y 可解的,两边对x 求导,有
dx dp p p p )
62(2+=
（1） 当0=p 时,由所给微分方程得0=y ;
（2） 当dp p dx )62(+=时,得c p p x ++=2
32。

因此，所给微分方程的通解为
c p p x ++=232，3
22p p y += (p 为参数)
而0=y 是奇解。

3、 求解方程1442'''++=+-t
t e e x x x
解：特征方程0442=+-λλ，2
2,1=λ,
故有基本解组t e 2，t
te 2，
对于方程t
e x x x =+-44'''，因为1=λ不是特征根,故有形如t
Ae t x =)(1的特解,
将其代入t
e x x x 2'''44=+-，得t
e Ae t 222=，解之得
21=A , 对于方程144'''=+-x x x ，因为0
=λ不是特征根,故有形如A t x =)(3的特解,
将其代入144'
''=+-x x x ，得
41
=
A ,所以原方程的通解为 41
21)()(22212+
+++=t t t e t e t c c e t x
4、 试求方程组Ax x ='
的一个基解矩阵，并计算At exp ，其中
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2112A
解:0)det()(=-=A E p λλ,31=λ，32-=λ,均为单根，
设1λ对应的特征向量为1v ，则由0)(11=-v A E λ,得
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+=αα)32(1v ,0≠α 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3211v ，同理可得1λ对应的特征向量为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3212v ， 则131)(v e t t =ϕ,
232)(v e t t
-=ϕ,均为方程组的解，令))(),(()(21t t t ϕϕ=Φ, 又
33
2321
1)0(det )0(≠-=-+=
Φ=w ，
所以)(t Φ即为所求基解矩阵⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+--
t t
t
t r e
e e 3333)32()32(。

5、 求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=++=5
1y x dt dy
y x dt dx
的奇点,并判断奇点的类型及稳定性。

解：令⎩⎨⎧=--=++0501y x y x ，得⎩⎨⎧-==32
y x ,即奇点为（2，-３) 令⎩⎨
⎧+=-=32
y Y x X ，代入原方程组得⎪⎩⎪⎨⎧-=+=Y X dt dY Y X dt dX
， 因为021111≠-=-，又由0
2111
12=-=+---κλλ,
解得21=λ,22-=λ为两个相异的实根， 所以奇点为不稳定鞍点，零解不稳定。

6、 求方程2
y x dx dy
+=经过(0，0)的第二次近似解。

解：0)(0
=x ϕ, 2
012
1)0,(0)(x dx x f x x
⎰=+=ϕ,
5
20
2220
121)21,(0)(x x dx x x f x x
+
=+=⎰ϕ。

三、证明（１0分）
假设m 不是矩阵A 的特征值,试证非齐线性方程组
mt
ce Ax x +=' 有一解形如
mt
pe t =)(ϕ
其中c ，p 是常数向量。

证:设方程有形如mt
pe
t =)(ϕ的解,则p 是可以确定出来的。

事实上,将mt
pe 代入方程得mt mt mt
ce Ape mpe +=,
因为0=mt
e
,所以c Ape mp +=，
c P A mE =-)( （１）
又m 不是矩阵A 的特征值,0)det(≠-A mE
所以1)(--A mE 存在,于是由（1）得c A mE p 1
)(--=存在。

故方程有一解mt
mt pe ce A mE t =-=-1)()(ϕ
常微分方程期终试卷（１1)
一．填空
1． 称为一阶线性方程,它有积分因子 ，其通解为 。

2． 称为黎卡提方程，若它有一个特解 y(x)，则经过变换 ，可化为伯努利方程。

3.若ϕ（x ）为毕卡逼近序列
{})(x n ϕϕ的极限,则有ϕ（x ）—)
(x n ϕ≤。

4．若)
(t x i (i ＝1,2,┄,ｎ）是齐线形方程的n 个解,w(ｔ)为其伏朗斯基行列式，则w （t)满足一阶线性方程 。

5．若)
(t x i （i ＝1,２,┄，n ）是齐线形方程的一个基本解组,x(t)为非齐线形方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表为 。

６．如果Ａ(t)是n ×n 矩阵,f(t)是n 维列向量,则它们在 a ≤t ≤b 上满足 时,方程组x ˊ= A(ｔ) x+ f （t)满足初始条件x （t 0）=η的解在ａ≤t ≤b 上存在唯一。

7．若ϕ（t ）和ψ（t ）都是ｘˊ= A(t ） x 的 基解矩阵，则ϕ（t ）与ψ(t)具有关系：。

8．若ϕ(t ）是常系数线性方程组x Ax '=的 基解矩阵,则该方程满足初始条件0()t ψη
=的解
()t ψ=______________＿＿＿＿___
9.满足 _＿_＿＿_＿_＿_＿＿＿_____＿___＿__＿＿_＿____＿_____＿_的点(**
,x y ），称为方程组的奇点。

10.当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部___＿____＿＿＿_＿______＿＿_____ 时,零解是稳定的，对应的奇点称为 ＿＿＿__________________＿＿ 。

二．计算题(60分）
1．
3
()0ydx x y dy -+= 2．32()480
dy dy
xy y dx dx -+=
３.求方程2
dy
x y dx =+经过（0,0）的第三次近似解
4.sin cos2x x t t ''+=-
５.若
2114A ⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求ｅｘｐAt
6.求1,5
dx dy
x y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.
三.证明题(10分)
设(,)f x y 及f
y
∂∂连续，试证方程dy －ｆ(x ，y)dx=０为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x 的积分因子.
常微分方程期终测试卷(12)
一、填空题(3０％)
1.若y=ｙ１(x ）,y ＝y 2(x ）是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 .
2.方程2
2d d y x x y
+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．
3.),(y x f y '
连续是保证方程),(d d y x f x y
=初值唯一的 条件．
一条积分曲线.
4. 线性齐次微分方程组Y
A Y
)(d d x x =的一个基本解组的个数不能多于
个，其中R ∈x ,n
R Y ∈.
5.二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 ．
6.方程y x x y
cos sin d d ⋅=满足解的存在唯一性定理条件的区域
是 .
7．方程y
x x y
tan d d 2=的所有常数解是 ．
８.方程0d cos d sin =+y x y x y x 所有常数解是 . 9．线性齐次微分方程组的解组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 为基本解组的
条件是它们的朗斯基行列式0)(≠x W .
1０.n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个.
二、计算题（４０%)
求下列方程的通解或通积分:
1. x y x y x
y tan d d += 2．y
y x y x y
sin sin cos cos d d 2=-
３.
0)d 1(d )cos 2(2
=-+-y x x x xy 4.⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+==y x t y y t x 2d d d d ５.⎪
⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+-=+=y x t y y x t x
32d d d d
三、证明题(30%)
１.试证明:对任意
0x 及满足条件100<<y 的0y ,方程
221)1(d d y x y y x y ++-=
的满足条件
00)(y x y =的解)(x y y =在),(∞+-∞上存在．
2．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证:方程)(d d x f y x y
=+的任意
解)(x y y =均有0)(lim =+∞→x y x .
3．设方程)
(d d 2y f x x y
=中,)(y f 在),(∞+-∞上连续可微,且0)(<y yf ,)0(≠y ．求
证：该方程的任一满足初值条件
00)(y x y =的解)(x y 必在区间),[0∞+x 上存在.
常微分方程期终试卷(1３)
一、填空题（３0分）
1、 方程M （ｘ，ｙ）ｄx+N(x,y)dy=0有只含x 的积分因子的充要条件是
（ )(x N x N
y M ϕ=∂∂-∂∂ ),有只含ｙ的积分因子的充要条件是
（ )(y M x N
y M ϕ-=∂∂-∂∂ ）。

2、 求dx dy =ｆ(x ，y)满足00)(y x =φ的解等价于求积分方程（y=y 0+⎰x
x dx y x f 0
),()。

3、 方程2
2y x dx dy
+=定义在矩形域R ：－２22,2≤≤-≤≤y x 上，则经过点（０,0)
的即位存在区间是（4141≤
≤-x ）。

4、 若X i （ｔ)(I ＝１，2, ,n)是齐线性方程的 n 个解,W(ｔ)为伏朗斯基行列式，则
W(ｔ）满足一阶线性方程(W '(t)+a 1(t ）W （t)=0)。

5、 若X 1(t), X 2(t ） , X n (ｔ)为ｎ阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的
充要条件是（W ［X 1(t)， X 2(ｔ) , X n （t)］≠0)。

6、 在用皮卡逐步逼近法求方程组'X =A （t)X+f(ｘ)，X(t 0)＝η的近似解时，则
ds
s f s s A t t
t k k )]()()([()(0
1++=⎰-ϕηϕ）。

7、 当方程的特征根为两个共扼虚根时，则当其实部(为零)时,零解是稳定的，对应的
奇点称为(稳定中心）。

8、 满足(Ｘ(x,y)=0,Ｙ(ｘ,y)＝0）的点（x *
*
,y ), 称为方程组的奇点。

9、 若)()(t t ψφ和都是'X =A （t)X 的基解矩阵，则 )()(t t ψφ和具有关系：
（为非奇异矩阵）C C t t ()()(φψ=)。

10、 形如（x n
n n
dx y d +ａ1x
11
1---n n n dx y d +)0=+y a n 的方程称为欧拉方程。

二、计算题
求下列方程的通解（１-２)
1、（２xy+3222)()0
3y
x y dx x y dy +++= 解:因为222,2M N x x y x
y x ∂∂=++=∂∂
又因为M N
N y x ∂∂-=∂∂
所以方程有积分因子：u(x)＝ x
e 方程两边同乘以x
e 得：
x e 2(2xy x y ++322
)()03x y dx e x y dy ++=
[3
222(2)][]0
3x x x x y e xy x y dx e x dy e dx e y dy ++++= 也即方程的解为 3
2
3x x
y e x y e c
+=． 2、
3330()
dy
x y xy y dx '''+-== 解：令,dy
y p tx
dx '===,则
3332
30x t x tx +-=即
331t x t =+ 从而
2
331t p tx t ==
+
又2
33
33()()11t t y dt c t t '=+++⎰
＝3
32
3142(1)t c t +++
故原方程的通解为
33
32313142(1)t x t t y c t ⎧
=⎪+⎪⎨+⎪=+⎪+⎩ ｔ为参数 3、求方程2
dy
x y dx =+经过(０，０）的第三次近似解
解：0
00y Φ==
2
10
2x
x xdx Φ==
⎰
425
20
()4220x
x x x x dx Φ=+=+
⎰
4107
30()440020x
x x x x dx
Φ=+++⎰
＝2
5
11
8
2
204400160x x x x +++
4、求22
2321d x dx x t dt dt --=+的通解
解：齐线性方程22
230d x dx
x dt dt --=的特征方程为2230λλ--=
故齐线性方程的一个基本解组为3t
e ，t
e -,
因为0λ
=不是特征方程的特征根
所以原方有形如()x t ＝01B t B +的特解
将()x t =01B t B +代入原方程，比较t 的同次幂系数得：
0013(23)21B t B B t -+--=+
故有00132231B B B -=⎧⎨--=⎩解之得:032B =-，119B = 所以原方程的解为：
31231()()
29t t x t c e c e t -=++-+ 5、试求:
211121112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
的基解矩阵
解：记A=211121112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣
⎦，又()det()(1)(2)(3)0p E A λλλλλ=-=---= 得1
1λ=，232,3λλ==均为单根 设1λ对应的特征向量为1v ,则由
11()0E A V λ-=得
10,0v ααα⎡⎤⎢⎥=≠⎢⎥
⎢⎥⎣⎦取
1011v ⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 同理可得23,λλ对应的特征向量为：
23111,011v v ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
则231
12233(),(),()t t t t e v t e v t e v Φ=Φ=Φ=均为方程组的解 令
123()((),(),())t t t t ψ=ΦΦΦ
又011(0)det (0)1100
111
w =ψ=≠
所以
123()((),(),())t t t t ψ=ΦΦΦ即为所求。

６、试求22
320d x dx
x dt dt ++=的奇点类型及稳定性 解:令dx y dt =，则:32dy y x
dt =--
因为01
23≠--，又由1023λλ-=+得
2320λλ++=解之得121,2λλ=-=-为两相异实根，且均为负
故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。

7． 一质量为m 的质点作直线运动,从速度等于零的时刻起,有一个和时间成正比(比例系数为k 1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力,这阻力和速度成正比（比例系数为k 2)。

试求此质点的速度与时间的关系。

解:由物理知识得:
)
F (为质点受到的合外力为质点的加速度，其中合合
a m
F a =
根据题意：v k t k F 21-=合
故：
)0(221>-=k v k t k dt dv
m
--
-- 即：(*)
)(12t m k v m k dt
dv +-= (*）式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有 )(221c dt e t m k e V dt m k dt m k +⎰⋅⎰=⎰- )(22222121c e k mk e t k k e t m k t m k t m k +-⋅=- 又当ｔ=0时,V ＝0,故ｃ＝221
k mk 因此,此质点的速度与时间的关系为：)(2212212k m t k k e k mk V t m k
-+=-。